平成１３年９月１５日
[流れ星]
第８２回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：９月１日〜９月１５日＞
［三角形の面積比］
太郎さんは、最近「ヴェイユ」さん頂いた「面積比」の問題を考えていたときに、下のような問題を気がつきました。
鋭角三角形ＡＢＣにおいて、内部に任意に点Ｐをとり、直線ＡＰと辺ＢＣとの交点をＤ，直線ＢＰと辺ＣＡとの交点をＥ，直線ＣＰと辺ＣＡとの交点をＦとする。また、「チェバ」の定理から、ＢＦ：ＦＡ＝ｐ：ｑ，ＡＥ：ＥＣ＝ｒ：ｐ，ＣＤ：ＤＢ＝ｑ：ｒとおける。（ただし、ｐ，ｑ，ｒは正の数で、便宜的にｐ＋ｑ＋ｒ＝１とする。）
このとき、問題１：面積比、三角形ＤＥＦ／三角形ＡＢＣの値をｐ，ｑ，ｒで簡単に表してください。
さらに、ここで、ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとし、点Ｐが次のような場合、ｐ：ｑ：ｒの比を辺ａ，ｂ，ｃや角Ａ，Ｂ，Ｃなどを用いて求めてください。（ただし今回は、ｐ＋ｑ＋ｒ＝１の制約を取り除きます。）
問題２：点Ｐが重心の場合
問題３：点Ｐが内心の場合
問題４：点Ｐが外心の場合
問題５：点Ｐが垂心の場合
でも、点Ｐが問題２，３，４、５のときの面積比、三角形ＤＥＦ／三角形ＡＢＣの値がどうなるか気になります。わかったら教えてください。
ＮＯ１：「浜田」さんの解答 9/3：８時14分受信 9/15更新
問題１
△ＡＦＥ／△ＡＢＣ＝ｑ／(ｐ＋ｑ)・ｒ／(ｒ＋ｐ)＝ｑｒ／(ｐ＋ｑ)(ｒ＋ｐ)
同様に，
△ＢＤＦ／△ＡＢＣ＝ｒｐ／(ｑ＋ｒ)(ｐ＋ｑ)
△ＣＥＤ／△ＡＢＣ＝ｐｑ／(ｒ＋ｐ)(ｑ＋ｒ)
∴△ＤＥＦ／△ＡＢＣ＝(△ＡＢＣ−△ＡＦＥ−△ＢＤＦ−△ＣＥＤ)／△ＡＢＣ
＝１−△ＡＦＥ／△ＡＢＣ−△ＢＤＦ／△ＡＢＣ−△ＣＥＤ／△ＡＢＣ
＝１−ｑｒ／(ｐ＋ｑ)(ｒ＋ｐ)−ｒｐ／(ｑ＋ｒ)(ｐ＋ｑ)−ｐｑ／(ｒ＋ｐ)(ｑ＋ｒ)
＝{(ｐ＋ｑ)(ｑ＋ｒ)(ｒ＋ｐ)−ｑｒ(ｑ＋ｒ)−ｒｐ(ｒ＋ｐ)−ｐｑ(ｐ＋ｑ)}／(ｐ＋ｑ)(ｑ＋ｒ)(ｒ＋ｐ)
＝(ｐｑｒ＋ｐ^2ｑ＋ｐｒ^2＋ｐ^2ｒ＋ｑ^2ｒ＋ｐｑ^2＋ｑｒ^2＋ｐｑｒ−ｑ^2ｒ−ｑｒ^2−ｒ^2ｐ−ｒｐ^2−ｐ^2ｑ−ｐｑ^2)／(ｐ＋ｑ)(ｑ＋ｒ)(ｒ＋ｐ)
＝２ｐｑｒ／(ｐ＋ｑ)(ｑ＋ｒ)(ｒ＋ｐ)………(答)
（疑問点）ｐ＋ｑ＋ｒ＝１は必要ない条件だと思います．ｐ＞０，ｑ＞０，ｒ＞０だけで十分ではないでしょうか．
＜水の流れ：コメント＞こんにちは。いつもお世話になっています。今回の応募ありがとうございます。いつも感謝の気持ちで一杯です。
「私の一日」に載せておきましたが、当初、位置ベクトルで考えていまして、
