平成１３年９月30日
[流れ星]
第８３回数学的な応募問題解答NO1
＜解答募集期間：９月１６日～９月３０日＞
［最大雨量］
太郎さんは、８月20・21日に行われた「県教育課程講習会」に出席してきましたが、県教委の方が次のような身近な問題を出され、解説されました。紹介します。
問題：幅ａの細長い鉄板を折り曲げて、といを作ります。対称に２カ所で同じ角度に折り曲げて、切り口を等脚台形にします。（下の図）
どこでどのように折り曲げたら、雨を最も多量に流すことができるでしょうか。
ＮＯ１＜ヴェイユ＞さんからの解答 9/15：20時20分受信 更新9/30
前回は身の周りが慌しく残念ながら応募できませんでした。今回の問題ですが
等脚台形の面積を最大にすれば良いということと理解しました。
問題の図にある等脚台形を台形ABCDとし、ADを上底、BCを下底とします。
このとき，ACに平行なDを通る直線と直線BCとの交点をPとします。
すると△ABP＝台形ABCD （面積の意味で）となります。この時BCに対するABの角度を考えれば直角とするのが
一番「無駄のない」ことになる（3角形の面積は底辺と高さのみで定まる）ので、
結局
AB＝α ，BP＝β(＝BC＋AD＝2BC)
とすれば、台形ABCDの面積が最大になる時その面積は
αβ/2（＝△ABP）となります。
また条件から
2α＋β/2＝ａ(≡constant)
なので
αβ＝2α*(β/2)は
2α＝β/2＝ａ/2
の時最大になります。即ち
「直角に折り曲げてAB＝CD＝ａ/4，ＢＣ＝ａ/2」
とするのが最適だと考えます。どうでしょうか？
＜水の流れ：コメント＞拝見しましたが、結果は私と同じではありませんでした。当時の記憶によると、そんな答えでななっかたようです。
ＮＯ２＜清川（kiyo）＞さんからの解答 9/16：8時46分受信 更新9/30
いつもお世話になっています。kiyoです。微分法を忘れてしまったので、プログラムで求めてみました。
OPTION ANGLE DEGREES
LET MAX=0
FOR B=0 TO 90
FOR A=0 TO 1 STEP 0.0001
LET X=((1-A)*COS(B)+2*A)*(1-A)*SIN(B)/4
IF X>MAX THEN
LET MAX=X
LET MAXB=B
LET MAXA=A
END IF
NEXT A
NEXT B
PRINT MAXB;MAXA;MAX
END
60 .3333 .144337566936563
答え 両端を三等分した点で６０°折り曲げる。そのときの面積
(SQRT(3)/12)*A^2 今後とも宜しくお願いします。
＜水の流れ：コメント＞ 誰か、微分を用いて解いてくださるとありがたいです。
ＮＯ３＜Ｉｇａ＞さんからの解答 9/16：16時30分受信 更新9/30
久しぶりに、何とかなりそうな問題なので、早速やってみました。
鉄板の幅 ａ＝１、
折り曲げる長さを端から ｘ （ただし０＜ｘ＜０．５）、
折り曲げる角度（といの外側） θ （０＜θ＜π／２）
として、等脚台形の面積が最大になるように、ｘとθを求めようとしました。
二つの底辺は、（１－２ｘ）と（１－２ｘ＋２ｘｃｏｓθ）、
高さは、ｘｓｉｎθ になるので、面積は ｛（１－２ｘ）＋（１－２ｘ＋２ｘｃｏｓθ）｝×ｘｓｉｎθ÷２ …①
になります。（余談ですが、この台形の面積を求める公式は、新学習指導要領では、全員が必ず覚えなくてもよい、となるようですね）
とりあえず、何も考えずに、ｘを０．０１刻み、θを１度刻みで表計算ソフトに入れたら、ｘ＝０．３３、θ＝６０度の時に最大になっていました。
答えの目安がついたので、①の式を整理、変形して
＝（１－２ｘ＋ｘｃｏｓθ）×ｘｓｉｎθ
＝（－２ｓｉｎθ＋ｓｉｎθｃｏｓθ）ｘ＾２＋ｘｓｉｎθ
＝ｓｉｎθ｛（ｃｏｓθ－２）ｘ＾２＋ｘ｝
＝ｓｉｎθ［（ｃｏｓθ－２）｛ｘ＋１／（２（ｃｏｓθ－２）｝－１／（４（ｃｏｓθ－２））］
となりました。これにより、
ｓｉｎθ（ｃｏｓθ－２）＜０ となるθの範囲で
ｘ＝－１／｛２（ｃｏｓθ－２）｝のとき、
元の式は最大値 －ｓｉｎθ／｛４（ｃｏｓθ－２）｝ をとることがわかりました。
この最後の式を最大とするθを求めれば、ｘの値もでてくるのですが、もう何年も（十数年？数十年？ぶり）、三角関数なんて扱っていないものだから、この先、どうやったら、表計算ソフトでつけた目安のθ＝２π／３にたどり着けるのか、
（このとき、ｘ＝１／３になって、目安の通りなのに…）忘れてしまったものは思い出せず、行き詰まってしまいました。
何とかなりそうと思っていたけれど何とかなりませんでした。結局ここまでしかできませんでしたが、送らせていただきます。これからも、またよろしくお願いします。
ＮＯ４＜ヴェイユ＞さんからの解答 9/17：３時50分受信 更新9/30
昨日送ったものが不正解でその理由も判ったので今度は微分で求めました。
板ADを左から点B、点Cで折り曲げるとしてAB＝CD＝ｘ、BC＝ｙとします。
