平成１３年３月３０日

[流れ星]

　　　　　　　　第７１回数学的な応募問題

　　　　　　　　　　＜解答募集期間：３月１８日〜４月１日＞

［余弦のｎ倍角］

太郎さんは、先日、教科書「数学�U」にある「三角関数」で、加法定理から、正弦、余弦、正接の２倍角の公式を導きました。
さらに、発展させて３倍角の公式をも紹介し、証明しました。
参考に、公式を書きておきます。正接は省略します。
【加法定理】
（１）sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
（２）sin(α−β)＝sinαcosβ−cosαsinβ
（３）cos(α＋β)＝cosαcosβ−sinαsinβ
（４）cos(α−β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ
【２倍角の公式】
（１）sin２α＝２sinαcosα
（２）cos２α＝２cos ^２α−１
【３倍角の公式】
（１）sin３α＝３sinα−４sin ^３α＝sinα(４cos ^２α−１)
（２）cos３α＝４cos ^３α−３cosα

そこで、生徒から、「先生！では、４倍角、５倍角、・・・、の定理を教えてください」と、嬉しい質問を受けました。
そのときは、「あるよ、でもあまり使わないからね、加法定理や２倍角、３倍角を使って導くことはできます。
自分でやってチャレンジしておいてください。」とその場をやり過ごしましたが、気になっています。

　太郎さんは、生徒の質問に答えねばなりません。太郎さんが高校生のときのノートを見ていたら、【ド・モアブルの定理】が書きてありました。そこに、ヒントらしきものがありました。
（cosθ＋ｉsinθ）^ｎ＝cos (ｎθ)＋ｉsin (ｎθ)

さらに、cos (ｎθ)を　cosθ＝ｘの多項式で表したｎ次式をＴ_ｎ(ｘ)とします。
sin (ｎθ)を sinθ×｛cosθ＝ｘの多項式｝＝sinθ×Ｇ_ｎ(ｘ)とします。
では、問題です。
問題１：ｎ＝２のとき、Ｔ_２(ｘ)、Ｇ_２(ｘ)をｘで表してください。
問題２：ｎ＝３のとき、Ｔ_３(ｘ)、Ｇ_３(ｘ)をｘで表してください。
問題３：ｎ＝４のとき、Ｔ_４(ｘ)、Ｇ_４(ｘ)をｘで表してください。
問題４：Ｔ_ｎ(ｘ)をＴ_ｎ―１(ｘ)とＧ_ｎ―１(ｘ)の漸化式で表してください。
問題５：Ｇ_ｎ(ｘ)をＴ_ｎ―１(ｘ)とＧ_ｎ―１(ｘ)の漸化式で表してください。
問題６：Ｔ_ｎ(ｘ)をＴ_ｎ―１(ｘ)とＴ_ｎ―２(ｘ)の漸化式で表してください。
問題７：Ｇ_ｎ(ｘ)をＧ_ｎ―１(ｘ)とＧ_ｎ―２(ｘ)の漸化式で表してください。

