平成１３年５月２６日
[流れ星]
第７５回数学的な応募問題
＜解答募集期間：５月１６日〜５月３１日＞
［無限級数の値］
太郎さんは、ＷＯＬＦＲＡＭ社の数式ソフト「Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａ Ｖｅｒｓｉｎ４」を持っています分からないままに、時間をみながら、使っていましたところ、次のような無限級数の値を瞬時に求めてくれましたが、
いつも通り、答えに至るまでの過程が全然わかりません。皆さん、教えてください。
問題１：ｓｎ＝１のとき、無限級数Ｓの値
問題２：ｓｎ＝１＋１＋１＋・・・＋１ のとき、無限級数Ｓの値
問題３：ｓｎ＝１＋２＋３＋・・・＋ｎ のとき、無限級数Ｓの値
問題４：ｓｎ＝１＋２２＋３２＋・・・＋ｎ２ のとき、無限級数Ｓの値
問題５：ｓｎ＝１＋２３＋３３＋・・・＋ｎ３ のとき、無限級数Ｓの値
問題６：ｓｎ＝１＋２４＋３４＋・・・＋ｎ４ のとき、無限級数Ｓの値
・・・・・・
太郎さんは、早速、過去の大学入試に同じような問題がなかったか調べようと、思っています。
ＮＯ１＜やぎ＞５月１７日１４時44分受信 更新２６日
『こんにちは。ねこです。ちょっとMuPADで検証してみたところ、次のような関係がありそうです。
s(n,k) = 1^n + 2^n + ・・・ + k^n とすると、
Σ_(k=1..∞) {s(n,k)}/{2^k} = 2Σ_(k=1..∞){k^n}/{2^k}
Σ_(k=1..∞){k^n}/{2^k} の値は数列サイトにあり、
Sequence: 1,2,6,26,150,1082,9366,94586,1091670,14174522,204495126,
3245265146,56183135190,1053716696762,21282685940886,
460566381955706,10631309363962710,260741534058271802,
6771069326513690646
Name: Necklaces of sets of labeled beads.
References D. E. Knuth, personal communication.
J. D. E. Konhauser et al., Which Way Did the Bicycle Go?, MAA 1996, p. 174.
Links: INRIA Algorithms Project, Encyclopedia of Combinatorial
Structures 99
E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
Formula: Expansion of -ln(2 - e^x); also of exp(x)/(2-exp(x)).
a(n) = Sum {from k=1 to infinity} k^n/(2^k); a(n) = 1 + Sum {from j=0 to n-1}
C(n,j) a(j); number of combinations of a Simplex lock having n buttons.
a(n) = round[n!/ln(2)^(n+1)] (at least for n <= 15) - Henry Bottomley
(se16@btinternet.com), Jul 04 2000
Maple: spec:=[ B, {B=Cycle(Set(Z,card>=1))}, labelled ];
[seq(combstruct[count](spec, size=n), n=0..20)];
Mma: a[ 0 ] = 1; a[ n_ ]: = (a[ n ] = 1+Sum[ Binomial[ n,k ] a[ n-k ],{k,1,n}
]) とのことです。』
＜＜水の流れ：コメント＞s(n,k) = 1^n + 2^n + ・・・ + k^n への拡張を意識していましたが、こんな数列になっているとは思っていませんでした。また、明日、Mathematica に行ってみます。ありがとうございました。
＜こんにちは。ねこです。＞５月１８日８時２８分受信
