平成１２年１２月９日

［図形数＝ｍ画数］

太郎さんは、本を読んでいると、図形数＝ｍ画数の話がでてきます。古くは、ピタゴラスとその学派に人々が研究した最初に人々であった。ここでは、図形数の数列の一般項を考えてみます。

『１』三角数：下の図のように○を並べると、１，３，６，１０，１５，・・・という数列ができます。このように正三角形をなす数を三角数と呼び、第ｎ番目の三角数をＳ（３，ｎ）と書くことにします。

『２』四角数：下の図のように○を並べると、１，４，９，１６，２５，・・・という数列ができます。このように正方形をなす数を四角数と呼び、第ｎ番目の四角数をＳ（４，ｎ）と書くことにします。この四角数は別名平方数とも言います。

『３』五角数：下の図のように○を並べると、１，５，１２，２２，３５，・・・という数列ができます。このように正五角形をなす数を五角数と呼び、第ｎ番目の五角数をＳ（５，ｎ）と書くことにします。

『４』六角数：１，６，１５，２８，４５，・・・という数列があります。これを六角数と呼び、今までと同様に正六角形を順に作ることができます。この第ｎ番目の六角数をＳ（６，ｎ）と書くことにします

　さて、一般に、ｍ画数：１，ｍ、３ｍ−３，６ｍ−８，・・・という数列が得られます。これをｍ画数と呼び、今までと同様に正ｍ角形を順に作ることができます。この第ｎ番目のｍ角数をＳ（ｍ，ｎ）と書くことにします

また、歴史的には、フェルマー（フランス：1601〜1665）が、バシェ版のディオファントスの【算術】に「すべての自然数はｍ個のｍ画数で表される。」と書き込んでいます。さらに、ドイツの大数学者ガウス(1777〜1855)も彼が１９歳の時に「あらゆる正の整数は高々３個の三角数の和として表される」ことを見つけています。

ここからが、今回の問題です。この数列の一般項をｎで表してください。

ＮＯ１＜浜田＞さんからの解答　12月5日11時20分受信　更新12月９日

　Ｓ(ｍ,ｎ)からＳ(ｍ,ｎ＋１)にかけて，正ｍ角形の(ｍ−２)辺分の○が新たに増加する．その(ｍ−２)辺には，(ｍ−３)個の重複している○がある．したがって，　

Ｓ(ｍ,ｎ＋１)＝Ｓ(ｍ,ｎ)＋(ｍ−２)(ｎ＋１)−(ｍ−３)

　　　　　　 ＝Ｓ(ｍ,ｎ)＋(ｍ−２)ｎ＋１

　ｎ≧２のとき，

　　Ｓ(ｍ,ｎ)＝Ｓ(ｍ,１)＋Σ(1≦k≦n-1){(ｍ−２)ｋ＋１}

　　　　　　 ＝１＋(ｍ−２)・(ｎ−１)ｎ／２＋(ｎ−１)

　　　　　　 ＝ｎ{(ｍ−２)ｎ−ｍ＋４}／２

　これはｎ＝１の場合も成立する．

　以上の結果により，

　　Ｓ(３,ｎ)＝ｎ(ｎ＋１)／２

　　Ｓ(４,ｎ)＝ｎ^2

　　Ｓ(５,ｎ)＝ｎ(３ｎ−１)／２

　　Ｓ(６,ｎ)＝ｎ(２ｎ−１)

　　Ｓ(ｍ,ｎ)＝ｎ{(ｍ−２)ｎ−ｍ＋４}／２ である．

　　ＰＳ．すみません．今回はプログラムを作る余裕がありませんでした．師走です．

ＮＯ２＜ねこ＞さんからの情報　12月7日8時50分受信　更新12月９日

こんにちは。ねこです。「すべての自然数はｍ個のｍ画数で表される」について調べてみましたのでご報告します。

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ｍ＝４はオイラー・ラグランジュの定理（g(2)=4）そのもので、１７７２年に証明されました。

ｍ＝３については、３平方和定理「８ｎ＋７の形の数は３個の平方数の和では表されない」を用いて、ガウスが１７９６年に証明しています。

ｍ≧５については、１８１３年にコーシーが証明し(*1)、１８１６年にルジャンドルがこの証明を簡略化しています(*2)。

証明された年が間違えているかもしれませんが、ご容赦ください。

(*1) コーシー全集の(2),VI, pp.320-353に再録された。(*2) 「整数論」第2版の補遺にある。

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＜水の流れ：コメント＞博識のある皆さんに、驚いています。いろいろな情報には感謝しています。

厚くお礼申し上げます。「整数論」第2版の補遺というのは、著者は誰でしたか？

ＮＯ３＜Ｉｇａ＞さんからの解答　12月7日16時39分受信　更新12月９日

はじめまして、Igaといいます。恥ずかしながら、解答を寄せているみなさんが使っていらっしゃるような難しい定理は忘れてしまったり、勉強不足でよく知らなかったりが多かったので、蚊帳の外だと思っていましたが、それでもわかる範囲で、興味を持って見させていただいていました。（余りよく考えずに、解答を見てしまうことが多いのですが…）

