平成27年2月8日
[流れ星]
第317回数学的な応募問題
<解答募集期間:2月8日〜3月8日>
[垂足三角形の面積]
垂足三角形というのは、三角形において頂点から対辺に下ろした3つの垂線の足を結ぶ三角形のことです。しかし、ここでは意味を広げ、任意の一点Pからの三角形の3辺またはその延長上に下ろした垂線を結び三角形をPの垂足三角形とよぶことにし、その面積をS(P)で表すことにする。
今後、三角形ABCにおいて、一点Pから3辺BC,CA,ABに下ろした垂線の足をそれぞれL,M,Nで表す。また、三角形ABCの面積をS、外心をO、内心をI、さらに、外接円の半径をR、内接円の半径をrとする。
問題1:点Pが外心Oのとき、垂足三角形の面積S(O)をSで表せ。
問題2:点Pが内心Iのとき、垂足三角形の面積S(I)をS、R,rで表せ。
問題3:任意の点Pの垂足三角形の面積S(P)は、点Pの位置によって変わる。ここで、点Pと外心Oとの距離をdとすれば、
等式 S(P)=(1/4R2)S(R2−d2) が成り立つことを次の順に示せ。
(1)∠LMN=θとおくと、S(P)=(1/2)AP・CPsinθsinAsinC
(2)直線APと外接円との交点をQとし、CとP、CとQを結んで三角形CPQにおいて、
S(P)=(1/2)AP・PQsinAsinBsinC
(3)S(P)=(1/4R2)S(R2−d2)
注意:任意の点Pですが、図のように三角形ABCの内部にあるときのPとして考えてください。
問題4:三角形ABCの外接円上の点Pから3辺に下ろした垂線の足は一直線上にあることを示せ。また、この逆も成り立つ。<シムソン線の定理>
問題5:次の等式 OI2=R2−2Rrを示せ。<オイラーの定理(平面幾何学>>
<参考文献:数学ひとり旅 数学=不思議発見 石谷 茂(現代数学社)>
皆さん、問題に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。