平成１４年３月１６日

[流れ星]

　　　　　　　　第９３回数学的な応募問題解答

　　　　　　　　　　＜解答募集期間：３月１日〜３月１６日＞

［「すべて」と「ある」］

　　　

太郎さんは最近、大学入試問題を解く機会が増えています。命題と論理のところで、下のような問題を解いたことがあります。

−３≦ｘ≦３の範囲で、２つの関数　ｆ（ｘ）＝ｘ^２＋２ｘ−２　，　　ｇ（ｘ）＝−ｘ^２＋２ｘ＋ａ＋１　について、

次の命題が成り立つようなａの範囲をそれぞれ求めよ。

問１：すべてのｘに対して　，　ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）　

問２：あるｘに対して　，ｆ（ｘ）＜ｇ（ｘ）　

問３：すべての値 ｘ_１　，ｘ_２　に対して　，ｆ（ｘ_１）＜ｇ（ｘ_２）　

問４：ある値 ｘ_１　，ｘ_２　に対して　，ｆ（ｘ_１）＜ｇ（ｘ_２）

<問題の出典：平成１０年大阪教育大学の入試問題で改題＞

ＮＯ１＜ＫＡＳＨＩＷＡＧＩ＞さんからの解答　3／2：15時11分　更新3／16

　第93回解答

問題より条件を整理すると、

−3≦ｘ≦3　―――�@

ｆ(ｘ)＝ｘ^２＋2ｘ−2＝（ｘ＋1）²−3　―――�A

ｇ(ｘ)＝−ｘ^２＋2ｘ+a＋1＝−（ｘ−1）²＋a＋２　−――�B

問１：今、ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)− ｆ(ｘ)＝−2ｘ^２＋a＋3　−――�C　と置く。

　　ｈ(ｘ)はaの値に応じてｙ軸上を動く。因って�@の範囲の全てのｘでｈ(ｘ)が正であれ

　　ば良い。

　　即ち、ｈ(3)＝ｈ(−3)＝a−15＞０なら良いので、求めるものはa＞15　

問２：�@の範囲のあるｘでｈ(ｘ)が正であれば良いと言うことは、グラフの頂点が正であれ、ば良いので、a＋3　＞０、即ち求めるものは　a＞−3　

問３：�Aよりｆ(ｘ)はｘ＝−1を軸とする下に凸なグラフである。

又、�Bよりｇ(ｘ)はｘ＝1を軸とする上に凸なグラフである。

因って�@の範囲の全てのｘ_１、ｘ_２でｆ(ｘ_１) ＜ｇ(ｘ_２)が成立するには、ｇ(ｘ)の最小値がｆ(ｘ)の最大値より大きければ良いので、�Aと�Bよりｆ(3) ＜ｇ(−3)が成り立てば

良い。因ってa−14＞13より　求めるものは　a＞27　

問４：�@の範囲のあるｘ_１、ｘ_２に対しｆ(ｘ_１) ＜ｇ(ｘ_２)が成立するには、ｇ(ｘ)の最大値が

　ｆ(ｘ)の最小値より大きければ良いので、�Aと�Bよりｆ(−1) ＜ｇ(1)が成り立てば

良い。因ってa＋2＞−3より　求めるものは　a＞−5　

＜水の流れ：コメント＞こちらの解法と同じでして、感激しています。高校１年生で解けるかな。

ＮＯ２＜Ｊｕｎ＞さｓんからの解答　3／3：14時46分　更新3／16

すべてとあるの問題を考えてみました。
問１　a>15
問２　a>-3
問３　a>27
問４　a>-5

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