今回は、何とかできてしまったので、送ります。まだ、メールも初心者なので見にくいかもしれませんがよろしくお願いします。

問題１　三角数　Ｓ（３，ｎ）　：　１，３，６，１０，１５，…

　　　　　Ｓ（３，１）＝１

　　　　　Ｓ（３，２）＝１＋２＝３

　　　　　Ｓ（３，３）＝１＋２＋３＝６

　　　　　Ｓ（３，４）＝１＋２＋３＋４＝１０

　　　　　　　…　　　　　　　…

　　　　　Ｓ（３，ｎ）＝１＋２＋３＋　………　＋（ｎ−１）＋ｎ

　　　これは、１〜ｎまでの整数の合計を求めることになるので、一般項Ｓ（３，ｎ）＝ｎ(ｎ＋１)／２

　　　１〜ｎまでの整数の合計の求め方は、以下の方法が有名ですね。

　　　　　　　　１＋ 　２　 ＋ ３ ＋　…………　＋(ｎ−２)＋(ｎ−１)＋ｎ

　　　　＋）　　ｎ＋(ｎ−１)＋(ｎ−２)＋　…………　＋　 ３　　＋　 ２　　＋１

　　　−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　　　　　(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)　…………　＋(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)＋(ｎ＋１)

　　　よって、合計はｎ（ｎ＋１）／２となるわけですね。

問題２　四角数　Ｓ（４，ｎ）　：　１，４，９，１６，２５，…

　　　正方形に並んだ○の個数なので、単純に平方数ですね。

　Ｓ（４，１）＝１＾2＝１　Ｓ（４，２）＝２^2＝４　Ｓ（４，３）＝３^2＝９　Ｓ（４，４）＝４^2＝１６

　　…　　　　　…　　　Ｓ（４，ｎ）＝ｎ^2

問題３　五角数　Ｓ（５，ｎ）　：　１，５，１２，２２，３５，…

　　　とりあえず階差数列をとってみると　４，７，１０，１３，…　，３ｎ−２，３ｎ＋１　　となるので、

　　　　　Ｓ（５，ｎ）＝Σ(３ｎ−２)

　　　　　　　　　　 ＝３×ｎ（ｎ＋１）／２−２ｎ

　 　　　　　　　　　＝（３ｎ^2＋３ｎ−４ｎ）／２

　　　 　　　　　　　＝ｎ（３ｎ−１）／２

問題４　六角数　Ｓ（６，ｎ）　：　１，６，１５，２８，４５，…

　　　問題３と同様にすると、階差数列が　５，９，１３，１７，…，４ｎ−３，４ｎ＋１　となるので、

　　　　　Ｓ（６，ｎ）＝Σ（４ｎ−３）

　　　　　　　　　　 ＝４×ｎ（ｎ＋１）／２−３ｎ

　 　　　　　　　　　＝２ｎ^2＋２ｎ−３ｎ

　　　 　　　　　　　＝ｎ（２ｎ−１）

問題５　ｍ角数　Ｓ（ｍ，ｎ）　：　１，ｍ，３ｍ−３，６ｍ−８，１０ｍ−５，…

問題３や問題４と同様にやってもでるのでしょうが、せっかく問題１から４までやったので、それを利用する方法を考えてみた。

問題１の三角数から、問題４の六角数までを表のように並べます。

　　　　　ｎ番目　 １　　２　　　３　　　４　　　５　　　　６　・・・　 ｎ

　ｍ角数　３角数 　１　　３　　　６　　１０　　１５　　　２１　・・・　　ｎ（ｎ＋１）／２

　　　　４角数　　 １　　４　　　９　　１６　　２５　　　３６　・・・　　ｎ^2

　　　　５角数　　 １　　５　　１２　　２２　　３５　　　５１　・・・　　ｎ（３ｎ−１）／２

　　　　６角数　　 １　　６　　１５　　２８　　４５　　　６６　・・・　　ｎ（２ｎ−１）

　　　　　　　　　…　　　…　　…　　…　　…　　　…　　 　… …　　　…

　　　　ｍ角数　 １　　ｍ 3m-3　 6m-8　 10m-15　 15m-24

　　　　　　　−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　　ｍ角数のｍの係数を順に書いてみると、０，１，３，６，１０，１５になっていて、これは三角数の行の数列を１つずらしたものであることに気がつきます。

従ってｍ角数のｎ番目のｍの係数は、ｎ(ｎ−１）／２になることがわかります。また定数の部分はｎ（ｎ−２）であることも容易に気がつきます。

　　したがってｍ角数のｎ番目の一般項は、

　　　　Ｓ（ｍ，ｎ）＝ｍｎ（ｎ−１）／２−ｎ（ｎ−２）

　　　　　　　　　　＝ｎ｛ｍ（ｎ−１）−２（ｎ−２）｝／２

　　　　　　　　　　＝ｎ（ｎ−１）（ｍ−２）／２−ｎ（ｎ−２）　　　と求められました。

＜水の流れ：コメント＞大変綺麗な規則性を発見されたことに驚きました。これからもよろしくお願いします。