この時折り曲げる角度(ABのBCに対する角度)をθ（rad）とすると 台形の面積は(ｙ＋ｘｃｏｓθ)ｘcosθとなります。
ｙ＝ａ－2ｘを代入するとａｘｓｉｎθ＋ｘ＾2（cosθ－2）sinθ
というｘに関する2次式になるのでθを固定してこの式をｘについて微分すれば
ａsinθ＋2ｘ(cosθ－2)sinθ
となり最大値の存在は明らかなので＝0として
ｘ＝ａ/2(2－cosθ)、ｙ＝ａ(1－cosθ)/(2－cosθ)
となります(sinθ＝0で無いのは明らか)。
つまり同じ角度で折り曲げたなら、ｘとｙをこのようにするのが一番適していることになります。
よって台形の面積が最大の時の折り曲げる角度をθとした時もｘとｙはこのように表せることが分かります。
そして更にこの結果を台形の面積(ｙ＋ｘｃｏｓθ)ｘcosθに代入すると
(ａ/4)＾2sinθ/(2－cosθ)となり、これをθについて微分すると
(2cosθ－1)/(2－cosθ)＾2となりますがこれもまた最大値の存在が明らかなので＝0として
cosθ＝1/2即ちθ＝π/3となり、これからｘ＝ｙ＝ａ/3となります。
ということで答えは「板を3等分して６０度に折り曲げる」です。今度はどうでしょうか？
＜水の流れ：コメント＞正解に至っています。
ＮＯ５＜浜田＞さんからの解答 9/17：16時57分受信 更新9/30
「浜田」さんから寄せられたものです。ここをクリックください。
ＮＯ６＜kashiwagi＞さんからの解答 9/19：８時40分受信 更新9/30
おはようございます。解答を送付致します。微分を使いましたが、中学生にはわかりませんし－－－。
二次式を平方式にしてやるのが、オーソドックスな解答なのでしょうが、面倒なのでお許し下さい。
両端から折る長さをｘ、残った長さを２ｙ、折り曲げる角度をθとする。
２ｘ＋２ｙ＝a－－－① 題意より a/２＞ｘ，ｙ＞０ π/２＞θ＞０－－－②
といの面積Ｓは、 Ｓ＝（2y＋xcosθ）xsinθ ここで①の関係からｙを消去すると、
＝sinθ（cosθ－2）ｘ(superscript: ２) ＋asinθx
ところで、条件②よりｘ(superscript: ２) の係数は０にならず、必ずであるから、最大値を持つ。
因って、Ｓをｘの関数として微分すると、
ｘ＝a/2（2-cosθ）で最大値をとる。この値はa/4とa/2の間にあるので題意を満たしている。
この値をＳに代入すると、a(superscript: 2)sinθ/4（2-cosθ）となる。
そこで、この値をθの関数とみなし、同様にθで微分し、計算すると、cosθ＝1/2で最大値をとる。
即ち、θ＝π/3、ｘ＝a/3である。これらは②の条件を満たすので求めるものである。
両端から1/3のところで60°折り曲げれば良い。
以上よろしくお願い申し上げます。
＜水の流れ：コメント＞ ええー！中学生でしたか、以前話題になったけ。記憶になーい。いや、どんな解法でも制約をしていませんから、自由な発想で結構です。ええー、この微分が理解できているんですか。驚きです。もう少し、丁寧に書いてもらえると、ありがたいです。
ＮＯ７＜kashiwagi＞さんからの解答 9/20：7時54分受信 更新9/30
ご返信どうも有難うございました。おっしゃるように少々簡単に書きすぎまし
た。以下に赤字で補足させて頂きます。
両端から折る長さをｘ、残った長さを２ｙ、折り曲げる角度をθとする。
２ｘ＋２ｙ＝a－－－① 題意より a/２＞ｘ，ｙ＞０ π/２＞θ＞０－－－②
といの面積Ｓは、 Ｓ＝（2y＋xcosθ）xsinθ ここで①の関係からｙを消去すると、
＝sinθ（cosθ－2）ｘ(superscript: ２) ＋asinθx
ところで、条件②よりｘ(superscript: ２) の係数は０にならず、必ず負であるから、最大値を持つ。
因って、Ｓをｘの関数として微分すると、
S’＝2sinθ（cosθ－2）ｘ＋asinθ
,因って ｘ＝a/2（2-cosθ）で最大値をとる。この値はa/4とa/2の間にあるので題意を満たし
ている。 この値をＳに代入すると、a(superscript: 2)sinθ/4（2-cosθ）となる。
そこで、この値をθの関数とみなし、関数をFとし、同様にθで微分し、計算すると、
F’＝（2cosθ－１）／（2－cosθ）(superscript:
2) より、θの増加に伴い、値を正
から負に変えるので、cosθ＝1/2で最大値をとる。
即ち、θ＝π/3、ｘ＝a/3である。これらは②の条件を満たすので求めるものである。
因って、両端から1/3のところで60°折り曲げれば良い。
以上よろしくお願い申し上げます。
ＮＯ８＜やぎ＞さんからの解答 9/22：1時13分受信 更新9/30
ＮＯ９＜やぎ＞さんが出された問題でＮ＝４のときの解答 9/24：1時45分受信 更新9/30
いずれも「やぎ」さんから寄せられたものです。ここをクリックください。
＜水の流れ：コメント＞ 最大値はといの断面が正六角形の半分になる場合である。よく見かける蜂の巣と同じ形になるのです。
