平成２７年４月５日

[流れ星]

　　　　　第318回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：3月8日〜4月5日＞

［小数部分が同じ］

実数ｘに対して、ｘ以下の最大の整数ｎすなわち、ｎ≦ｘ＜ｎ＋１をみたすようなｎはただ１つ存在する。このようなｎをｘの整数部分といい、ｎ＝[ｘ]（ガウス記号）と表す。また、ｘ−[ｘ]をｘの小数部分といい、ここでは｛ｘ｝で表すことにする。では問題です。ａは正の実数で、｛a^−１｝＝｛a^２｝，２＜a^２＜３をみたす。
（１）aの値を求めよ。
（２）a^３，a^６，a^１２，a^１３をaで表せ。
（３）a^１２−144ａ^−１を求めよ。
（４）a^ｎをaで表したとき、aの係数と定数項は有名な数列だが、なぜなのかを考察せよ。
＜「浜田さんからの指摘＞　
「ａ^nをａで表す」という問題であるが，ａ^nの表し方は一意的ではない．
　例えば，ａ^2＝ａ＋１であるが，　ａ^2＝(１−√５)ａ＋(７＋√５)／２も成立する．
　「ａの有理係数１次式で表す」とでもすればよいかも知れない．
＜上記のように修正します。3月10日記＞

＜参考文献：数学オリンピックへの道３　数論の精選104問（朝倉書店）＞

NO1「uchinyan」 03/08 14時16分　受信 更新 4/5

(1)

a > 0，2 < a^2 < 3 より 0 < 1 < √2 < a < √3 < 2 ，0 < a^(-1) = 1/a < 1，なので，

{a^(-1)} = {a^2}，1/a = a^2 - 2，a^3 - 2a - 1 = 0，(a + 1)(a^2 - a - 1) = 0

a の範囲より，a^2 - a - 1 = 0，a = (1 + √5)/2，になります。

(2)

a^3 などは既に a の式なので「aで表せ。」というのは変な話なのですが，

多分，後の設問からして「a の１次式で表せ。」の意味だろうと思って解きました。

すると，(1)より，a^2 - a - 1 = 0，a^2 = a + 1，なので，

a^3 = (a^2 - a - 1)(a + 1) + (2a + 1) = 2a + 1

a^6 = (a^3)^2 = (2a + 1)^2 = 4a^2 + 4a + 1 = 4(a + 1) + 4a + 1 = 8a + 5

a^12 = (a^6)^2 = (8a + 5)^2 = 64a^2 + 80a + 25 = 64(a + 1) + 80a + 25 = 144a + 89

a^13 = a * a^12 = a(144a + 89) = 144a^2 + 89a = 144(a + 1) + 89a = 233a + 144

(3)

a^12 - 144a^(-1) = a^12 - 144/a = (a^13 - 144)/a

(2)より，a^13 = 233a + 144，なので，

a^12 - 144a^(-1) = ((233a + 144) - 144)/a = 233

(4)

まず，a^n，n = 1, 2, ...，は a の１次式で書けることを示します。

n = 1 のときは明らか。

そこで，a^n = p(n) * a + q(n)，と書けたとすると，

a^(n+1) = a * a^n = a(p(n) * a + q(n)) = p(n) * a^2 + q(n) * a

ここで，a^2 = a + 1 なので，

= p(n) * (a + 1) + q(n) * a = (p(n) + q(n)) * a + p(n)

となって，a^(n+1) も a の１次式で書けます。

これより，数学的帰納法で，a^n，n = , 2, ...，は a の１次式で書けることがいえました。

そこで，a^(n+1) = p(n+1) * a + q(n+1)，として，先ほどの結果から，

p(n+1) = p(n) + q(n)，q(n+1) = p(n)，p(1) = 1，q(1) = 0

この式より，

p(n+2) = p(n+1) + q(n+1) = p(n+1) + p(n)，p(1) = 1，p(2) = 1

これより，確かに，

a の係数 = p(n) は有名なフィボナッチ数列になっており，

定数項 = q(n) = p(n-1) も a の係数 より一つ前のフィボナッチ数列になっています。

(感想)

