[流れ星]

　　　　　　　　第７３回数学的な応募問題

　　　　　　　　　　＜解答募集期間：４月１５日〜４月２９日＞

太郎さんは、ときどき大学入試問題を見ています。過去の早稲田大学の入試問題を参考にして作問します。
「ｎを２以上の自然数とし、次の操作を考える。
『操作１』：１からｎまでの自然数を１枚ずつ書いたｎ枚の札を無作為に１列に並べる。
『操作２』：１枚目の札を手元に取る。
『操作３』：２枚目以降、ｎ枚目の札まで順に見ていき、手にしている札よりもそれが大きい数値の札であるならば、そのた　　　　　　びに手の札と入れ換える。
　このとき、『操作３』で入れ換えがｋ回起きる並び方の数をＦ（ｎ、ｋ）とする。ただし、最初に手にした１枚の札は操作の回数としては、０回とします。また、Ｆ（１、０）＝１とします。」
　例えば、５枚の札が２，１，３，５、４と１列に並んだとします。
最初に２を手元に入れます。次の１は２より大きくありませんから、入れ替えの操作はしない。次の３は手にしている２の札と比べて大きい数ですから、１回目の入れ換え操作をします。そして、５の札が並んでいますから、２回目の入れ換え操作をします。この場合は、ｋ＝２の並び方の１例です。ここから、問題です。

