平成１２年１２月２５日

[流れ星]

　　　　　　　　第６６回数学的な応募問題

　　　　　　　　　　＜解答募集期間：1２月２５日〜１月８日＞

　　　　　　　　　　＜解答募集期間延長：〜１月１４日＞

［お年玉］

太郎さんは、毎年親戚の甥と姪にお年玉をあげています。今年は１万円札の入ったのし袋を３つ、５千円札の入ったのし袋を２つ、２千円札の入ったのし袋を２つ準備してしています。ここで、問題です。お年玉を渡す子供がｎ人のとき、この分配方法を考えてください。具体的には

問題１：子供が１人のときの分配方法は何通りですか。
問題２：子供が２人のときの分配方法は何通りですか。
問題３：子供が３人のときの分配方法は何通りですか。
問題４：子供が４人のときの分配方法は何通りですか。
問題５：子供が５人のときの分配方法は何通りですか。
問題６：子供が６人のときの分配方法は何通りですか。
問題７：子供が７人のときの分配方法は何通りですか。
　

問題８：次にある考え方をすると、鮮やかに上の問題の答えを一気に導いてくれます。これを考えてください。

＜水の流れ：コメント＞ご愛顧くださっている多くの皆さん！今年もあとわずかです。来る２１世紀は、皆様に幸多かれとお祈り申し上げます。今後ともよろしくお願いします。なお、この問題は同じものを含んだ順列としてお考えくださばと思います。　

＜水の流れ：コメント＞平成１３年１月８日（成人の日：祝日）
問題３を考えてみます。１万円札３枚をａ、ａ、ａ、５千円札２枚をｂ、ｂ、２千円札２枚をｃ、ｃとすると、
ここから、ｎ（ｎ＝１から７までの自然数）個を選んで、並べる方法の数です。
ここで、ｎ！（１＋ｘ＋ｘ２／２！＋ｘ３／３！）（１＋ｘ＋ｘ２／２！）（１＋ｘ＋ｘ２／２！）
という多項式を考えます。
ここで、ｎ＝３を考えてみます。計算は「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ」にしてもらいました。
与式＝｛３！÷（３！２！２！）｝×(６＋６ｘ＋３ｘ２＋ｘ３）(２＋２x＋ｘ２）(２＋２x＋ｘ２）
＝６＋１８ｘ＋２７ｘ２＋２５ｘ３＋３１／２ｘ４＋１３／２ｘ５＋７／４ｘ６＋１／４ｘ７
この係数が答えです。

これは、例えば、ａが２つ、ｂが１つ取って並べる方法は、
最初の（　　）からｘ２／２！、次の（　　）からｘ、最後の（　　）から、１を選んで、掛け合わせた
３！・ｘ２／２！・ｘ・１＝３！／２！ｘ３＝３ｘ３です。
後は組み合わせて、３個取ってくる場合を考えれば良いのです。
実際には、（ａ，ａ，ａ），（ａ，ａ，ｂ），（ａ，ａ，ｃ），（ａ，ｂ，ｂ），（ａ，ｂ，ｃ），（ａ，ｃ，ｃ），
（ｂ，ｂ，ｃ），（ｃ，ｃ，ｂ）の組を考えて、後は、並べてみてください。

皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。

　　　　＜自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

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