小数部分が等しいということからフィボナッチ数列が現れるとは思いませんでした。

フィボナッチ数列は単純ですが不思議な数列で意外なところに顔を出しますね。

「数学オリンピックへの道３」という本からということですが，

数学オリンピックとしたら国内予選の中程度よりやや易といったところでしょうか。

国内本選や国際では易しすぎるでしょう。

それよりも，設問の与え方次第ですが，大学入試によさそうな印象を受けました。

NO2「浜田明巳」 03/09 14時30分　受信

「浜田明巳」 03/10 09時11分　受信

「浜田明巳」 03/11 11時11分　受信 更新 4/5

（１）
　２＜ａ^２＜３より，１＜ａ^２＜４
　ａ＞０から，１＜ａ＜２
　　∴[ａ]＝１
　ａ＝１＋ｘ，０＜ｘ＜１とすると，
　　ａ^−１＝１／(１＋ｘ)
　１＜ａ＜２より，１／２＜ａ^−１＜１
　　∴[ａ^−１]＝０，{ａ^−１}＝ａ^−１＝１／(１＋ｘ)
　また，２＜ａ^２＜３より，[ａ^２]＝２
　　∴{ａ^２}＝ａ^２−[ａ^２]＝(１＋ｘ)^２−２＝ｘ^２＋２ｘ−１
　{ａ^−１}＝{ａ^２}から，１／(１＋ｘ)＝ｘ^２＋２ｘ−１
　　∴(ｘ^２＋２ｘ−１)(ｘ＋１)＝１
　　∴ｘ^３＋３ｘ^２＋ｘ−２＝０
　　∴(ｘ＋２)(ｘ^２＋ｘ−１)＝０
　　∴ｘ＝−２，(−１±√５)／２
　ここで，−２＜０，(−１−√５)／２＜０，(−１＋√５)／２＞０であり，
　　１−(−１＋√５)／２＝(３−√５)／２＞０
　　∴０＜(−１＋√５)／２＜１
　０＜ｘ＜１から，ｘ＝(−１＋√５)／２
　　∴ａ＝１＋ｘ
　　　　＝(１＋√５)／２
　このとき，ａ^２＝(３＋√５)／２となり，
　　ａ^２−２＝(√５−１)／２＞０，３−ａ^２＝(３−√５)／２＞０
　　∴２＜ａ^２＜３
　故に条件を満たす．

（２）
　ａ＝(１＋√５)／２より，２ａ−１＝√５
　　∴(２ａ−１)^２＝５
　　∴４ａ^２−４ａ−４＝０
　　∴ａ^２＝ａ＋１

　　ａ^３＝(１＋ｘ)^３
　　　　＝ｘ^３＋３ｘ^２＋３ｘ＋１
　　　　＝(ｘ^３＋３ｘ^２＋ｘ−２)＋(２ｘ＋３)
　　　　＝２ｘ＋３（∵ｘ^３＋３ｘ^２＋ｘ−２＝０）
　　　　＝２(ｘ＋１)＋１
　　　　＝２ａ＋１

　　ａ^６＝(ａ^３)^２＝(２ａ＋１)^２＝４ａ^２＋４ａ＋１
　　　　＝４(ａ＋１)＋４ａ＋１＝８ａ＋５

　　ａ^１２＝(ａ^６)^２＝(８ａ＋５)^２＝６４ａ^２＋８０ａ＋２５
　　　　　＝６４(ａ＋１)＋８０ａ＋２５＝１４４ａ＋８９

　　ａ^１３＝ａ^１２・ａ＝(１４４ａ＋８９)ａ＝１４４ａ^２＋８９ａ
　　　　　＝１４４(ａ＋１)＋８９ａ＝２３３ａ＋１４４

（３）
　　ａ^１２−１４４ａ^−１＝(ａ^１３−１４４)／ａ＝(２３３ａ)／ａ＝２３３

（４）
　ａ^ｎ＝ｐａ＋ｑ，ｎは正整数とすると，
　　ａ^ｎ＋１＝ａ^ｎ・ａ＝(ｐａ＋ｑ)ａ＝ｐａ^２＋ｑａ＝ｐ(ａ＋１)＋ｑａ
　　　　　　＝(ｐ＋ｑ)ａ＋ｐ
　ａ^ｎをａの１次式で表したとき，ａの係数をｂ_ｎ，定数項をｃ_ｎとすると，
　　ｂ_１＝１
　　ｂ_２＝１
　　ｂ_３＝ｂ_１＋ｂ_２＝２
　　ｂ_４＝ｂ_２＋ｂ_３＝３
　　ｂ_５＝ｂ_３＋ｂ_４＝５
　　・・・
　故に数列｛ｂ_ｎ｝は，初項，第２項が共に１のFibonacci数列である．
　次に，
　　ｃ_１＝０
　　ｃ_２＝１
　　ｃ_３＝ｂ_２＝１
　　ｃ_４＝ｂ_３＝２
　　ｃ_５＝ｂ_４＝３
　　・・・
　故に数列｛ｃ_ｎ｝は，初項０，第２項１のFibonacci数列である．

