平成１３年１１月１５日
[流れ星]
第８６回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：１１月１日～１１月１５日＞
［囲まれた面積］
今、太郎さんは学校で積分法を教えています。過去の入試問題を眺めていたら、東京工業大学に次のような問題がありました。
少し改題して紹介します。
第１象限内の曲線：ｘa＋ｙｂ＝１とｘ軸、ｙ軸で囲まれた部分の面積をＳとする。
問題１：ａ＝ｂ＝２のとき、曲線は円になる。このときの面積Ｓを求めよ。
問題２：ａ＝ｂ＝１のとき、曲線は直線になる。このときの面積Ｓを求めよ。
問題３：ａ＝ｂ＝１／２のとき、曲線は放物線になる。このときの面積Ｓを求めよ。
問題４：ａ＝ｂ＝２／３のとき、曲線はアステロイドになる。このときの面積Ｓを求めよ。
ここからが、入試問題です。
ｍ，ｎを自然数とする。第１象限内の曲線：ｘ１／ｍ＋ｙ１／ｎ＝１とｘ軸、ｙ軸で囲まれた部分の面積をＳ（ｍ，ｎ）とする。
問題５：Ｓ（ｍ，１）を求めよ。
問題６：Ｓ（ｍ，ｎ＋１）をＳ（ｍ＋１，ｎ）とｍ，ｎを用いて表せ。
問題７：Ｓ（ｍ，ｎ）をｍ，ｎを用いて表せ
（別解はベーター関数を利用しても解けます）
NO１「kashiwagi」さんからの解答 11/07: ８時15分受信 更新1１/15
問１．
求めるものは1/4の円の面積であるから、π/４
問２．
求めるものは直角を挟む２辺の長さが１の三角形であるから、1/2
問３．
√ｘ＋√ｙ＝１を変形し、ｙ＝１－２√ｘ＋ｘ、これをｘ＝０から１まで積分して1/6
問４．
ｘ＝cos3θ、ｙ＝sin３θとおくと、ｄｘ/ｄθ＝－３cos２θsinθ、因ってｄｘをｄθに置き換えて、θをπ/２から０まで積分すると、３π/３２
問５．
ｘ１／ｍ＋ｙ＝１より ｙ＝１－ｘ１／ｍであるから、
S（ｍ、１）＝∫０１（１－ｘ１／ｍ）ｄｘ＝１／（ｍ＋１）
問６．
この問はいくらやってもできません。問題がS（ｍ＋１、ｎ）を用いて表せと言うのはS（ｍ、ｎ）を用いてではないでしょうか？これだと表すことができますが―――。
S（ｍ＋１、ｎ）＝∫０１（１－ｘ１／ｍ）n+1ｄｘ、ここで部分積分を使い、
＝〔ｘ（１－ｘ１／ｍ）n+1〕１０＋〔(n+1)/m〕∫０１ｘ１／ｍ（１－ｘ１／ｍ）nｄｘ
= (n+1)/m ∫０１ｘ１／ｍ（１－ｘ１／ｍ）nｄｘ
ｘ１／ｍ＝１－（１－ｘ１／ｍ）であるから上記式に代入し、部分積分すると、
＝ 〔(n+1)/m〕 〔∫０１（１－ｘ１／ｍ）nｄｘ－∫０１（１－ｘ１／ｍ）n＋１ｄｘ〕
＝ 〔(n+1)/m〕〔S（ｍ、ｎ）－S（ｍ＋１、ｎ）〕
因って、S（ｍ＋１、ｎ）＝ 〔(n+1)/(m＋ｎ＋１)〕・S（ｍ、ｎ）
問７．
問６の結果の漸化式を変形していくと、
S（ｍ、ｎ）＝ 〔(n)/(m＋ｎ)〕・S（ｍ、ｎ－１）
＝ 〔(n(ｎ－１))/(m＋ｎ) (m＋ｎ－１)〕・S（ｍ、ｎ－２）
ここで、S（ｍ、１）＝１／（ｍ＋１）を使用して、
＝ ｍ！ｎ！／（ｍ＋ｎ）！
＜水の流れ：コメント＞
実は、どこも間違っていないと思います。左辺がS（ｍ＋１、ｎ）で計算を始められただけです。で・・・、S（ｍ、ｎ＋１）でもう一度計算くだされば、良いだけのような気がします。チャレンジくだされば幸いです。
NO２「BossF」さんからの解答 11/07:18時25分受信 更新1１/15
[解]
問題1：半径1の円の1/4ですから π/4 …答
問題2：対角線の長さが２の正方形の1/4ですから 1/2 …答
問題3：
S=∫(0～1)ydx
=∫(0～1){1-2x^(1/2)+x}dx
=[x-(4/3)x^(3/2)+(1/2)x^2](0～1)
=1-4/3+1/2=1/6…答
問題4