ＮＯ１＜清川（kiyo）＞さんからの解答　4/15：16時57分受信　更新4//27　　　　
『いつもお世話になっています。kiyoです。
問題１：Ｆ（２、０）＝１、Ｆ（２、１）＝１
問題２：Ｆ（３、０）＝２、Ｆ（３、１）＝３、Ｆ（３、２）＝１
問題３：Ｆ（４、０）＝６、Ｆ（４、１）＝１１、Ｆ（４、２）＝６、Ｆ（４、３）＝１
問題４：Ｆ（５、０）＝２４、Ｆ（５、１）＝５０、Ｆ（５、２）＝３５、Ｆ（５、３）＝１０、Ｆ（５、４）＝１
問題５：Ｆ（ｎ，０）＝（ｎ−１）！　Ｆ（ｎ，ｎ−１）＝１
ｎ−１＞ｋ＞１で、Ｆ（ｎ，ｋ）＝Ｆ（ｎ−１，ｋ）＊（ｎ−１）＋Ｆ（ｎ−１，ｋ−１）
問題６　保留。』
ＮＯ２＜Jun＞さんからの解答　4/24：19時36分受信　更新4//27　
『こんにちは。「最大数の確保」について考えてみました。
F(2,0)=1,F(2,1)=1
F(3,0)=2,F(3,1)=3,F(3,2)=1
F(4,0)=6,F(4,1)=11,F(4,2)=6,F(4,3)=1
F(5,0)=24,F(5,1)=50? このあたりで数え上げは挫折・・・。
ここまででわかる性質は、
F(n,1)=(n-1)!
F(n,n-1)=1
F(n,0)+F(n,1)+・・・+F(n,n-1)=n!』　
ＮＯ３＜浜田＞さんからの解答　4/25：8時20分受信　更新4//27　
『とりあえずＦ(１０,ｋ)（０≦ｋ≦９）を求めるマクロを作ってみました。あっているかどうか不安です．Ｅ(ｎ)の規則性が見えて来ませんので，おそらくどこか間違っているのかも知れません．
E( 1)= 0 ,F( 1,0)=1
E( 2)= 1/2,　F( 2,0)=1,　F( 2,1)=1
E( 3)= 5/6,　F( 3,0)=2,　F( 3,1)=3,　　F( 3,2)=1
E( 4)= 13/12　,F( 4,0)=6,　F( 4,1)=11,　F( 4,2)=6,　　F( 4,3)=1
E( 5)= 77/60,　F( 5,0)=24,　F( 5,1)=50,　F( 5,2)=35,　F( 5,3)=10,　F( 5,4)=1
E( 6)= 29/20,　F( 6,0)=120,　F( 6,1)=274,F( 6,2)=225,　F( 6,3)=85,　F( 6,4)=15,　F( 6,5)=1
E( 7)= 223/ 140,F( 7,0)= 720,F( 7,1)= 1764,F( 7,2)= 1624,F( 7,3)= 735,F( 7,4)= 175,F( 7,5)= 21,F( 7,6)= 1
E( 8)= 481/ 280,F( 8,0)= 5040,F( 8,1)= 13068,F( 8,2)= 13132,F( 8,3)= 6769,F( 8,4)= 1960,F( 8,5)= 322,F( 8,6)= 28,F( 8,7)= 1
E( 9)=4609/2520,F( 9,0)= 40320,F( 9,1)= 109584,F( 9,2)= 118124,F( 9,3)= 67284,F( 9,4)= 22449,F( 9,5)= 4536,F( 9,6)= 546,F( 9,7)= 36,F( 9,8)= 1
E(10)=4861/2520,F(10,0)=362880,F(10,1)=1026576,F(10,2)=1172700,F(10,3)=723680,F(10,4)=269325,F(10,5)=63273,F(10,6)=9450,F(10,7)=870,F(10,8)=45,F(10,9)=1
Option Explicit
Sub Macro1()
Cells.Select
Selection.ClearContents
Range("A1").Select
' Dim j(10) As Integer '****
Dim n As Integer
Dim sum As Long
Dim E As Long
Dim i As Integer
Dim g As Integer
Cells(1, 1).Value = "n"
Cells(1, 2).Value = "E(n)"
For n = 1 To 10 '****
Cells(n + 1, 1).Value = n
Cells(1, n + 3).Value = "F(n," + Str(n - 1) + ")"
Call check(n, 1, j())
sum = 0
E = 0
For i = 0 To n - 1
sum = sum + Cells(n + 1, i + 4).Value
E = E + Cells(n + 1, i + 4).Value * i
Next
ig = GCM(sum, E)
Cells(n + 1, 2).Value = bunsuu(E / g, sum / g)
Cells(n + 1, 3).Value = E / sum
Next n
End Sub
Sub check(ByVal n As Integer, ByVal i As Integer, ByRef j() As Integer)
Dim card As Integer
Dim kaisuu As Integer
Dim l As Integer
j(i) = 1
While j(i) <= n
If dame(i, j()) = 0 Then
If i < n - 1 Then
Call check(n, i + 1, j())
Else
j(n) = n
For l = 1 To n - 1
j(n) = j(n) + l - j(l)
Next l
card = j(1)
kaisuu = 0
For l = 2 To n
If card < j(l) Then
card = j(l)
kaisuu = kaisuu + 1
End If
Next l
Cells(n + 1, kaisuu + 4).Value = Cells(n + 1, kaisuu + 4).Value + 1
End If
End If
j(i) = j(i) + 1
Wend
End Sub
Private Function dame(ByVal i As Integer, ByRef j() As Integer) As Integer
Dim l As Integer
dame = 0
l = 1
While dame = 0 And l < i
dame = -(j(l) = j(i))
l = l + 1
Wend
End Function
Private Function GCM(ByVal a As Long, ByVal b As Long)
If b = 0 Then
GCM = a
Else
GCM = GCM(b, a - Int(a / b) * b)
End If
End Function
Private Function bunsuu(ByVal bunshi As Long, ByVal bumbo As Long) As String
bunsuu = Str(bunshi)
If bumbo > 1 Then
bunsuu = bunsuu + "/" + Str(bumbo)
End If
End Function』
ＮＯ４＜ねこ＞さんからの解答　4/26：9時04分受信　更新4//27
こんにちは。ねこです。
第73回の問題6の「解答」PDF fileをクリックしてください。
人の解答に便乗してますが・・・(^-^;　
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