「早起きのおじさん」 03/12 16時50分　受信 更新 4/5

(1)

念のため、確認してみます。

なので、小数部分が一致します。

(2)

式(イ)より、

式(ア)より、

なので、

より、

･･･

と地道にやってもできますが、

となります。

(3)　式(エ)より、

(4)

の係数は、1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ･･･

定数項は、 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ･･･

となり、フィボナッチ数列です。

●なぜなのかは(2)の地道な計算をみると当然という気がしますが、帰納的にみてみます。

すると、

式(イ)より、

また、定数項はnが1つ遅れます。

●この問題は「なぜなのかを考察せよ」となっていて、証明を求めてはいません。

上の説明は、いまひとつピンとこないので、視覚的に分かりやすい形でみてみます。

この2式を連立させると、

式(ウ)を使うと、

となり、なるほどという気がします。

NO3「早起きのおじさん」 03/12 20時53分　受信 更新 4/5

(1) 番の解答で、次の方程式を解いての値が導かれます。

ここで、次の式を考えます。

とすると、

ここで なら、

となります。

NO4「にいばりZ12」 03/24 01時50分　受信 更新 4/5

（１）     aの値を求めよ。

aが正の実数２＜a²＜3より1.4142・・・＜a＜1.7320508・・・

[a]＝1、[a²]＝2

また

[a]+{a}＝a

から

{a}＝a-[a]= a-1

{a²}＝a²-[a²]= a²-2

さらに題意から

{a^-1}＝{a²}＝a²-[a²]= a²-2

aは１より大きいので{a^-1}は1より小さい（つまりa^-1の小数部分となる為

{a^-1}= a^-1

結局

a²-2- a^-1=0

a³-2a-1=0

(a+1)( a²- a-1)=0

この３次方程式の解はa+1=0、a²- a-1=0・・・・・・・・・・・・（ア）

の解なので

a =-1, a=(1±√5)/2

となりますが

題意から解の内、正の実数解が回答となります

a=(1+√5)/2・・・・・・・・・・回答

（４）     a^ｎをaで表したとき、aの係数と定数項は有名な数列だが、なぜなのかを考察せよ。

・リュカ数列またはルーカス数列 (Lucas sequence)とは、二次の整係数方程式 G ( x ) = x 2 - P x + Q =0 の二つの解

α=(P+√D)/2,β=(P-√D)/2,D=P²-4Q に対し

Un(P,Q)=(αⁿ-βⁿ)/( α-β),Vn(P,Q)=αⁿ+βⁿ

と定義される数列である。

U_n (1, -1)はフィボナッチ数, V_n (1, -1)は（通常の）リュカ数である。・・・・ウィキ引用

（ア）の二次の整係数方程式において上記引用に従い整理すると

    a=α

β=(1-√5)/2

    P=1,Q=-1

となります。また

Un(P,Q)=(αⁿ-βⁿ)/( α-β),Vn(P,Q)=αⁿ+βⁿ

から

Un(P,Q) ( α-β)=αⁿ-βⁿ

Vn(P,Q)　　　 =αⁿ+βⁿ

2αⁿ= Un(P,Q) ( α-β)+ Vn(P,Q)　

ここで

( α-β)=√5

よって

2αⁿ= Un(1,-1) √5+ Vn(1,-1)

αⁿ= Un(1,-1) √5/2+ Vn(1,-1)/2+ Un(1,-1) /2- Un(1,-1) /2

  = Un(1,-1) α+ (Vn(1,-1)- Un(1,-1)) /2

となりますが

(Vn(1,-1)- Un(1,-1)) /2を定義に従ってαβ=-1を使って変形すると

(αⁿ+βⁿ -(αⁿ-βⁿ)/( α-β))/2

＝((α^n-1(α²–α+1)+β^n-1(β²-β+1))/2( α-β)= ((2α^n-1+2β^n-1)/2( α-β)=Un-1(1,-1)　∵α²–α+1=β²-β+1=2

a ⁿ= Un(1,-1) a + Un-1(1,-1)　

a ⁿ= F_n a + F_{n -1}　・・・回答(フィボナッチ数列をF_nとします)

ここで計算は終わりますが、“なぜなのか”に回答していません。

先に（2）と（3）を回答してからじっくり考えます。

（２）     a^３，a^６，a^１２，a^１３をaで表せ。

　　　F_nとリュカ数列Vn(1,-1)を書き出しておきます(F₀から)　 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,