ご指摘のように 条件 ｐ＋ｑ＋ｒ＝１はなくしてもいいです。ご指摘、ありがとうございます。
問題２
点Ｐが重心なので，Ｄ，Ｅ，ＦはそれぞれＢＣ，ＣＡ，ＡＢの中点である．
ｐ＝ｑ＝ｒ＝１としてよいので，答は， ２／(２・２・２)＝１／４
問題３
点Ｐが内心なので，ＡＤは∠ＢＡＣの二等分線である．
∴ＢＤ：ＤＣ＝ＡＢ：ＡＣ
∴ｒ：ｑ＝(ｐ＋ｑ)：(ｒ＋ｐ)
∴ｒ(ｒ＋ｐ)＝ｑ(ｐ＋ｑ)
∴ｒ^2＋ｒｐ＝ｐｑ＋ｑ^2
∴ｒ^2−ｑ^2＝ｐｑ−ｒｐ
∴(ｒ＋ｑ)(ｒ−ｑ)＝ｐ(ｑ−ｒ)
∴(ｐ＋ｑ＋ｒ)(ｒ−ｑ)＝０
ｐ＋ｑ＋ｒ＞０から，ｑ＝ｒ
同様に，ｒ＝ｐ，ｐ＝ｒ
∴ｐ＝ｑ＝ｒ
問題２と同様なので，答は１／４
＜水の流れ：コメント＞ ∴ｒ：ｑ＝(ｐ＋ｑ)：(ｒ＋ｐ) ここは、疑問です。成り立たないと思いますが。
ＮＯ２「kashiwagit」さんの解答 9/10：８時04分受信 9/15更新
おはようございます。解答を送付致します。全て面積比で考えて見ました。但し、あまりきれいな関係にならず、自信はありません。
問題１
△ＡＥＦ／△ＡＢＣ＝（ｑ／ｐ＋ｑ）×（ｒ／ｐ＋ｒ）、他の△BDＦ、△CDＥも同様にして
△BDＦ／△ＡＢＣ＝（ｐ／ｐ＋ｑ）×（r／q＋ｒ）
△CDＥ／△ＡＢＣ＝（ｑ／r＋ｑ）×（p／ｐ＋ｒ）となる。
△DEFの面積は△ＡＢＣから△ＡＥＦ、△BDＦ及び△CDＥの面積をひいたものだから
〔△ＡＢＣ−（△ＡＥＦ＋△BDＦ＋△CDＥ）〕／△ＡＢＣを考える。
上記３式とｐ＋ｑ＋ｒ＝１の関係を使い整理すると、
△DＥＦ／△ＡＢＣ＝１−〔２ｐｑｒ／（１−ｐ）（１−ｑ）（１−ｒ）〕となる。
問題２
Ｐが重心 ： 例えば△ＡＢＤと△ＡＤＣの面積は等しいので
（ｒ／ｑ＋ｒ）acsinB ＝ （ｑ／ｑ＋ｒ）aｂsinC、同様にして、
（ｑ／ｐ＋ｑ）ｂcsinA ＝ （ｐ／ｐ＋ｑ）ｃasinB
この関係より ｐ：ｑ：ｒ＝ｂcsinA ：acsinB ：aｂsinC
問題３ Ｐが内心
内心だから各々の角は二等分されている。因って、BD：DC＝AB：AC同様の関係から
ｒ／ｑ＝ｃ／ｂ，ｐ／ｒ＝ａ／ｃ，ｑ／ｐ＝ｂ／ａ
これらより、ｐ：ｑ：ｒ＝a ：ｂ ：ｃ
問題４ Ｐが外心
小さな三つの三角形の面積比を計算する。
例えば、△PBCは（１／２）acsinBp／ｐ＋ｑ＋ｒ、同様にして、他の二つを求め、比較すると、
ｐ：ｑ：ｒ＝sin２A：sin２B：sin２C
問題５ Ｐが垂心
上記と同様の計算を繰り返し、面積比より
ｐ：ｑ：ｒ＝a cosCcosB ：b cosCcosA
：c cosBcosA
問題６ 問題１と同様の考えで計算すると、２ｐｑｒ／（ｐ＋ｑ）（ｑ＋ｒ）（ｒ＋ｐ） となる。
＜水の流れ：コメント＞>問題５において、
