平成１４年5月１日
[流れ星]
第９７回数学的な応募問題
＜解答募集期間：５月１日〜５月１８日＞
［正９６角形］
太郎さんが勤務している職場の先生から、ある新聞の「余録」欄に掲載されて記事を紹介されました。引用します。
『「円周率は3.14でいいと思いますか、およそ３の方がいいと思いますか」。記者団に問われて、福田官房長官は「私だったらもっと言えますよ。3.14159265358とかね」▲小数点以下11桁まですらすら言って「早く計算するときもあるから考え方だと思います。しかし、３は覚えられるけど、3.14は覚えられないというのはちょっとおかしいな」と感想を付け加えた。▲円周率は3.14を使うが、新指導要領に「目的に応じて３を用いてもよい」とあるために混乱を招いた。円周率をπ（パイ）というのは周りや円周を意味するギリシャ語ペリメトロンの最初の文字がπだからだ。日本の教科書の円周率は普通まわりの3.14と大回りの３の二本立て▲「アルキメデスの原理」で有名なアルキメデスは、円に内接する正６，１２，２４角形の周りを順々に計算し、正４８，９６角形になったところで3.14163の円周率の近似値を出した。紀元前３世紀で小数点以下３桁まで進んだのだから、21世紀になってわざわざ３に退行することはない▲・・・』この記事を読んで、アルキメデスが挑戦した正９６角形の１辺を求めたくなりました。勿論、三角関数の知識は未だ知りません。だから、三平方の定理や無理数の存在は知っていたと思われます。出来る限りアルキメデスが考えたと思う方法で考えてくだされば、幸いですが、どんな考え方でも構いません。ここでは、半径１の円に内接する正ｎ角形の１辺の長さを求めることにします。答えは無理数でお願いします。
問１．半径１の円に内接する正１２角形の１辺の長さ
問２．半径１の円に内接する正２４角形の１辺の長さ
問３．半径１の円に内接する正４８角形の１辺の長さ
問４．半径１の円に内接する正９６角形の１辺の長さ
さて、現在高校生は三角関数の極限ｌｉｍ（θ→0）ｓｉｎθ／θ＝１を習っています。（ただし、θは弧度法）この定理を利用して、
問５．半径１の円に内接する正ｎ角形の１辺の長さを三角関数を用いてｎで表してください。
問６．半径１の円に内接する正ｎ角形の周りを求めて、半径１の円周をｎ→∞にしたときの極限として、求めてください。
皆さん、考え方がわかったら、全部でなくていいですから、とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