(V₀(1,-1)から) 　2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079

（4）の結果から

　　　　　　　a ³=((1+√5)/2)³=2(1+√5)/2+1=2+√5   =(4    +2√5)/2

a⁶= a ^3・2=（2+√5) ²=8(1+√5)/2+5=9+4√5   =(18   +8√5)/2

a¹²= a ^6・2=（9+4√5) ²=144(1+√5)/2+89=161+72√5   =(322+144√5)/2

a¹³= a ¹²・a =（161+72√5) (1+√5)/2　　 =233(1+√5)/2+144   =(521+233√5)/2　　　　　　・・・回答(検算のため2通りの式を提示しました)

（３）     a¹²-144a^-1を求めよ。

　　　　　　a¹²-144a^-1＝(322+144√5)/2-144 a^-1

　　　　　　ここで

　　　　　　a^-1＝−β＝-(1-√5)/2

よって

a¹²-144a^-1＝(322+144√5)/2+144 (1-√5)/2=233　　　・・・・・回答（144はF_nの最大平方数です）

（4再掲）

　　　　　　(2)から

　　　　　　　a ⁿ=( V_n (1, -1)+ F_n√5)/2

が言えそうですが

　　　　　「第290回数学的な応募問題」で逆問題として出ています

　　　　　　即ちa=(1+√5)/2を先に示し

　　　　　　a ⁿ=( L_n + F_n√5)/2となるように有理数L_n ,F_nを定める

　　　　　　　この回答として皆さんL_nがリュカ数列、Fnがフィボナッチ数列になることを指摘ししています。

　　　　　（4）で「なぜなのか」に回答していないと述べましたが、uchinyanさんが明快に示されていました。

（１再掲(感想)）

　　　　　　今回の問題は、実は（1）にその眼目があったのではと考えています

　　　　　　コンピューター（エクセルなど）では、IF,INT,ROUNDなどの関数で整数部と、小数部が簡単に処理できますが

　　　　　　数学的にはどうなのだろうというのが私が持っている長年の課題です。

　　　　　　エクセル関数を使わず、四則演算だけで整数部と、小数部が切断できる方法はあるのでしょうか。

「にいばりZ12」 03/30 01時09分　受信 更新 4/5

勘違いが有ったので訂正させてください。

（２）     a^３，a^６，a^１２，a^１３をaで表せ。

　　　F_nとリュカ数列Vn(1,-1)を書き出しておきます(F₀から)　 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946,

(V₀(1,-1)から) 　2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, 15127, 24476, 39603, 64079

（4）の結果から

　　　　a ³=((1+√5)/2)³=2(1+√5)/2+1=2+√5   =(4    +2√5)/2=2a+1     (= F₃a+F₂ )・・・（下記参照）

a⁶= a ^3・2=（2+√5) ²=8(1+√5)/2+5=9+4√5   =(18   +8√5)/2=8a+5            (= F₆a+ F₅)

a¹²= a ^6・2=（9+4√5) ²=144(1+√5)/2+89=161+72√5   =(322+144√5)/2=144a+89     (= F₁₂a+ F₁₁)

a¹³= a ¹²・a =（161+72√5) (1+√5)/2　　 =233(1+√5)/2+144   =(521+233√5)/2=233a+144   (= F₁₃a+ F₁₂)　　　・・・回答(検算のため2通りの式を提示しました)

またa ³=2a＋１,a²=a＋１（（1）a²-a-１=0より）

から   a⁴=(2a+1)a=2a²+ a=2(a+１)+  a=3a+2

a⁵=(3a+2)a=3a²+2a=3(a+１)+2a=5a+3

a⁶=(5a+3)a=5a²+3a=5(a+１)+3a=8a+5

                   a⁷=(8a+5)a=5a²+3a=8(a+１)+5a=13a+8

                   a⁸=(13a+8)a=13a²+8a=13(a+１)+8a=21a+13

                   a⁹=(21a+13)a=21a²+13a=21(a+１)+13a=34a+21

                   a¹⁰=(34a+21)a=34a²+21a=34(a+１)+21a=55a+34

a¹¹=(55a+34)a=55a²+34a=55(a+１)+34a=89a+55

a¹²=(89a+55)a=89a²+55a=89(a+１)+55a=144a+89

a¹³=(144a+89)a=144a²+89a=144(a+１)+89a=233a+144

a¹⁴=(233a+144)a=233a²+144a=233(a+１)+144a=377a+233

数学的帰納法

　a=(1+√5)/2,a ³=2a＋１,a²=a＋１が成立するとき

aⁿ= F_na+ F_n-1を証明(Fはフィボナッチ数列)

aⁿ= F_na+ F_n-1が成立すると仮定すると

aⁿ⁺¹= F_n+1a+ F_nが成立することを証明

aⁿ⁺¹=( F_na+ F_n-1) a= F_na²+ F_n-1 a= F_n(a+１)+ F_n-1 a= F_na+ F_n+ F_n-1 a= (F_n+ F_n-1) a+ F_n

