平成２７年３月８日

[流れ星]

　　　　　第318回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答

募集期間：3月8日〜4月5日＞

［小数部分が同じ］

実数ｘに対して、ｘ以下の最大の整数ｎすなわち、ｎ≦ｘ＜ｎ＋１をみたすようなｎはただ１つ存在する。このようなｎをｘの整数部分といい、ｎ＝[ｘ]（ガウス記号）と表す。また、ｘ−[ｘ]をｘの小数部分といい、ここでは｛ｘ｝で表すことにする。では問題です。

ａは正の実数で、｛a^−１｝＝｛a^２｝，２＜a^２＜３をみたす。

（１） aの値を求めよ。

（２） a^３，a^６，a^１２，a^１３をaで表せ。

（３） a^１２−144ａ^−１を求めよ。

（４） a^ｎをaで表したとき、aの係数と定数項は有名な数列だが、なぜなのかを考察せよ。
＜「浜田さんからの指摘＞　
「ａ^nをａで表す」という問題であるが，ａ^nの表し方は一意的ではない．
　例えば，ａ^2＝ａ＋１であるが，　ａ^2＝(１−√５)ａ＋(７＋√５)／２も成立する．
　「ａの有理係数１次式で表す」とでもすればよいかも知れない．
＜上記のように修正します。3月10日記＞

＜参考文献：数学オリンピックへの道３　数論の精選104問（朝倉書店）＞

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。