ＮＯ１＜浜田＞さんからの解答　3/21、8時09分受信　3/25更新
７１の解答です。添字が多いので，ワードで書きました。
便宜上　　Ｔ_ｎ＝Ｔ_ｎ(ｘ)＝cosｎθ
　　Ｇ_ｎ＝Ｇ_ｎ(ｘ)＝sinｎθ／sinθ　とする．　定義から，
　　Ｔ_１＝cosθ＝ｘ……(1)
　　Ｔ_２＝cos２θ＝２cos^２θ−１＝２ｘ^２−１……(2)
　　Ｇ_１＝sinθ／sinθ＝１……(3)
　　Ｇ_２＝sin２θ／sinθ＝２cosθ＝２ｘ……(4)
であり，
　　Ｔ_ｎ＝cosｎθ＝cos{(ｎ−１)θ＋θ}＝cos(ｎ−１)θcosθ−sin(ｎ−１)θsinθ
　　 ＝Ｔ_ｎ−１cosθ−Ｇ_ｎ−１sin^２θ＝Ｔ_ｎ−１cosθ−Ｇ_ｎ−１(１−cos^２θ)
＝ｘＴ_ｎ−１−(１−ｘ^２)Ｇ_ｎ−１……(5)
　　Ｇ_ｎ＝sinｎθ／sinθ＝sin{(ｎ−１)θ＋θ}／sinθ
＝{sin(ｎ−１)θcosθ＋cos(ｎ−１)θsinθ}／sinθ
　　　 ＝(Ｇ_ｎ−１sinθcosθ＋Ｔ_ｎ−１sinθ)／sinθ＝Ｇ_ｎ−１cosθ＋Ｔ_ｎ−１
＝ｘＧ_ｎ−１＋Ｔ_ｎ−１……(6)
となる．
　(6)から，
　　Ｔ_ｎ−１＝Ｇ_ｎ−ｘＧ_ｎ−１
　(5)に代入すると，
　　Ｇ_ｎ＋１−ｘＧ_ｎ＝ｘ(Ｇ_ｎ−ｘＧ_ｎ−１)−(１−ｘ^２)Ｇ_ｎ−１
　　∴Ｇ_ｎ＋１＝２ｘＧ_ｎ−Ｇ_ｎ−１
　　∴Ｇ_ｎ＝２ｘＧ_ｎー１−Ｇ_ｎ−２……(7)
　(5)から，
　　Ｇ_ｎ−１＝(ｘＴ_ｎー１−Ｔ_ｎ)／(１−ｘ^２)
　(6)に代入すると，
　　(ｘＴ_ｎ−Ｔ_ｎ＋１)／(１−ｘ^２)＝ｘ(ｘＴ_ｎ―１−Ｔ_ｎ)／(１−ｘ^２)＋Ｔ_ｎー１
　　∴ｘＴ_ｎ−Ｔ_ｎ＋１＝ｘ^２Ｔ_ｎー１−ｘＴ_ｎ＋(１−ｘ^２)Ｔ_ｎー１
　　∴Ｔ_ｎ＋１＝２ｘＴ_ｎ−Ｔ_ｎー１
　　∴Ｔ_ｎ＝２ｘＴ_ｎー１−Ｔ_ｎー２……(8)
　漸化式(7)を解く．
　まず特性方程式
　　Ｘ^２−２ｘＸ＋１＝０
において，
Ｘ＝ｘ±(ｘ^２−１)^１／２（ｘ^２−１≦０であることは気にしないで下さい）
　そこで，
　　α＝ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２，β＝ｘ−(ｘ^２−１)^１／２……(9)
とおくと，
　　Ｇ_ｎ−αＧ_ｎー１＝β(Ｇ_ｎー１−αＧ_ｎー２)，
　　Ｇ_ｎ−βＧ_ｎー１＝α(Ｇ_ｎー１−βＧ_ｎー１)
　　∴Ｇ_ｎ−αＧ_ｎー１＝β^ｎ−２(Ｇ_２−αＧ_１)，
　　　Ｇ_ｎ−βＧ_ｎー１＝α^ｎ−２(Ｇ_２−βＧ_１)
　辺々をひくと，
　　(β−α)Ｇ_ｎー１＝β^ｎ−２(Ｇ_２−αＧ_１)−α^ｎ−２(Ｇ_２−βＧ_１)
　　∴Ｇ_ｎ＝{β^ｎ−１(Ｇ_２−αＧ_１)−α^ｎ−１(Ｇ_２−βＧ_１)}／(β−α)
＝（{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−１[２ｘ−{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}]−{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−１[２ｘ−{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}]）
　　　　 　　／[{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}−{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}]
＝[{ｘ−(ｘ^２−１) ^１／２}^ｎ−１]{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}−{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−１{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}]／{−２(ｘ^２−１)^１／２}}
＝[{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−１−{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ]／{−２(ｘ^２−１)^１／２}
＝[Σ(0≦r≦n)_ｎＣ_ｒｘ^ｎ−ｒ{−(ｘ^２−１)^１／２}^ｒ
　　　　 　　−Σ(0≦r≦n) _ｎＣ_ｒｘ^ｎ−ｒ{(ｘ^２−１)^１／２}^ｒ]／{−２(ｘ^２−１)^１／２}
＝Σ(0≦r≦n) _ｎＣ_ｒｘ^ｎ−ｒ[{−(ｘ^２−１)^１／２}^ｒ−{(ｘ^２−１)^１／２ } ^ｒ]
　　　　 　　／{−２(ｘ^２−１)^１／２}
　ｎ＝２ｍ−１ or ２ｍのとき，
　　Ｇ_ｎ＝Σ(r=1,3,5,...,2m-1) _ｎＣ_ｒｘ^ｎ−ｒ[−２{(ｘ^２−１)^１／２}^ｒ]
　　　　 　　／{−２(ｘ^２−１)^１／２}
　　　 ＝Σ(r=1,3,5,...,2m-1) _ｎＣ_ｒｘ^ｎ−ｒ(ｘ^２−１)^{（ｒ−１）／２}
　ｒに２ｒ−１を代入すると，
　　Ｇ_ｎ＝Σ(1≦r≦m) _ｎＣ_２ｅ−１ｘ^{ｎ−２ｒ＋１}(ｘ^２−１)^ｒ−１……(10)

