平成１３年１０月１４日

[流れ星]

　　　　　　　　第８４回数学的な応募問題解答

　　　　　　　　　　＜解答募集期間：１０月１日〜１０月１５日＞

［エレベーター］

　大垣市内にある高層建物は１階（地上階）から１７階まであり、各階の間は等間隔です。エレベーターで１階から５階まで直行したら、１６秒かかりました。
１階から11階まで直行したら、２６秒かかりました。奇妙に見えますが、次のような考え方をすると、理解できます。
　このエレベーターは加速減速が遅く、動き出してから最大速度に達するまで、一定の加速度で動く。減速し始めてから停止するまでも一定の加速度で減速し、停止するまでには、動き出してから最大速度に達するまでと同じ時間が必要。中間は一定の最大速度で動くが、もし移動距離が短いと、最大速度に達しないうちに減速して、目的階に達する。ここで、問題です。

問題１：このエレベーターの加速度を求めよ。

問題２：動き出してから最大速度に達するまで、何秒かかりますか。

問題３：動き出してから最大速度に達したとき、エレベーターは何階と何階の間にいるでしょうか。

問題４：１階から16階まで直行するとき、何秒かかりますか。

問題５：１階からＮ階まで直行するとき、何秒かかるか、Ｎで表せ。

ＮＯ１「やぎ」さん　10/2：1時36分受信　更新10/14
　第　８４回　問題解答

０　　 t3 t1　2t3　t1+t2 2t1+t2

エレベーターの速度を図に示す。１階と２階の距離をＬとする。

すると,11階までの距離と時間および速度直線で囲まれた面積から（１）（２）式が成立する。

　t1Vm/2+t2Vm+t1Vm/2=(11-1)L　　　　（１）

2t1+t2=26　　　　　　　　　　　　　（２）

また、５階までについての式は（３）式となる。

(Vm/t1)t3^2=(5-1)L (3)

　ただし　ｔ３＝８

(1)(2)(3)を解くと　ｔ１＝１０，ｔ２＝6，Vm=10L/16となる。

問題１の解答　Ｌ/1６／秒＾２（ただしＬは一階差の距離）

問題２の解答　１０秒

問題３の解答　４階と５階の間

問題４の解答　34秒

問題５の解答　Ｎ＝＜７の場合　ｔ＝８ｓｑｒ（Ｎ-1）

　　　　　　　Ｎ＞７の場合　ｔ＝2(4Ｎ+21)/5　　

　

ＮＯ２「BossF」さん 10/3：21時28分受信　更新10/14
�@5階に直行する場合�A11階に直行する場合、とし
エレベーターの最大速度をVmaxとします。
　また、これは、問題で指定されてないのですが1階分の距離を１とします。
　もう一つ、加速時と減速時の加速度も等しいとして、考えていきます。
（この2点はよろしいでしょうか？）

さて
(i)�@�AいずれもVmaxに達しない場合
(ii)�@�AいずれもVmaxに達する場合
(iii)�AはVmaxに達するが、�@はVmaxに達しない場合
のいずれであるかを判定します。
各々の場合のv-t gragh が添付ファイルのfig1〜3です。
いずれも、
青線とｔ軸に囲まれた部分(�B)の面積=10
赤線とｔ軸に囲まれた部分(�C)の面積=4　
でなければならないことに注意します。

(i)の時、�B�Cは明らかに相似で、その比は13：8
ところが、面積比が5：2ですから、不適

(ii)の時、�B�Cの差（黄色で示した部分）は平行四辺形で面積が6ですから、
Vmax=0.6　
これを用いて�Cの台形の上底を求めてみますと
(x+16)x0.6x1/2=4 より　x=-8/3 となってしまいますから、不適

(iii)の時、�Bの台形の両側の線を延長して出来る三角形を考えます。（緑で示した部分=�D）
�B+�Dは�Cと13：8の相似ですから、
�B+�D=4x169/64=169/16
∴�D=169/16-10=9/16
よって、�B�Dは面積比169：9 i.e. 13：3の相似
だから、�Bの上底=6
これより、(26+6)xVmax/2=10
 i.e. Vmax=5/8…問題2の答

上の結果よりVmaxまで加速する時間とVmaxから停止するまでの時間の和は20秒、その
間に進む距離は�Cとの相似関係から 4x(20/16)^2=25/4…�E
したがって16階に直行する時にかかる時間は
20+(15-25/4)÷5/8=34秒…問題4の答