失礼しました。
分母の２の指数が一つ間違えていました。
したがって、
Σ_(k=1..∞) {s(n,k)}/{2^(k-1)} = 4Σ_(k=1..∞){k^n}/{2^k}
となり、結果があっているようですね。
この関係式の証明は大変でしょうか・・・
ＮＯ２＜やぎ＞５月２２日０時５５分受信 更新２６日
寄せられた「八木」さんんの解答です。
第７５回 問題の解答を送ります。
添付のプログラムとUBＡSICがあればｋが100でも500でも求まります。
問題を題意の通りにプログラム化して、計算を有限の項数で打ち切っても収束が良いのでK＝100ぐらいまでは楽にもとまります。
添付のプログラムは後者のプログラムに対して高々２０倍程度しか早くありません。
第 ７５回 問題の解答
ｒ＝1/2
Ｓｋ＝１+（1+2ｋ）ｒ+（1+2ｋ+3ｋ）ｒ２+（1+2ｋ+3ｋ+4ｋ）ｒ3 + ---- （1）
ｒＳｋ＝ ｒ+（1+２ｋ）ｒ２ + （1+２ｋ+3ｋ）ｒ3 + ---------- （2）
（1）−（２） （1−ｒ）Ｓｋ＝1+2ｋｒ+3ｋｒ２+4ｋｒ3 +----- （3）
（3）の両辺にｒをかけると
ｒ（1−ｒ）Ｓｋ＝ｒ+2ｋｒ2+3ｋｒ3+4ｋｒ4 +---- （4）
∴ Ｓｋ＝（ｒ+2ｋｒ2+3ｋｒ3+4ｋｒ4 +----）/（ｒ（1−ｒ）） （5）
（5）式にｒ＝1/2 を代入すると（６）式となる
Ｓｋ＝4（ｒ+2ｋｒ2+3ｋｒ3+4ｋｒ4 +----） （6）
Ｆｋ＝（ｒ+2ｋｒ2+3ｋｒ3+4ｋｒ4 +----） とすると （ただし ｒ＝1/2）
Ｆｋは次のような法則で計算できそうです。
Ｆ2＝2＾2+1*2＝6
Ｆ３＝２＾３+４*２＾２+２＝26
Ｆ４＝2＾4+11*2＾3+11*2＾2+2＝150
− − −
２のべき乗の係数は次のようになる。
ｋ＝２ １ 1
ｋ＝３
1 4 1
ｋ＝4 1 11 11 1
ｋ＝５
1 26 66 26 1
ｋ＝６ 1 57 302 302 57 1
ｋ＝７ １ 120 1191
2416 1191 120 1
パスカルの三角形に似たこの数列の作成法則は次のようである。
ｋ＝５からｋ＝６を作る場合について説明する。
ｋ＝５
1 26 66 26 1
１ 5 2 4 3 3 4 2 5 1
ｋ＝６ 1
57 302 302 57 1
例えば ｋ＝６の左から３番目の 302 は ２６＊4＋６６＊３ と計算する。
同様にすればｋを順次大きくした場合の係数が求まる。
次に、例えばＫ＝５の場合の各係数は次のような法則によっても計算できそうである。
左より順に
1＾ｋ ＝ 1
２＾ｋ−1＾ｋ＊６ ＝ 26
3＾ｋ−2＾ｋ＊６＋1＾ｋ＊１５ ＝ 66
4＾ｋ−３＾ｋ＊６＋２＾ｋ＊１５−１＾ｋ＊２０ ＝ 26
５＾ｋ−4＾ｋ＊６+3^ｋ＊１５−2＾ｋ＊２０+1＾ｋ＊１５ ＝ 1
1 6 15 20 等の係数は２項係数です。
最後の方法をプログラムにすると次のようになる。
REM MUGENSUURETU
20 FOR N＝１ TO ２０ Ｓ２ ＝ ０
40 ＦＯＲ R＝０ TO N−１ Ｓ＝０
60 FOR T＝０ TO R
Ｆ＝（−１）^T ＊ （R＋１−T）^N ＊ ！（ｎ+1）／！（T）/！（Ｎ＋１−T）
S＝Ｓ＋F
90 NEXT T
100 F2 ＝ ２＾（R＋１）＊ S ：S２＝S２＋F２：ｓ２＝INT（S２＋0.1）
110 NEXT R
120 PRINT N，s２
130 NEXT N
140 END
問題の解答はこの計算で得られたｓ２を４倍する。
！（ｎ+1）は（ｎ+1）！であり階乗関数がシステムにない場合はサブルーチンで作成してください。
ＮＯ３＜浜田＞５月２４日９時２４分受信 更新２６日
最初に，
補題１
ｆｉ(ｎ)＝Σ(1≦k≦n)ｋｉはｎの(ｉ＋１)次式である（ｉは非負整数）．
を証明する．
i).ｉ＝０のとき，
ｆ０(ｎ)＝Σ(1≦k≦n)１＝ｎ
はｎの１次式なので，成立する．
ii).ｉ≦ｊ（ｊ≧０）のとき，ｆｉ(ｎ)＝Σ(1≦k≦n)ｋｉはｎの(ｉ＋１)次式であると仮定する．
(ｋ−１)ｊ＋２＝Σ(0≦r≦j+2)ｊ＋２Ｃｒｋｊ＋２−ｒ(−１)ｒ
＝ｋｊ＋２＋Σ(1≦r≦j+2)ｊ＋２Ｃｒｋｊ＋２−ｒ(−１)ｒ
から，