x=(cosθ)^3 , y=(sinθ)^3 とおけることに注意します
S=∫(0～1)ydx=∫(π/2～0)y(dx/dθ)dθ
=∫(π/2～0)[(sinθ)^3{-3(cosθ)^2}sinθ]dθ
=3∫(0～π/2){(sinθ)^4}{(cosθ)^2}dθ
=3[∫(0～π/2){(sinθ)^4}dθ-∫(0～π/2){(sinθ)^6}dθ]
=3{(3/4)(1/2)(π/2)-(5/6)(3/4)(1/2)(π/2)}
=3π/32 …答
問題5
S(m,1)=∫(0～1){1-x^(1/m)}dx
=1-m/(m+1)
=1/(m+1) …答
問題6
S(m,n+1)=∫(0～1){1-x^(1/m)}^(n+1)dx
ここで、x=p^{m/(m+1)} とおくと
x ; 0→1でp ; 0→1であり
dx={m/(m+1)}p^{m/(m+1)-1}dp
であるから
置換し部分積分することによって
S(m,n+1)
=∫(0～1)[{1-p^(1/(m+1))}^(n+1)・{m/(m+1)}p^{m/(m+1)-1}]dp
=[ 1-p^{1/(m+1)}^(n+1)p^{m/(m+1)}](0、1)
-∫(0～1)[(n+1){1-p^(1/(m+1))}^n・{-1/(m+1)}]dp
=(n+1)/(m+1)・S(m+1,n) …答
問題６の別解
x=(cosθ)^(2m) , y=(sinθ)^(2n)
とおけることに注意します。
S(m,n)=∫(0～1)ydx
=∫(π/2～0)y(dx/dθ)dθ
=2m∫(0～π/2)(sinθ)^(2n+1)(cosθ)^(2m-1)dθ
∴S(m+1,n)=2(m+1)∫(0～π/2)(sinθ)^(2n+1)(cosθ)^(2m+1)dθ…①
また、
S(m,n)=∫(0～1)xdy
=∫(0～π/2)x(dy/dθ)dθ
=2n∫(0～π/2)(sinθ)^(2n-1)(cosθ)^(2m+1)dθ
∴S(m,n+1)=2(n+1)∫(0～π/2)(sinθ)^(2n+1)(cosθ)^(2m+1)dθ…②
①②よりS(m+1,n)/(m+1)=S(m,n+1)/(n+1)
i.e.S(m,n+1)=(n+1)/(m+1)・S(m+1,n)
こっちの方がすっきりしてますね、(^o^)
問題7
S(m,n)=n/(m+1)・S(m+1,n-1)
={n(n-1)}/{(m+1)(m+2)}・S(m+2,n-2)
=…
={n(n-1)…2｝/{(m+1)(m+2)…(m+n-1)}・S(m+n-1,1)
={n(n-1)…2｝/{(m+1)(m+2)…(m+n-1)(m+n)}(∵問6)
=(m!n!)/(m+n)!…答
どうしても、積分のあたりが、ごちゃごちゃしてしまって、見にくいと思いますが… （＾＾；；
NO３「浜田」さんからの解答 11/09:
8時36分受信 更新11/15
最初に，
Ｓ(ｍ，ｎ)＝∫(0,1) {１－ｘ^(1/m)}^nｄｘ………(1)
であり，第１象限内で，
ｘ^(1/m)＋ｙ^(1/n)＝１
とｘ軸，ｙ軸で囲まれた部分と，同じく
ｘ^(1/n)＋ｙ^(1/m)＝１
で囲まれた部分は合同であることから，
Ｓ(ｍ，ｎ)＝Ｓ(ｎ，ｍ)………(2)
となることを確認しておく．
問題１：半径１の四分円となるので，
Ｓ＝１／４・π・１^2
＝π／４
問題４：ｙ＝{１－ｘ^(2/3)}^(3/2)であるから，
Ｓ＝∫(0,1) {１－ｘ^(2/3)}^(3/2)ｄｘ
ｘ＝(cosθ)^3，０≦ｘ≦１とすると，
ｄｘ／ｄθ＝３(cosθ)^2(－sinθ)，π／２≧θ≧０，
