平成１４年5月１８日
[流れ星]
第９７回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：５月１日～５月１８日＞
［正９６角形］
太郎さんが勤務している職場の先生から、ある新聞の「余録」欄に掲載されて記事を紹介されました。引用します。
『「円周率は3.14でいいと思いますか、およそ３の方がいいと思いますか」。記者団に問われて、福田官房長官は「私だったらもっと言えますよ。3.14159265358とかね」▲小数点以下11桁まですらすら言って「早く計算するときもあるから考え方だと思います。しかし、３は覚えられるけど、3.14は覚えられないというのはちょっとおかしいな」と感想を付け加えた。▲円周率は3.14を使うが、新指導要領に「目的に応じて３を用いてもよい」とあるために混乱を招いた。円周率をπ（パイ）というのは周りや円周を意味するギリシャ語ペリメトロンの最初の文字がπだからだ。日本の教科書の円周率は普通まわりの3.14と大回りの３の二本立て▲「アルキメデスの原理」で有名なアルキメデスは、円に内接する正６，１２，２４角形の周りを順々に計算し、正４８，９６角形になったところで3.14163の円周率の近似値を出した。紀元前３世紀で小数点以下３桁まで進んだのだから、21世紀になってわざわざ３に退行することはない▲・・・』この記事を読んで、アルキメデスが挑戦した正９６角形の１辺を求めたくなりました。勿論、三角関数の知識は未だ知りません。だから、三平方の定理や無理数の存在は知っていたと思われます。出来る限りアルキメデスが考えたと思う方法で考えてくだされば、幸いですが、どんな考え方でも構いません。ここでは、半径１の円に内接する正ｎ角形の１辺の長さを求めることにします。答えは無理数でお願いします。
問１．半径１の円に内接する正１２角形の１辺の長さ
問２．半径１の円に内接する正２４角形の１辺の長さ
問３．半径１の円に内接する正４８角形の１辺の長さ
問４．半径１の円に内接する正９６角形の１辺の長さ
さて、現在高校生は三角関数の極限ｌｉｍ（θ→0）ｓｉｎθ／θ＝１を習っています。（ただし、θは弧度法）この定理を利用して、
問５．半径１の円に内接する正ｎ角形の１辺の長さを三角関数を用いてｎで表してください。
問６．半径１の円に内接する正ｎ角形の周りを求めて、半径１の円周をｎ→∞にしたときの極限として、求めてください。
ＮＯ１＜kaｓiwagi＞さんから5／1 16:31 受信 更新5/18
第９７回解答
正ｎ角形の一辺の長さをXｎ、正２ｎ角形の一辺の長さをX２ｎとし、正ｎ角形を構成する一つの三角形の垂線をYｎとすると、三平方の定理より
(１－Yｎ)２＋（Xｎ）２／４＝(X２ｎ) ２
(Yｎ)２＋（Xｎ）２／４＝１
これらの関係より
(X２ｎ) ４－４（X２ｎ）２＋（Xｎ）２＝０
即ち、（X２ｎ）２＝２－√（４－（Xｎ）２）
この式に基づき計算した結果を以下の表に示す。
|
ｎ |
（Xｎ）２ |
X２ｎ |
|
3 |
3 |
１ |
|
6 |
1 |
（√６－√２）／２ |
|
12 |
2－√3 |
（４－√６－√２）／２ |
|
24 |
2－√(2＋√3) |
√[２－√{(４＋√６＋√２）／２}] |
|
48 |
2－√{2＋√(２＋3)} |
√〔２－√[２＋√{(４＋√６＋√２）／２}]〕 |
因って求めるものは、
①（√６－√２）／２
②（４－√６－√２）／２
③√[２－√{(４＋√６＋√２）／２}]
④√〔２－√[２＋√{(４＋√６＋√２）／２}]〕となる。
因みに正４８角形と正９８角形の一辺の長さを使いπの値を計算すると、
各々３.１３９５と３.１４１２となる。アルキメデスの偉大さに脱帽です。
⑤次に上記の図形に三角関数を適用する。正ｎ角形を構成する一つの三角形の中心角 は２π／ｎであるから、
Xｎ＝２sin(π／ｎ)が求めるものである。
⑥正ｎ角形の周囲長の合計はｎXｎ＝２ｎsin(π／ｎ)である。このｎを大きくし、無限大にすれば円周の長さになるので、条件の極限式を使い、
円周の長さ＝ｎ→∞ ( lim ２ｎsin(π／ｎ) )
＝（π／ｎ）→０ ( lim ２π{ sin(π／ｎ)／ (π／ｎ)})＝２πとなる。
ＮＯ２＜Ｈ７Ｋ＞さんから5／２ 17:29 受信 更新5/18
一応解きましたが、こんな複雑な答えでよろしいのでしょうか。
1.求める数をa_1とすると、
a_1^2=1^2+1^2-2*1*1*cos30°=2-sqrt(3)
∴a_1=1/2(sqrt(6)-sqrt(2))
2.求める数をa_2とすると、
a_2^2=(a_1/2)^2+(1-sqrt(1-(a_1/2)^2))^2
=-2*sqrt(1-(a_1/2)^2)+2
=2-1/2(sqrt(6)+sqrt(2))
∴a_2=sqrt(2-1/2(sqrt(6)+sqrt(2))).