ｋｊ＋２−(ｋ−１)ｊ＋２＝−Σ(1≦r≦j+2)ｊ＋２Ｃｒｋｊ＋２−ｒ(−１)ｒ
ｋ＝１，２，３，……，ｎを代入し，辺々を加えると，
ｎｊ＋２＝−Σ(1≦r≦j+2)ｊ＋２Ｃｒ(−１)ｒΣ(1≦k≦n)ｋｊ＋２−ｒ
＝−Σ(1≦r≦j+2)ｊ＋２Ｃｒ(−１)ｒｆｊ＋２−ｒ(ｎ)
＝(ｊ＋２)ｆｊ＋１(ｎ)−Σ(2≦r≦j+2)ｊ＋２Ｃｒ(−１)ｒｆｊ＋２−ｒ(ｎ)
∴ｆｊ＋１(ｎ)＝{ｎｊ＋２＋Σ(2≦r≦j+2)ｊ＋２Ｃｒ(−１)ｒｆｊ＋２−ｒ(ｎ)}／(ｊ＋２)
故にｆj+1(ｎ)はｎの(ｊ＋２)次式である．
i).，ii).から，補題１は証明された．
次に，
補題２
lim(n→∞)(ｎの高々[(ｎ＋１)／２]次式)／２ｎ＝０
を証明する．
ａ，ｂ，ｃを実数とする．ｎは十分大きい自然数と考えてよいので，
０≦｜ａｎ＋ｂ｜／２ｎ
＝｜ａｎ＋ｂ｜／Σ(1≦k≦n)ｎＣｒ
≦｜ａｎ＋ｂ｜／(ｎＣ０＋ｎＣ１＋ｎＣ２)
＝｜ａｎ＋ｂ｜／{１＋ｎ＋ｎ(ｎ−１)／２}
＝｜ａ＋ｂ／ｎ｜／{１／ｎ＋１＋(ｎ−１)／２}
→０（ｎ→∞）
∴lim(n→∞)(ａｎ＋ｂ)／２ｎ＝０
同様に，
０≦｜ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ｜／２ｎ
≦｜ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ｜／(ｎＣ０＋ｎＣ１＋ｎＣ２＋ｎＣ３)
＝｜ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ｜／{１＋ｎ＋ｎ(ｎ−１)／２＋ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)／６}
＝｜ａ＋ｂ／ｎ＋ｃ／ｎ２｜／{１／ｎ２＋１／ｎ＋(１−１／ｎ)／２＋(１−１／ｎ)(ｎ−２)／６}
→０（ｎ→∞）
∴lim(n→∞)(ａｎ２＋ｂｎ＋ｃ)／２ｎ＝０
他の場合も同様に証明できる．
次に，
Ｔｉ，ｎ＝１ｉ＋２ｉ(１／２)＋３ｉ(１／２)２＋……＋ｎｉ(１／２)ｎ−１（ｉは非負整数）……(1)
において，
Ｔｉ＝lim(n→∞)Ｔｉ，ｎ
を求める．
(1)から，
(１／２)Ｔｉ，ｎ＝０ｉ＋１ｉ(１／２)＋２ｉ(１／２)２＋……＋(ｎ−１)ｉ(１／２)ｎ−１＋ｎｉ(１／２)ｎ ……(2)
(1)−(2)を計算すると，
(１／２)Ｔｉ，ｎ＝(１ｉ−０ｉ)＋(２ｉ−１ｉ)(１／２)＋(３ｉ−２ｉ)(１／２)２＋……＋{ｎｉ−(ｎ−１)ｉ}(１／２)ｎ−１−ｎｉ(１／２)ｎ
∴Ｔｉ，ｎ＝２[Σ(1≦k≦n){ｋｉ−(ｋ−１)ｉ}(１／２)ｋ−１−ｎｉ(１／２)ｎ]
＝２[Σ(1≦k≦n){−Σ(1≦r≦i)ｉＣｒｋｉ−ｒ(−１)ｒ}(１／２)ｋ−１−ｎｉ(１／２)ｎ]
＝２{−Σ(1≦r≦i)ｉＣｒ(−１)ｒΣ(1≦k≦n)ｋｉ−ｒ(１／２)ｋ−１−ｎｉ(１／２)ｎ}
＝２{−Σ(1≦r≦i)ｉＣｒ(−１)ｒＴｉ−ｒ，ｎ−ｎｉ／２ｎ}
つまりＴｉ，ｎは，帰納的にＴ０，ｎ〜Ｔｉ−１，ｎから求めることができる．
Ｔ０，ｎ＝１＋１／２＋(１／２)２＋……＋(１／２)ｎ−１
＝{１−(１／２)ｎ}／(１−１／２)
＝２{１−(１／２)ｎ}
∴Ｔ０＝lim(n→∞)Ｔ０，ｎ
＝２
Ｔ１，ｎ＝１＋２(１／２)＋３(１／２)２＋……＋ｎ(１／２)ｎ−１
＝２(Ｔ０，ｎ−ｎ／２ｎ)
∴Ｔ１＝lim(n→∞)Ｔ１，ｎ
＝lim(n→∞)２(Ｔ０，ｎ−ｎ／２ｎ)
＝２(Ｔ０−０)
＝２・２
＝４
Ｔ２，ｎ＝１２＋２２(１／２)＋３２(１／２)２＋……＋ｎ２(１／２)ｎ−１
＝２{−Σ(1≦r≦2)２Ｃｒ(−１)ｒＴ２−ｒ，ｎ−ｎ２／２ｎ}
＝２(２Ｔ１，ｎ−Ｔ０，ｎ−ｎ２／２ｎ)
∴Ｔ２＝lim(n→∞)Ｔ２，ｎ
＝lim(n→∞)２(２Ｔ１，ｎ−Ｔ０，ｎ−ｎ２／２ｎ)
＝２(２Ｔ１−Ｔ０−０)
＝２(２・４−２)
＝１２
Ｔ３，ｎ＝１３＋２３(１／２)＋３３(１／２)２＋……＋ｎ３(１／２)ｎ−１
＝２{−Σ(1≦r≦3)３Ｃｒ(−１)ｒＴ３−ｒ，ｎ−ｎ３／２ｎ}
＝２(３Ｔ２，ｎ−３Ｔ１，ｎ＋Ｔ０，ｎ−ｎ３／２ｎ)
∴Ｔ３＝lim(n→∞)Ｔ３，ｎ
＝lim(n→∞)２(３Ｔ２，ｎ−３Ｔ１，ｎ＋Ｔ０，ｎ−ｎ３／２ｎ)