{１－ｘ^(2/3)}^(3/2)＝{１－(cosθ)^2}^(3/2)＝{(sinθ)^2}^(3/2)
＝(sinθ)^3
∴Ｓ＝∫(π/2,0) (sinθ)^3・３(cosθ)^2(－sinθ)ｄθ
＝３∫(0,π/2) (sinθ)^4(cosθ)^2ｄθ
ここで，
(sinθ)^4(cosθ)^2＝(sinθcosθ)^2・(sinθ)^2
＝(sin２θ／２)^2・(sinθ)^2
＝{(１－cos４θ)／２}／４・(１－cos２θ)／２
＝(１－cos２θ－cos４θ＋cos２θcos４θ)／１６
＝{１－cos２θ－cos４θ＋１／２・(cos６θ＋cos２θ)}／１６
＝(２－cos２θ－２cos４θ＋cos６θ)／３２
∴Ｓ＝３／３２・∫(0,π/2) (２－cos２θ－２cos４θ＋cos６θ)ｄθ
＝３／３２・[２θ－１／２・sin２θ－１／２・sin４θ＋１／６・sin６θ](0,π/2)
＝３π／３２
問題５：(1)から，
Ｓ(ｍ，１)＝∫(0,1) {１－ｘ^(1/m)}ｄｘ
＝[ｘ－ｍ／(ｍ＋１)・ｘ^{(m+1)/m}](0,1)
＝１－ｍ／(ｍ＋１)
＝１／(ｍ＋１)
問題６：(1)から，
Ｓ(ｍ，ｎ＋１)＝∫(0,1) {１－ｘ^(1/m)}^(n+1)ｄｘ
＝∫(0,1) ｘ'{１－ｘ^(1/m)}^(n+1)ｄｘ
＝［ｘ{１－ｘ^(1/m)}^(n+1)］(0,1)－∫(0,1) ｘ・(ｎ＋１){１－ｘ^(1/m)}^n・{－１／ｍ・ｘ^(1/m-1)}ｄｘ
＝(ｎ＋１)／ｍ・∫(0,1) ｘ^(1/m){１－ｘ^(1/m)}^nｄｘ
∴ｍＳ(ｍ，ｎ＋１)＝(ｎ＋１)∫(0,1) [１－{１－ｘ^(1/m)}]{１－ｘ^(1/m)}^nｄｘ
＝(ｎ＋１)[∫(0,1) {１－ｘ^(1/m)}^nｄｘ－∫(0,1) {１－ｘ^(1/m)}^(n+1)ｄｘ]
＝(ｎ＋１){Ｓ(ｍ，ｎ)－Ｓ(ｍ，ｎ＋１)}
＝(ｎ＋１)Ｓ(ｍ，ｎ)－(ｎ＋１)Ｓ(ｍ，ｎ＋１)
∴(ｍ＋ｎ＋１)Ｓ(ｍ，ｎ＋１)＝(ｎ＋１)Ｓ(ｍ，ｎ)
∴Ｓ(ｍ，ｎ＋１)＝(ｎ＋１)／(ｍ＋ｎ＋１)・Ｓ(ｍ，ｎ)………(3)
また，(2)，(3)から，
Ｓ(ｍ＋１，ｎ)＝Ｓ(ｎ，ｍ＋１)
＝(ｍ＋１)／(ｍ＋ｎ＋１)・Ｓ(ｎ，ｍ)
＝(ｍ＋１)／(ｍ＋ｎ＋１)・Ｓ(ｍ，ｎ)
∴Ｓ(ｍ，ｎ＋１)＝(ｎ＋１)／(ｍ＋１)・Ｓ(ｍ＋１，ｎ)
問題７：(3)から，
Ｓ(ｍ，ｎ)＝ｎ／(ｍ＋ｎ)・Ｓ(ｍ，ｎ－１)
＝ｎ(ｎ－１)／{(ｍ＋ｎ)(ｍ＋ｎ－１)}・Ｓ(ｍ，ｎ－２)
＝・・・
＝ｎ(ｎ－１)・・・２／{(ｍ＋ｎ)(ｍ＋ｎ－１)・・・(ｍ＋２)}・Ｓ(ｍ，１)
＝ｎ！／{(ｍ＋ｎ)(ｍ＋ｎ－１)・・・(ｍ＋２)(ｍ＋１)}
（∵問題５）
＝ｍ！ｎ！／(ｍ＋ｎ)！
問題２：Ｓ＝Ｓ(１，１)
＝１！１！／２！
＝１／２
問題３：Ｓ＝Ｓ(２，２)
＝２！２！／４！
＝１／６
NO４「浜田」さんからのコメント11/10: 13時29分受信 更新11/15
あれから，よく考えてみました．
積分計算で，
{１－ｘ^(1/m)}^n
の指数ｎを減ずるのは簡単ですが，ｍを減ずるのは大変です．出来なくはないでしょうが．
したがって，Ｓ(ｍ＋１，………)をＳ(ｍ，………)の式で表す計算力よりは，
Ｓ(ｍ，ｎ)＝Ｓ(ｎ，ｍ)
に気付く頭の柔軟性を見ることを主眼として，東工大の先生は出題したのではないか，と思います．
ですから，
「直接Ｓ(ｍ，ｎ＋１)をＳ(ｍ＋１，ｎ)の式で表す」
よりは，
「一端Ｓ(ｍ，ｎ＋１)をＳ(ｍ，ｎ)の式で表し，さらにＳ(ｍ＋１，ｎ)をＳ(ｍ，ｎ)の式で表し，両方の式から，Ｓ(ｍ，ｎ＋１)，Ｓ(ｍ＋１，ｎ)の関係式を求める」
方法でいいのではないか，と思います．
どうでしょうか？
