平成１４年３月３１日
[流れ星]
第９４回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：３月１７日～３月３１日＞
［格子点である正三角形］
太郎さんは大学の数学科を希望する生徒がいたとき、推薦入試でどんな論文が出題されるか、面接でどんな口頭試問があるか予想したいと考えています。ここで、問題です。
問題１：ｘｙ平面上の点で、ｘ座標もｙ座標も整数であるような点を平面上の格子点または整数点と言います。
平面上の格子点から３点を選んで結び、正三角形にできるか。論じてください。
ＮＯ１＜ＫＡＳＨＩＷＡＧＩ＞さんからの解答 3／17：９時47分 更新3／31
第94回解答
今、三つの格子点A,B及びOにより正三角形が出来たとする。
三つの格子点の座標を各々A（ｘ、ｙ）、B（X、Y）及びO（０、０）とする。
又、座標系を複素数表示とみなす。即ち、ｘ軸を実数軸、ｙ軸を虚数軸と考え、座標も各々をZa、Zb、Zoとする。
すると正三角形の性質から辺AOを６０度反時計方向に回転すると、辺BOに重ならねばならない。
これを複素数で立式すると以下の様になる。
（Zｂ－Zo）／（Za－Zo）＝cos60°＋isin60°＝（１＋i√３）／２ ―――①
（X＋iY）／（ｘ+iｙ）＝（１＋i√３）／２
X＋iY ＝（ｘ+iｙ）・（１＋i√３）／２
＝〔（ｘ－√３ｙ）＋ｉ（√３ｘ＋ｙ）〕／２
即ち、X＝ｘ－√３ｙ及びY＝√３ｘ＋ｙが成り立たねばならない。
しかし、ｘ、ｙ、X及びYの４数は全て整数であり、上式の右辺は無理数にしかならず、
左辺の整数と矛盾する。即ち、この等式を満たす整数はない。
因って、三つの格子点を選んで正三角形を作ることは出来ない。
＜水の流れ：コメント＞３月３１日記入
今回は、いろいろな解法があります。どんな分野の方法で解くかを知りたかったのです。
あると仮定して、最後は無理数に矛盾することになりそうです。格子点でなくても、座標が有理数の場合も正三角形はありえませんが。
ＮＯ２＜ch3cooh＞さんからの解答 3／29：15時20分 更新3／31
お久しぶりです。 ch3coohです。
正３角形ではなく、60度の頂点を持つ３角形の存在という形に変えて解いてみました。
-- 以下回答
３角形の各頂点を原点、点A(Xa,Ya), 点B(Xb,Yb)とする。
点A, 点Bのなす角度を60度と置くと、余弦定理より
C^2=A^2+B^2-2AB cos(60)
C= sqr( (Xa-Xb)^2+(Ya-Yb)^2 )
A= sqr( Xa^2+Ya^2 )
B= sqr( Xb^2+Yb^2 )
cos( 60 )= 1/2
これらの条件下で、Xa,Xb,Ya,Ybを求めるための式の変更を以下行う。
各々代入して
=>
(Xa-Xb)^2+(Ya-Yb)^2=
Xa^2+Ya^2+Xb^2+Yb^2-sqr( Xa^2+Ya^2 )*sqr(Xb^2+Yb^2 )
整理すると
-2Xa*Xb-2Ya*Yb= -sqr(
Xa^2+Ya^2 )*sqr( Xb^2+Yb^2 )
両辺を２乗して
4(Xa*Xb-Ya*Yb)^2= (Xa^2+Ya^2)*(Xb^2+Yb^2)
これらの値を全て右辺に持ってきて整理すると
8XaXbYaYb+3Xa^2Xb^2+3Ya^2Yb^2-Xa^2Xb^2-Ya^2Yb^2= 0
3(XaXb+YaYb)^2-(XaYb-XbYa)^2=
0
ここで、α^2-β^2= (α-β)(α+β)
という変換で上記式を変換することも出来るが、α^2の計数として３がありその平方根が無理数であるため、
XaXb+YaYb=0
XaYb-XbYa=0 という２つの条件が成立しなくてはならない。（条件１）
Xa= -YaYb/Xb= XbYa/Yb と変形できる
Xaを消去して後ろの２つの項をまとめると
-Yb^2= Ya^2 が成立する必要があるが、これは成立させることが出来ない。
これは、Xa,Xb,Ya,Ybが各々整数であると言う制限による”条件１”が厳しいために生じたと考えられる。
結果としては、２次元平面上における整数点（有理数点でも良い）間の２直線のなす角度で６０度を満たす点の組合わせは存在しない。
---
蛇足ですが、３次元では簡単に見つかります。
また、２次元平面の格子点として虚数を許容するのであれば、整数の組合わせは存在します。
(X,Y各々に対して虚数を認めると次元数が上がったのと同じと言えますかね？)
＜水の流れ：コメント＞３月３１日記入
３次元の座標で、存在するとは知りませんでしたね。教師としては、知っておくといいです。
教えてください。