　漸化式(8)を解く．同様に，
　　Ｔ_ｎ＝{β^ｎ−１(Ｔ_２−αＴ_１)−α^ｎ−１(Ｔ_２−βＴ_１)}／(β−α)
　＝（{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−１[(２ｘ^２−１)−{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}ｘ]−{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−１[(２ｘ^２−１)−{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}ｘ]）
　　　　 　／{−２(ｘ^２−１)^１／２}
＝[{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−１{ｘ^２−１−ｘ(ｘ^２−１)^１／２}−{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−１{ｘ^２−１＋ｘ(ｘ^２−１)^１／２}]
　　　 　　／{−２(ｘ^２−１)^１／２}
＝[{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−１{(ｘ^２−１)^１／２−ｘ}
　　　 　　−{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−１{(ｘ^２−１)^１／２＋ｘ}]／(−２)
＝[−{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ−{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ]／(−２)
＝[{ｘ−(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ＋{ｘ＋(ｘ^２−１)^１／２}^ｎ]／２
＝[Σ(0≦ｒ≦n) _ｎＣ_ｒｘ^ｎ−ｒ{−(ｘ^２−１)^１／２}^ｒ
　　　　 　＋Σ(0≦ｒ≦n) _ｎＣ_ｒｘ^ｎ−ｒ{(ｘ^２−１)^１／２}^ｒ]／２
＝Σ(0≦ｒ≦n) _ｎＣ_ｒｘ^ｎ−ｒ[{−}(ｘ^２−１)^１／２ｒ＋{(ｘ^２−１)^１／２}^ｒ]／２
　ｎ＝２ｍ or ２ｍ＋１のとき，
　　Ｔ_ｎ＝Σ(ｒ=0,2,4,...,2m) _ｎＣ_ｒｘ^ｎ−ｒ{２((ｘ^２−１)^１／２)／２
　　　 ＝Σ(ｒ=0,2,4,...,2m) _ｎＣ_ｒｘ^ｎ−ｒ(ｘ^２−１)^ｒ／２
　ｒに２ｒを代入すると，
　　Ｔ_ｎ＝Σ(0≦r≦m) _ｎＣ_２ｒｘ^ｎ−２ｒ(ｘ^２−１)^ｒ……(11)
　(10)から，
　　Ｇ_３＝Σ(1≦r≦2)_３Ｃ_２ｒ−１ｘ^４−２ｒ(ｘ^２−１)^ｒ−１
＝_３Ｃ_１ｘ^２＋_３Ｃ_３(ｘ^２−１)＝４ｘ^２−１
　　Ｇ_４＝Σ(1≦r≦2)_４Ｃ_２ｒ−１ｘ^５−２ｒ(ｘ^２−１)^ｒ−１
＝_４Ｃ_１ｘ^３＋_４Ｃ_３ｘ(ｘ^２−１)＝８ｘ^３−４ｘ
　(11)から，
　　Ｔ_３＝Σ(0≦r≦1)_３Ｃ_２ｒｘ^３−２ｒ(ｘ^２−１)^ｒ
＝_３Ｃ_０ｘ^３＋_３Ｃ_２ｘ(ｘ^２−１)＝４ｘ^３−３ｘ
　　Ｔ_４＝Σ(0≦r≦2)_４Ｃ_２ｒｘ^４−２ｒ(ｘ^２−１)^ｒ
＝_４Ｃ_０ｘ^４＋_４Ｃ_２ｘ^２(ｘ^２−１)＋_４Ｃ_４(ｘ^２−１)^２＝８ｘ^４−８ｘ^２＋１
　答は，
問題１：Ｔ_２(ｘ)＝２ｘ^２−１，Ｇ_２(ｘ)＝２ｘ
問題２：Ｔ_３(ｘ)＝４ｘ^３−３ｘ，Ｇ_３(ｘ)＝４ｘ^２−１
問題３：Ｔ_４(ｘ)＝８ｘ^４−８ｘ^２＋１，Ｇ_４(ｘ)＝８ｘ^３−４ｘ
問題４：Ｔ_ｎ(ｘ)＝ｘＴ_ｎ−１(ｘ)−(１−ｘ^２)Ｇ_ｎ−１(ｘ)，
問題５：Ｇ_ｎ(ｘ)＝ｘＧ_ｎ−１(ｘ)＋Ｔ_ｎ−１(ｘ)
問題６：Ｔ_ｎ(ｘ)＝２ｘＴ_ｎー１(ｘ)−Ｔ_ｎ−２(ｘ)
問題７：Ｇ_ｎ(ｘ)＝２ｘＧ_ｎー１(ｘ)−Ｇ_ｎ−２(ｘ)

