平成１４年１月１５日

[流れ星]

　　　　　　　　第９０回数学的な応募問題解答

　　　　　　　　　　＜解答募集期間：１月１日〜１月１５日＞

［交代級数の和］

　　　

今、オイラーの書いた「無限解析入門」という本が手元にあります。ここの中に次のような無限級数の和を求めています。

　皆さんも、考えてください。ただ、オイラーの足下にも及ばない太郎さんにとって、ある無限級数を関数として考えました。

問題　（１−１／２）＋（１／４−１／５）＋（１／７−１／８）＋・・・＝Σ（ｋ＝０〜∞）［（１／３ｋ＋１）−（１／３ｋ＋２）］

　ここで、ｘ−ｘ^２／２＋ｘ^４／４−ｘ^５／５＋ｘ^７／７−ｘ^８／８＋・・・＝ｆ（ｘ）　とおいて考えてください。

ＮＯ１「kashiwagit」さんからの解答　1/14　８時17分受信　更新　１月15日

ｆ(ｘ)＝ｘ−x²/２＋x^４/4−x^５/5＋―――　であるので、この式をｘで微分すると、

ｆ’(ｘ) ＝１−ｘ＋x^３−x^４＋x^６＋―――　

　　　＝(１−ｘ)(１＋x^３＋x^６＋―――　)

　　　＝(１−ｘ)／(１−x^３)＝１／(１＋x＋x^２)　―――�@

ｆ(ｘ)はｆ’(ｘ)を積分したものであり、求めるものはｆ(１)の値であるから、ｆ’(ｘ)を０から１まで積分すれば良い。

又、明らかにｆ(０)＝０である。―――�A

ｆ(１)−ｆ(０)＝∫^１_０ｆ’(ｘ)ｄｘ＝∫^１_０１／(１＋x＋x^２)ｄｘ

　　　　　　　＝∫^１_０１／｛(x＋1/2)^２＋3/4｝ｄｘ―――�B

ここで(2/√3)･(x＋1/2)＝tanθと置くと、ｘの０から１までの積分はθをπ/6からπ/3まで積分することになり、

ｄｘ＝(2/√3)･1/cos^２θｄθ―――�Cに注意して式�Bの計算を行うと、√3･π/9となる。

即ち、ｆ(１)−ｆ(０) ＝∫^１_０１／｛(x＋1/2)^２＋3/4｝ｄｘ＝√3･π/9

ここで�Aの関係より、ｆ(１) ＝√3･π/9

求める解答は正にｆ(１)であるので、√3･π/9が求める値である。

＜水の流れ：コメント＞　

こちらの、予定していたのと、全く同じでして、流石、お見事って感じです。　

以　　　上．

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