これ以上は無理かなあ..
3.同様に、求める数をa_3とすると、
a_3^2=-2*sqrt(1-(a_2/2)^2)+2
=2-2*sqrt(sqrt(2)/8+sqrt(6)/8+1/2)
∴a_3=sqrt(2-2*sqrt(sqrt(2)/8+sqrt(6)/8+1/2)).
4.同様に、求める数をa_4とすると、
a_4^2=-2*sqrt(1-(a_3/2)^2)+2
=2-2sqrt(1/2+sqrt(sqrt(2)/8+sqrt(6)/8+1/2)/2)
∴a_3=sqrt(2-2sqrt(1/2+sqrt(sqrt(2)/8+sqrt(6)/8+1/2)/2)).
5. 2sin(pi/n)
6. lim(n->inf) 2n*sin(pi/n)=2n*pi/n=2pi.
誤植：
>さて、現在高校生は三角関数の極限ｌｉｍ（ｎ→∞）ｓｉｎθ／θ＝１を習っています。
lim(n→0)sin(n)/n=1じゃないですか?
＜水の流れ：コメント＞ありがとうございます。
ＮＯ３＜(^o^)BossF＞さんから5／14 21:33 受信 更新5/18
おひさしぶりです。
[補題]
半径1の円に内接する正n角形の1辺が a ならば、
半径1の円に内接する正2n角形の1辺は
(1+a/2)1/2-(1-a/2)1/2
[証明]
半径1の円O に内接する正n角形Nの各頂点に
Oから半径を下ろすとNはn個の二等辺三角形に分割され
そのひとつを、△OABとし、
OからABに下ろした垂線の足をH
更に、OHと、円Oの交点をMとすると
三平方より
OM={1-a2/4}1/2
したがって、
HM2=[1-{1-a2/4}1/2]2
=2-a2/4+2{1-a2/4}1/2
だから
AM=(AH2+HM2)1/2
=[a2/4+2-a2/4+2{1-a2/4}1/2]1/2
=｛2-2(1-a2/4)1/2}1/2
=(1+a/2)1/2-(1-a/2)1/2 ■
[問い1]～[問い4]
半径1の円に内接する正6角形の1辺は1だから
補題より
正12角形の一辺は(61/2-21/2）/2
以下同様なので略
[問い5]
補題の証明に用いた△OABで考える
∠AOB=2π/n だから
∠AOH=π/n
∴AB=2AH=2sin(π/n) …答
[問い6]
問い5より、半径1の円に内接する正n角形の周L は
L=2nsin(π/n)=2π x {sin(π/n)}/(π/n)
ここで n→∞ の時 π/n→0 だから、{sin(π/n)}/(π/n)→1
よって L→2π …答
問い2～問い4は、打つ気力が尽きました…
ＮＯ４＜Ｓｉｎ＞さんから5／17 午後郵便で到着 更新未定
＜水の流れ：１５ページになる解答とご意見がありますから、とても入力できそうにないので、スキャナーでお知らせする予定です。＞