＝２(３Ｔ２−３Ｔ１＋Ｔ０−０)
＝２(３・１２−３・４＋２)
＝５２
Ｔ４，ｎ＝１４＋２４(１／２)＋３４(１／２)２＋……＋ｎ４(１／２)ｎ−１
＝２{−Σ(1≦r≦4)４Ｃｒ(−１)ｒＴ４−ｒ，ｎ−ｎ４／２ｎ}
＝２(４Ｔ３，ｎ−６Ｔ２，ｎ＋４Ｔ１，ｎ−Ｔ０，ｎ−ｎ４／２ｎ)
∴Ｔ４＝lim(n→∞)Ｔ４，ｎ
＝lim(n→∞)２(４Ｔ３，ｎ−６Ｔ２，ｎ＋４Ｔ１，ｎ−Ｔ０，ｎ−ｎ４／２ｎ)
＝２(４Ｔ３−６Ｔ２＋４Ｔ１−Ｔ０−０)
＝２(４・５２−６・１２＋４・４−２)
＝３００
Ｔ５，ｎ＝１５＋２５(１／２)＋３５(１／２)２＋……＋ｎ５(１／２)ｎ−１
＝２{−Σ(1≦r≦5)５Ｃｒ(−１)ｒＴ５−ｒ，ｎ−ｎ５／２ｎ}
＝２(５Ｔ４，ｎ−１０Ｔ３，ｎ＋１０Ｔ２，ｎ−５Ｔ１，ｎ＋Ｔ０，ｎ−ｎ５／２ｎ)
∴Ｔ５＝lim(n→∞)Ｔ５，ｎ
＝lim(n→∞)２{５Ｔ４，ｎ−１０Ｔ３，ｎ＋１０Ｔ２，ｎ−５Ｔ１，ｎ＋Ｔ０，ｎ−ｎ５／２ｎ}
＝２{５Ｔ４−１０Ｔ３＋１０Ｔ２−５Ｔ１＋Ｔ０−０}
＝２(５・３００−１０・５２＋１０・１２−５・４＋２)
＝２１６４
問題ｍの答をＭｍとする．
また問題２において，
１＋１＋１＋……＋１＝ｎ
と解釈する．
問題１において，
Ｍ１＝Σ(1≦n≦∞)１／２ｎ−１
＝Σ(1≦n≦∞)(１／２)ｎ−１
＝１／(１−１／２)
＝２ ……(答)
次に問題ｍ（ｍ≧２）において，
Ｍｍ＝Σ(1≦n≦∞)Σ(1≦k≦n)ｋｍ−２／２ｎ−１
部分和を
Ｍｍ，ｎ＝１ｍ−２＋(１ｍ−２＋２ｍ−２)(１／２)＋(１ｍ−２＋２ｍ−２＋３ｍ−２)(１／２)２＋……＋ (１ｍ−２＋２ｍ−２＋３ｍ−２＋……＋ｎｍ−２)(１／２)ｎ−１ ……(3)
とすると，
(１／２)Ｍｍ，ｎ＝ １ｍ−２(１／２)＋ (１ｍ−２＋２ｍ−２)(１／２)２＋……＋{１ｍ−２＋２ｍ−２＋３ｍ−２＋……＋(ｎ−１)ｍ−２}(１／２)ｎ−１＋(１ｍ−２＋２ｍ−２＋３ｍ−２＋……＋ｎｍ−２)(１／２)ｎ ……(4)
(3)−(4)を計算すると，
(１／２)Ｍｍ，ｎ＝１ｍ−２＋２ｍ−２(１／２)＋３ｍ−２(１／２)２＋……＋ｎｍ−２(１／２)ｎ−１−ｆｍ−２(ｎ)(１／２)ｎ（ｆｍ−２(ｎ)はｎの(ｍ−１)次式）
∴Ｍｍ，ｎ＝２{Ｔｍ−２，ｎ−ｆｍ−２(ｎ)／２ｎ}
∴Ｍｍ＝lim(n→∞)２{Ｔｍ−２，ｎ−ｆｍ−２(ｎ)／２ｎ}
＝２Ｔｍ−２
ｍ＝２のとき，
Ｍ２＝２Ｔ０
＝２・２
＝４
ｍ＝３のとき，
Ｍ３＝２Ｔ１
＝２・４
＝８
ｍ＝４のとき，
Ｍ４＝２Ｔ２
＝２・１２
＝２４
ｍ＝５のとき，
Ｍ５＝２Ｔ３
＝２・５２
＝１０４
ｍ＝６のとき，
Ｍ６＝２Ｔ４
＝２・３００
＝６００
ｍ＝７のとき，
Ｍ７＝２Ｔ５
＝２・２１６４
＝４３２８
・・・
ＮＯ４＜清川(kiyo)＞５月２６日３時４９分受信 更新２８日
１回目『いつもお世話になっています。kiyoです。係数がパスカルの三角形になっているのですね。
×2 ×2
ΣN^1 2 4 8 1 1
ΣN^2 6 12 24 1 2 1
ΣN^3 26 52 104 1 3 3 1
ΣN^4 150 300 600 1 4 6 4 1
ΣN^5 1082 2164 4328 1 5 10 10 5 1
ΣN^6 9366 18732 37464 1 6 15 20 15 6 1
2
2*4-2=6
3*12-3*4+2=26
4*52-6*12+4*4-2=150
5*300-10*52+10*12-5*4+2=1082
6*2164-15*300+20*52-15*12+6*4+2=9366
プログラムを組んで点検してみました。
REM 無限級数の値
DIM S(1000)
REM 問題1
FOR I=1 TO 1000
LET S(I)=1
NEXT I
LET SS=0
FOR I=1 TO 1000
LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
NEXT I
PRINT ROUND(SS)
REM 問題2
FOR I=1 TO 1000
LET S(I)=I
NEXT I
LET SS=0
FOR I=1 TO 1000
LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
NEXT I
PRINT ROUND(SS)
REM 問題3
FOR I=1 TO 1000
LET S(I)=I*(I+1)/2
NEXT I
LET SS=0
FOR I=1 TO 1000
LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
NEXT I
PRINT ROUND(SS)
REM 問題4
FOR I=1 TO 1000
LET S(I)=I*(I+1)*(2*I+1)/6
NEXT I
LET SS=0
FOR I=1 TO 1000
LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
NEXT I
PRINT ROUND(SS)
REM 問題5
FOR I=1 TO 1000
LET S(I)=((I^2)*(I+1)^2)/4
NEXT I
LET SS=0
FOR I=1 TO 1000
LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
NEXT I
PRINT ROUND(SS)
REM 問題6
FOR I=1 TO 1000
LET S(I)=I*(I+1)*(2*I+1)*(3*I^2+3*I-1)/30
NEXT I
LET SS=0
FOR I=1 TO 1000
LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
NEXT I
PRINT ROUND(SS)
REM 問題7
FOR I=1 TO 1000
LET S(I)=(I^2)*((I+1)^2)*(2*I^2+2*I-1)/12
NEXT I
LET SS=0
FOR I=1 TO 1000
LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
NEXT I
PRINT ROUND(SS)
REM 問題8
FOR I=1 TO 1000 LET S(I)=I*(I+1)*(2*I+1)*(3*I^4+6*I^3-3*I+1)/42
NEXT I
LET SS=0
FOR I=1 TO 1000
LET SS=SS+S(I)/(2^(I-1))
NEXT I
PRINT ROUND(SS)
END
出力
2
4
8
24
104
600
4328
37464』
ＮＯ５＜清川(kiyo)＞５月２６日６時４２分受信 更新２８日
２回目『いつもお世話になっています。kiyoです。漸化式をプログラムしてみました。今後とも宜しくお願いします。
REM 無限級数の値Ｓを求める。Ver.2
OPTION BASE 0
DIM T(30)
LET T(0)=1
LET T(1)=2
FOR I=2 TO 30
LET Z=0
FOR J=I-1 TO 0 STEP -1
LET Z=Z+1
IF MOD( Z , 2) =1 THEN
LET F=1
ELSE
LET F=-1
END IF
LET T(I)=T(I)+2*T(J)*COMB(I,J)*F
NEXT J
NEXT I
FOR N=1 TO 30
LET T(N)=T(N)*4
PRINT " ΣN";"^";N
PRINT " S=";T(N)
PRINT
NEXT N
END
出力
ΣN^ 1
S= 8
ΣN^ 2
S= 24
ΣN^ 3
S= 104
ΣN^ 4
S= 600
ΣN^ 5
S= 4328
ΣN^ 6
S= 37464
ΣN^ 7
S= 378344
ΣN^ 8
S= 4366680
ΣN^ 9
S= 56698088
ΣN^ 10
S= 817980504
ΣN^ 11
S= 12981060584
ΣN^ 12
S= 224732540760
ΣN^ 13
S= 4214866787048
ΣN^ 14
S= 85130743763544
ΣN^ 15
S= 1842265527822824
ΣN^ 16
S= 42525237455850840
ΣN^ 17
S= 1042966136233087208
ΣN^ 18
S= 27084277306054762584