　参考までに，

　ｎ＝２ｍ or ２ｍ＋１のとき，

　　Ｔ_ｎ(ｘ)＝Σ(0≦r≦m) _ｎＣ_２ｒｘ^ｎ−２ｒ(ｘ^２−１)^ｒ

　ｎ＝２ｍ−１ or ２ｍのとき，

　　Ｇ_ｎ(ｘ)＝Σ(1≦r≦m) _ｎＣ_２r−１ｘ^{ｎ−２ｒ＋１}(ｘ^２−１)^ｒ−１

＜水の流れ：コメント＞　２５日記入：参考の部分は知りませんでした。ありがたいです。以後、授業の中で使っていきたいです。感謝します。

ＮＯ２＜水の流れ＞　3/30記入　今日Ｔ_ｎ(ｘ)とＧ_ｎ(ｘ)の計算を、漸化式を利用して求めてみました。
Ｔ_０(ｘ)＝１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｇ_０(ｘ)＝０
Ｔ_１(ｘ)＝ｘ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｇ_１(ｘ)＝１
Ｔ_２(ｘ)＝２ｘ^２−１　　　　　　　　　　 Ｇ_２(ｘ)＝２ｘ
Ｔ_３(ｘ)＝４ｘ^３−３ｘ　　　　　　　　　 Ｇ_３(ｘ)＝４ｘ^２−１
Ｔ_４(ｘ)＝８ｘ^４−８ｘ^２＋１　　　　　　 Ｇ_４(ｘ)＝８ｘ^３−４ｘ
Ｔ_５(ｘ)＝１６ｘ^５−２０ｘ^３＋５ｘ　　　 Ｇ_５(ｘ)＝１６ｘ^４−１２ｘ^２＋１
Ｔ_６(ｘ)＝３２ｘ^６−４８ｘ^４＋１８ｘ^２−１　 Ｇ_６(ｘ)＝３２ｘ^５−３２ｘ^３＋６ｘ
Ｔ_７(ｘ)＝６４ｘ^７−１１２ｘ^５＋５６ｘ^３−７ｘ　 Ｇ_７(ｘ)＝６４ｘ^６−８０ｘ^４＋２４ｘ^２−１
Ｔ_８(ｘ)＝１２８ｘ^８−２５６ｘ^６＋１６０ｘ^４−３２ｘ^２＋１　 Ｇ_８(ｘ)＝１２８ｘ^７−１９２ｘ^５＋８０ｘ^３−８ｘ
Ｔ_９(ｘ)＝２５６ｘ^９−５７６ｘ^７＋４３２ｘ^５−１２０ｘ^３＋９ｘ　 Ｇ_８(ｘ)＝２５６ｘ^８−４４８ｘ^６＋２４０ｘ^４−８ｘ^２＋１
Ｔ_１０(ｘ)＝512ｘ^１０−1280ｘ^８＋1120ｘ^６−400ｘ^４＋50ｘ^２　−１ 　Ｇ₁₀(ｘ)＝512ｘ^９−1024ｘ^７＋672ｘ^５−240ｘ^３＋１０ｘ
このＴ_n(ｘ)がチェビシェフ（ロシア、1821〜1894）の多項式と言われています。
これで、正弦や余弦のｎ倍角の公式が求められていきます。
ここで、とりあえず、やめます。順々に導くことができますから。

　　　　＜自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp

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