平成１４年４月１６日
[流れ星]
第９６回数学的な応募問題
＜解答募集期間：４月１６日〜４月３０日＞
［授業の担当クラス］
太郎さんが勤務している高校のクラス数は、１年生７クラス、２年生８クラス、３年生８クラスあります。各クラスの授業時間割を編成するとき、なるべく隣のクラスを同じ担当者が待たないほうが、経験上少し編成しやすいのです。
例えば、１学年５クラスのときを考えます。
太郎さんが１クラスだけ担当する場合は ｛１｝、｛２｝、｛３｝、｛４｝、｛５｝の５通りあります。
２クラス担当する場合は ｛１，３｝、｛１，４｝、｛１，５｝、｛２，４｝、｛２，５｝、｛３，５｝の６通り。
３クラス担当する場合は ｛１，３、５｝の１通りしかありません。ここで、問題です。
１学年１からｎまでのクラスがあるとして、この学年からｋ個のクラスを選んで授業担当をします。ただし、時間割編成上隣り合わせのクラスは持たないとします。そこで、このような持ち方の方法をＦ（ｎ，ｋ）通りとします。次の設問に答えてください。
問題１：ｎ＝６のとき、Ｆ（６，１）、Ｆ（６，２）、Ｆ（６，３）を求めよ。
問題２：ｎ＝７のとき、Ｆ（７，１）、Ｆ（７，２）、Ｆ（７，３）、Ｆ（７，４）を求めよ。
問題３：Ｆ（ｎ，１）、Ｆ（ｎ，２）をｎで表せ。
問題４：Ｆ（ｎ，ｋ）をｎとｋで表せ。
問題５：何か漸化式みたいものが発見できたら、教えてください。
皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