ｐ：ｑ：ｒ＝a cosCcosB ：b cosCcosA ：c cosBcosA
現在検証中ですが、比ですから、結果の形がいろいろあります。私の予定は ｔａｎＡ ： ｔａｎＢ ： tanC ですけど。
ＮＯ３「kashiwagit」さんの解答 9/13：7時28分受信 9/15更新
再度考えた結果を送付致します。
おはようございます。解答を送付致します。全て面積比で考えて見ました。但し、あまりきれいな関係にならず、自信はありません。
問題１ △ＡＥＦ／△ＡＢＣ＝（ｑ／ｐ＋ｑ）×（ｒ／ｐ＋ｒ）、他の△BDＦ、△CDＥも同様にして
△BDＦ／△ＡＢＣ＝（ｐ／ｐ＋ｑ）×（r／q＋ｒ）
△CDＥ／△ＡＢＣ＝（ｑ／r＋ｑ）×（p／ｐ＋ｒ）となる。
△DEFの面積は△ＡＢＣから△ＡＥＦ、△BDＦ及び△CDＥの面積をひいたものだから
〔△ＡＢＣ−（△ＡＥＦ＋△BDＦ＋△CDＥ）〕／△ＡＢＣを考える。
上記３式とｐ＋ｑ＋ｒ＝１の関係を使い整理すると、
△DＥＦ／△ＡＢＣ＝１−〔２ｐｑｒ／（１−ｐ）（１−ｑ）（１−ｒ）〕となる。
＝ｐ(superscript: ２)／（１−ｑ）（１−ｒ）＋ｑ(superscript:
２)／（１−ｒ）（１−ｐ）＋ｒ(superscript: ２)／（１−ｐ）（１−ｑ）
問題２ Ｐが重心
例えば△ＡＢＤと△ＡＤＣの面積は等しいので
（ｒ／ｑ＋ｒ）acsinB ＝ （ｑ／ｑ＋ｒ）aｂsinC、同様にして、
（ｑ／ｐ＋ｑ）ｂcsinA ＝ （ｐ／ｐ＋ｑ）ｃasinB
この関係より ｐ：ｑ：ｒ＝ｂcsinA ：acsinB ：aｂsinC これらは全て△ＡＢＣの面積の半分だから等しく、
＝１：１：１
問題３ Ｐが内心
内心だから各々の角は二等分されている。因って、BD：DC＝AB：AC同様の関係から
ｒ／ｑ＝ｃ／ｂ，ｐ／ｒ＝ａ／ｃ，ｑ／ｐ＝ｂ／ａ
これらより、ｐ：ｑ：ｒ＝a ：ｂ ：ｃ
問題４ Ｐが外心
小さな三つの三角形の面積比を計算する。
例えば、△PBCは（１／２）acsinBp／ｐ＋ｑ＋ｒ、同様にして、他の二つを求め、比較すると、
ｐ：ｑ：ｒ＝sin２A：sin２B：sin２C
問題５ Ｐが垂心
上記と同様の計算を繰り返し、面積比より
ｐ：ｑ：ｒ＝a cosCcosB ：b cosCcosA
：c cosBcosA これらをcosAcosBcosC で割り正弦定理を使うと、
＝tanA ：tanB ：tanC
問題６ 問題１と同様の考えで計算すると、２ｐｑｒ／（ｐ＋ｑ）（ｑ＋ｒ）（ｒ＋ｐ）となる。
＜水の流れ：コメント＞ありがとうございました。この辺のところは生徒に話してみたいと考えています。しかし、問題６では、この形ではまだ、自分自身はっきりとしていません。もし、お時間があれば、教えてもらいたいです。