ΣN^ 19
S= 742412698554627289064
ΣN^ 20
S= 21421502369955073624920
ΣN^ 21
S= 648998599988032591054568
ΣN^ 22
S= 20598755358425523076353624
ΣN^ 23
S= 683507610693965674356643304
ΣN^ 24
S= 23666232968593163781205191000
ΣN^ 25
S= 853578923507806206604667985128
ΣN^ 26
S= 32017806078753347939889020312664
ΣN^ 27
S= 1247182111348972985994209810029544
ΣN^ 28
S= 50380496519600528268146991482677080
ΣN^ 29
S= 2107827082104189520167146632356614888
ΣN^ 30
S= 91228550352095043869939713569479215704 』
ＮＯ６＜清川(kiyo)＞５月２６日１５時５７分受信 更新２８日
３回目『いつもお世話になっています。kiyoです。数列サイトで検索してみました。またプログラムを一部修正しました。いつもお世話になっています。kiyoです。
数列サイトで検索してみました。またプログラムを一部修正しました。
REM 無限級数の値Ｓ求める。Ver.2
OPTION BASE 0
DIM T(30)
LET T(0)=1
FOR I=1 TO 30
LET Z=0
FOR J=I-1 TO 0 STEP -1
LET Z=Z+1
IF MOD( Z , 2) =1 THEN
LET F=1
ELSE
LET F=-1
END IF
LET T(I)=T(I)+2*T(J)*COMB(I,J)*F
NEXT J
NEXT I
FOR N=1 TO 30
LET T(N)=T(N)*4
PRINT " ΣN";"^";N
PRINT " S=";T(N);" ";T(N)/8
PRINT
NEXT N
END
出力
ΣN^ 1
S= 8 1
ΣN^ 2
S= 24 3
ΣN^ 3
S= 104 13
ΣN^ 4
S= 600 75
ΣN^ 5
S= 4328 541
ΣN^ 6
S= 37464 4683
ΣN^ 7
S= 378344 47293
ΣN^ 8
S= 4366680 545835
ΣN^ 9
S= 56698088 7087261
ΣN^ 10
S= 817980504 102247563
ΣN^ 11
S= 12981060584 1622632573
ΣN^ 12
S= 224732540760 28091567595
ΣN^ 13
S= 4214866787048 526858348381
ΣN^ 14
S= 85130743763544 10641342970443
ΣN^ 15
S= 1842265527822824 230283190977853
ΣN^ 16
S= 42525237455850840 5315654681981355
ΣN^ 17
S= 1042966136233087208 130370767029135901 ΣN^ 18
S= 27084277306054762584 3385534663256845323
ΣN^ 19
S= 742412698554627289064 92801587319328411133
ΣN^ 20
S= 21421502369955073624920 2677687796244384203115
ΣN^ 21
S= 648998599988032591054568 81124824998504073881821
ΣN^ 22
S= 20598755358425523076353624 2574844419803190384544203
ΣN^ 23
S= 683507610693965674356643304 85438451336745709294580413
ΣN^ 24
S= 23666232968593163781205191000 2958279121074145472650648875