同様にしてN(≧7）階までは
20+(N-1-25/4)÷5/8=(8N+42)/5
またN(≦6)階まで ｔ (sec)とすると�Cとの相似関係より
16^2：t^2=4：N-1 ∴t=8{(N-1)^(1/2)}
まとめると
2≦N≦6の時、8{(N-1)^(1/2)}
7≦N≦17の時、(8N+42)/5   …問題5の答

(以下加速時と減速時の加速度も等しいと仮定して)
また�Cは二等辺ですから加速時間は8秒
よって加速度は
　1/2xax64=4 より　1/8(sec^-2)…問題1の答
�EよりVmaxに達した時進んだ距離は25/8
　すなわち、３階と４階の間にいます…問題3の答

v-t graph の意味、加速度の意味、が分かっていれば、小学生にも解けますね（一部
を除いて）
また、加速時と減速時の加速度も等しいとしなくても、半分以上解けますね。
よい問題だと思います　　　　

ＮＯ３「BossF」さん訂正 10/4：2時14分受信　更新10/14
(iii)の時、�Bの台形の両側の線を延長して出来る三角形を考えます。（緑で示した部分=�D）
�B+�Dは�Cと13：8の相似ですから、
�B+�D=4x169/64=169/16
 ∴�D=169/16-10=9/16
 よって、�B�Dは面積比169：9 i.e. 13：3の相似
 だから、�Bの上底=6
 これより、(26+6)xVmax/2=10  i.e. Vmax=5/8

　上の結果よりVmaxまで加速する時間とVmaxから停止するまでの時間の和は20秒…�E

  その間に進む距離は�Cとの相似関係から 4x(20/16)^2=25/4…�F
 したがって16階に直行する時にかかる時間は
 20+(15-25/4)÷5/8=34秒…問題4の答

�Fより、Vmaxまで加速しVmaxから停止するまでに動く距離は25/4=6.25

すなわちVmaxまで加速しそこから減速停止すると、7.25階に止まる事になります

したがって上と同様にしてN(≧8）階まで直行すると
 20+(N-1-25/4)÷5/8=(8N+42)/5
 またN(≦7)階まで ｔ (sec)とすると�Cとの相似関係より
 16^2：t^2=4：N-1 ∴t=8{(N-1)^(1/2)}
まとめると
2≦N≦7の時、8{(N-1)^(1/2)}
8≦N≦17の時、(8N+42)/5   …問題5の答

 (以下加速時と減速時の加速度も等しいと仮定して)
 また�Cは二等辺ですから加速時間は8秒
よって加速度は
　1/2xax64=2 より　1/16(sec^-2)…問題1の答

