平成１３年９月１日
[流れ星]
第８２回数学的な応募問題
＜解答募集期間：９月１日〜９月１５日＞
［三角形の面積比］
太郎さんは、最近「ヴェイユ」さん頂いた「面積比」の問題を考えていたときに、下のような問題を気がつきました。
鋭角三角形ＡＢＣにおいて、内部に任意に点Ｐをとり、直線ＡＰと辺ＢＣとの交点をＤ，直線ＢＰと辺ＣＡとの交点をＥ，直線ＣＰと辺ＣＡとの交点をＦとする。また、「チェバ」の定理から、ＢＦ：ＦＡ＝ｐ：ｑ，ＡＥ：ＥＣ＝ｒ：ｐ，ＣＤ：ＤＢ＝ｑ：ｒとおける。（ただし、ｐ，ｑ，ｒは正の数で、便宜的にｐ＋ｑ＋ｒ＝１とする。）
このとき、問題１：面積比、三角形ＤＥＦ／三角形ＡＢＣの値をｐ，ｑ，ｒで簡単に表してください。
さらに、ここで、ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとし、点Ｐが次のような場合、ｐ：ｑ：ｒの比を辺ａ，ｂ，ｃや角Ａ，Ｂ，Ｃなどを用いて求めてください。（ただし今回は、ｐ＋ｑ＋ｒ＝１の制約を取り除きます。）
問題２：点Ｐが重心の場合
問題３：点Ｐが内心の場合
問題４：点Ｐが外心の場合
問題５：点Ｐが垂心の場合
でも、点Ｐが問題２，３，４、５のときの面積比、三角形ＤＥＦ／三角形ＡＢＣの値がどうなるか気になります。わかったら教えてください。
皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