F_n+ F_n-1= F_n+1から

aⁿ⁺¹=( F_na+ F_n-1) a= F_n+1a+ F_n

　3項漸化式であるので初項(n=1)

　a=(1+√5)/2

　　　　　　　　　で、n=3で成立するかを検証すると

　　　　　　　　　（下記参照）の結果で成立している

　　　　　　　　　　　よってn≧3で成立

　　　　　　　　　n =2の時

　　　　　　　　　　　　a²=a＋１= F₂a+ F_1・・・(a+１)

　　　　　　　　　n＝1の時

　　　　　　　　　　　　a= F₁a+ F_0・・・(a+１)

　　　　　　　　　　　　よってn≧1で成立・・・・・・・・・・・・・・回答

NO5「二度漬け白菜」 04/01 22時00分　受信 更新 4/5

(1) a=(1/2)*(1+√5)  (答)

√2＜a より，0＜a^(-1)＜1．　よって，{a^(-1)}=a^(-1)．
2＜a^2＜3 より，{a^2}=a^2-2．
よって，
{a^(-1)}={a^2} ⇔ a^(-1)=a^2-2．
よって，　a^3-2*a-1=0．
つまり，(a+1)*(a^2-a-1)=0．
条件を満たすものは，a=(1/2)*(1+√5) のみ．

(2) a^3=2*a+1，a^6=8*a+5，a^(12)=144*a+89，a^(13)=233*a+144．(答)　

a^2=a+1 と a^3=2*a+1　とから，
a^6=(a^3)^2=(2*a+1)^2=(4*a^2+4*a+1)=4*(a+1)+4*a+1=8*a+5，
a^(12)=(a^6)^2=(8*a+5)^2=64*a^2+80*a+25=144*a+89，
a^(13)=a^(12)*a=144*a^2+89*a=233*a+144．

(3) a^(12)-144*a^(-1)= 233．(答)

a^(12)-144*a^(-1)=a^(-1)*(a^(13)-144)=a^(-1)*(233*a)=233．

(4) a^2=a+1，a^3=(a^2)*a=a^2+a=2*a+1，
a^4=(a^3)*a=(2*a+1)*a=2*a^2+a=3*a+2，
a^5=(a^4)*a=3*a^2+2*a=5*a+3,…

」

数列 { F[n] } (n=0，1，2，… ) を漸化式で次のように定義する．
F[0]=1，F[1]=1，F[n+2] = F[n+1] + F[n] (n≧0)．
そうすると，
a^n = F[n-1]*a + F[n-2] ---(☆) (n≧2) が成り立つ．
(証明)
n=2のときは確かに成り立つ．
あるnで(☆)が成り立っているとすると，
a^(n+1)=(a^n)*a = (F[n-1]*a + F[n-2])*a
=F[n-1]*a^2 + F[n-2]*a
=F[n-1]*(a+1) + F[n-2]*a
=(F[n-1]+F[n-2])*a + F[n-1]
=F[n]*a + F[n-1]
よって n+1 のときも(☆)は正しい．　

私の印象に残っている整数に関する問題を紹介します．
今から6年ほど前にWEB上で目にした問題です．

(問題)
(m*n)^2 + m*(2*n^2 - 1) が平方数となるような
正整数 m，n は存在しないことを証明せよ．

「二度漬け白菜」 04/03 20時36分　受信 更新 4/5

(4) a^n = F[n-1]*a + F[n-2] の別解：

二次方程式 x^2=x+1 の根のひとつは a．もうひとつの根を b とすると，
a+b=1，a*b=-1 が成り立つので，
F[n]-b*F[n-1]
=a*(F[n-1]-b*F[n-2])
=a^2*(F[n-2]-b*F[n-3])
=・・・
=a^(n-1)*(F[1]-b*F[0])
=a^(n-1)*(1-b)
=a^n．
つまり，a^n=F[n]-b*F[n-1]．
よって，a^(n+1)=a*F[n]-a*b*F[n-1]=a*F[n]+F[n-1]．
よって，a^n=F[n-1]*a+F[n-2]．

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。