�Eより、Vmaxに達する時間は　10秒…問題2の答

�FよりVmaxに達した時進んだ距離は25/8=3.125
　すなわち、4階と5階の間にいます…問題3の答

お手数をおかけしました…汗

ＮＯ４「kashiwagi」さん 10/4：9時27分受信　更新10/14
題意より以下の様に仮定します。

○ 建物１階分の高さをHｍ

○ エレベーターの加速度をαｍ/ｓ^２

○ エレベーターの速度をｖ、最高速度をVｍ/ｓ

○ 最高速度に達するまでの時間をｔ_１ｓ

○ 減速を開始する時刻をｔ_２ｓ

○ 停止するまでの時間をTｓ

○ １階から５階までは距離が短いので最大速度にならず減速する

○ 以上の仮定から二つの場合を考慮し立式すると、

○ ｖ＝８α　　　　　　�@

○ ４Ｈ＝（１/２）・８α・16　＝64α　　　　　�A

○ V＝αｔ_１�B

○ ｔ_１＝Ｔ−ｔ_２�C

○ 10Ｈ＝（１/２）・（Ｔ+ｔ_２−ｔ_１）・Ｖ　　　　　　�D

○ �Cと�Dから10Ｈ＝ｔ_２Ｖ　　　　　　�E

○ これに�B、�Cを代入し、10Ｈ＝αｔ_１ｔ_２＝α（Ｔ−ｔ_２）ｔ_２�F

○ これに�Aを代入し、ｔ_２の２次方程式ｔ_２^２−26ｔ_２+160＝０　　　　　　�G

○ これを解いて10と16を得る。因って、ｔ_２＝16、ｔ_１＝10　　　　　　�H

○ 以上の条件から問題を解くと、

（問１） 加速度は�Aと�B、�Hより、α＝Ｈ/16＝Ｖ/10ｍ/ｓ^２

（問２） 最大速度に達する時間はｔ_１＝10秒

（問３） 最大速度に達するまでの距離は（１/２）・α・10^２＝25Ｈ/８、この値は

３Ｈと４Ｈの間にあるので、４階と５階の間にある。

（問４） �Fの左辺に15Ｈ、α＝Ｈ/16とｔ_１＝10を代入し、ｔ_２＝24を得る。これらを�Cに代入し、Ｔ＝34秒となる。

（問５） 問４と全く同様な計算を行う。但し、�Fの左辺に（Ｎ−１）Ｈを代入する。

因って、ｔ_２＝（８/５）（Ｎ−１）を得る。

即ち、Ｔ＝（２/５）（４Ｎ+21）となる。

ＮＯ５「シグ」さん 10/8：21時25分受信　更新10/14
各階の間隔をｄ，加速度ａ，最大速度Ｖ，そしてＶに達するまでの時間をｋとおくと、最大速度　Ｖ＝ａｋ　とおける。
　題意　”動き出してから最大速度に達するまで、一定の加速度で動く。減速し始めてから停止するまでも一定の加速度で減速し、停止するまでには、動き出してから最大速度に達するまでと同じ時間が必要。”より，１階にいる最初の時間を　t＝０　とすると１階から５階に行く際３階を通過するときは　t＝８　であることがわかる。同様に１１階まで行く際その中間ある
６階を通過するときは　t＝１３　である。
　ここで（�@）　ｋ＜８　のとき，
　２ｄ＝ａｋ＾２／２＋Ｖ（８−ｋ）
　５ｄ＝ａｋ＾２／２＋Ｖ（１３−ｋ）　
これを解くと，ｋ＝２８／３＞８となり不適。

（�A）　８≦ｋ≦１３　のとき
　２ｄ＝ａ８＾２／２
　５ｄ＝ａｋ＾２／２＋Ｖ（１３−ｋ）　
これを解くと　ｋ＝１０，１６　条件より　ｋ＝１６　は不適だから　ｋ＝１０

（�B）　13＜ｋ　のとき，
　２ｄ＝ａ８＾２／２
　５ｄ＝ａ１３＾２／２　
これを解くと，ａ＝０　となってしまい不適。

（�@）（�A）（�B）より　ｋ＝１０。（問題２）

動き出してから最大速度に達したときの高さをｙとすると
　　ｙ＝ａｋ＾２／２＝５０ａ
（�A）の上式より　ａ＝ｄ／１６　だから　ｙ＝２５ｄ／８
　３＜２５／８＜４　より　３ｄ＜ｙ＜４ｄ
ゆえに最大速度に達した時、エレベーターは４階と５階の間。（問題３）

１階から16階まで直行するときＴ（16）秒かかるとすると，
　　15ｄ＝２[５０ａ＋１０ａ｛Ｔ（16）／２−１０｝]　，ｄ＝１６ａ　より
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｔ（16）＝３４。（問題４）

１階からＮ階まで直行するときＴ（Ｎ）秒かかるとすると，
Ｎ＜９　のとき
　（Ｎ−１）ｄ＝２［ａ｛Ｔ（Ｎ）／２｝＾２／２］　，ｄ＝１６ａ　より
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｔ（Ｎ）＝８√（Ｎ−１）

つまり　８（Ｎ−１）＾１／２　と言う意味です。どう書いたらいいのかわからなくてわかりにくい表現になってしまいました。
Ｎ≧９　のとき
　（Ｎ−１）ｄ＝２[５０ａ＋１０ａ｛Ｔ（Ｎ）／２−１０｝］　，ｄ＝１６ａ　より
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｔ（Ｎ）＝（８Ｎ＋４２）／５
ゆえに，Ｎ＜９　のとき　Ｔ（Ｎ）＝４√Ｎ−１
　　　　　Ｎ≧９　のとき　Ｔ（Ｎ）＝（８Ｎ＋４２）／５。（問題５）

　問題１だけがわかりませんでした。
あえて答えるとすれば
『各階の間隔をｄとしたとき加速度ａ＝ｄ／１６。』
です。

はじめまして。初めての応募です。

　　　　＜自宅＞　　mizuryu@aqua.ocn.ne.jp