ΣN^ 25
S= 853578923507806206604667985128 106697365438475775825583498141
ΣN^ 26
S= 32017806078753347939889020312664 4002225759844168492486127539083
ΣN^ 27
S= 1247182111348972985994209810029544 155897763918621623249276226253693
ΣN^ 28
S= 50380496519600528268146991482677080 6297562064950066033518373935334635
ΣN^ 29
S= 2107827082104189520167146632356614888 263478385263023690020893329044576861
ΣN^ 30
S= 91228550352095043869939713569479215704
11403568794011880483742464196184901963
ID Number: A000670 (Formerly M2952 and N1191)
Sequence: 1,1,3,13,75,541,4683,47293,545835,7087261,102247563,
1622632573,28091567595,526858348381,10641342970443,
230283190977853,5315654681981355,130370767029135901,
3385534663256845323
Name: Preferential arrangements of n elements.
Comments: Also asymmetric generalized weak orders on n points.
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INRIA Algorithms Project, Encyclopedia of Combinatorial Structures 41
E. W. Weisstein, Link to a section of The World of Mathematics.
Index entries for "core" sequences
Formula: a(0) = 1, a(n) = Sum from k=1 to n of C(n,k)*a(n-k); e.g.f.:
1/(2-e^x).
For n>=1, a(n) = n!/2 * Sum from k=-infinity to infinity of (log(2) + 2
pi i k)^(-n-1) - from Dean Hickerson (dean@math.ucdavis.edu)
Maple: A000670:=proc(n) option remember; local k; if n <=1 then 1 else
add(binomial(n,k)*A000670(n-k),k=1..n); fi; end;
spec:=[ B, {B=Sequence(Set(Z,card>=1))}, labelled ];
[seq(combstruct[count](spec, size=n), n=0..30)];
Mma: Table[ PolyLog[ -z,1/2 ] /2,{z,1,11} ] (from Wouter Meeussen,
eu000949@pophost.eunet.be)
See also: Binomial transform of A052841.
Inverse binomial transform of A000629 - Joe Keane (jgk@jgk.org).
Asymptotic to A034172. Cf. A053525, A002869, A004121, A004122.
Keywords: easy,huge,core,nonn,nice
Offset: 0
Author(s): njas
