平成１２年１１月５日

［約数と互いに素な数］

太郎さんは、学校で、ある自然数の約数の問題を扱っています。

（ここでは、約数は正の自然数としておきます。）

　また、８と互いの素な数は、１，３，５，７の４個です。

これは大変興味深い結果です。正の約数の個数と互いに素な数の個数が一致しています。

Ｎ以下で、Ｎと互いに素の数の個数は、オイラー関数φ（Ｎ）で表すと、

ここで、問題です。自明な１は除いてもいいでしょう。

「自然数Ｎについて、Ｎの正の約数の個数と、Ｎ以下でＮと互いに素な数の個数とが一致するような自然数Ｎは

一体どんな数でしょう。」

ＮＯ１＜清川（kiyo）＞さんからの解答、10月28日受信　11月５日更新

いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。

「自然数Ｎについて、Ｎ以下でＮと互いに素な数の個数とＮの正の約数の個数が一致

するような自然数Ｎは一体どんな数でしょう。」

ID Number: A020488

Sequence: 1,3,8,10,18,24,30

Name: sigma0(n) = phi(n).

Keywords: nonn,fini,full

Offset: 1

Author(s): dww

１の扱いはどうなるのでしょうか？

＜水の流れ：コメント＞　１については、約数でもあり、互いに素な数としても扱っています。特殊な数です。

すでに、どこかのサイトで載っているのですね。

ＮＯ２＜浜田＞さんからの解答、10月30日受信　11月５日更新

答は３，８，１０，１８，２４，３０の６個の数のようです．エクセルのマクロで解いてみました．

3 2

8 4

10 4

18 6

24 8

30 8

ption Explicit

Sub Macro1()

Dim n As Long

Dim n_max As Long

Dim 約数 As Long

Dim 互いに素 As Long

Dim 個数 As Long

Dim j As Long

n_max = 10000

個数 = 0

For n = 2 To n_max

Cells(1, 4).Value = n

約数 = 2 '1と自分自身をあらかじめいれてある

For j = 2 To Int(n / 2)

約数 = 約数 - (n Mod j = 0)

Next j

互いに素 = 1 '1をあらかじめいれてある

For j = 2 To n - 1

互いに素 = 互いに素 - (GCM(n, j) = 1)

Next j

If 約数 = 互いに素 Then

個数 = 個数 + 1

Cells(個数, 1).Value = n

Cells(個数, 2).Value = 約数

End If

Next n

End Sub

Private Function GCM(ByVal a As Long, ByVal b As Long) As Long

Dim dummy As Long

Dim min As Long

Dim amari As Long

GCM = a

min = b

While min > 0

amari = GCM - Int(GCM / min) * min

GCM = min

min = amari

Wend

End Function

次ぎに、ご覧のように適する自然数は２桁しかありませんので、

(ｐ＋１)(ｑ＋１)(ｒ＋１)・・・　＝Ｎ(1−１/ａ)(1−１/ｂ)(1−１/ｃ) ・・・

の不定方程式を考えてみると、良いですよ。読者の皆さん考えてくださいね。

ＮＯ３＜やぎ＞さんからの解答、11月５日受信　11月6日更新

第62回の問題を考えさせていただきました。

（ｐ+1）（ｑ+1）（ｒ+1）---＝ａ＾ｐ*ｂ＾ｑ*ｃ＾ｒ（１−１／ａ）(1-1/b)(1-1/c)--- (1)

(1)式を移項すると

1＝a^p(1-1/a)/(p+1) b^q(1-1/b)/(q+1) c^r(1-1/c)/(r+1) ----- (2)

右辺の素因数ａに関係するa^p(1-1/a)/(p+1)をf(a,p)とおくと

f(a,p)は次の表のようになる

　　　　P 　　 １　　　　　２　　　　　３

　a

2　　　　　　　1/2　　　　　　2/3　　　　1

　　3　　　　　　　1　　　　　　　2　

　　5　　　　　　　2

　 また表の欄外のｆ（ａ，ｐ）は２を超過するためｆ（ａ，ｐ）の最小が１/2であるから（2）式を満足しない。（ほんとうは証明または説明しなければならないでしょうが）

　この表から（２）式を満足する組み合わせを考えると

　　Ｎは　 ２＾１*３＾２＝18

　　　　　　２＾１*５＾１＝10

　　　　　 ２＾３＝ 8

　　　 　３＾１＝ 3

　　　 　２＾３*３＾１＝24

　　２＾１*５＾１*３＾１＝30

の６とおりとなる。

　ここで、問題を戴きました。

＜水の流れ：コメント＞これを読んで、なぜか「和算」にありそうな問題と思いました。文献（日本の幾何ー何題解けますか？深川英俊著：森北出版）を調べてみました。内接する場合の円については、西洋では、「デカルトの円定理」として、知られています。デカルト（1596〜1650）がエリザベス王女に宛てた手紙の中で、論文にしたものです。

また、日本では、東京都新宿区神楽坂毘沙門堂に寛政８年（1751年）に掲額されたが、現在は存在しない。さて、読者の皆さん、一度挑戦ください。勿論！「やぎ」さんとの間には、シンクロナイズ（同時性：他の別々な所で同じことが起きていること）が行われただけです。人間の思考の中にはよくあります。