平成２７年１２月２０日

[流れ星]

　　　　　第329回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：12月20日〜1月17日＞

［通過領域＋α］

　皆さん、過去の大学入試問題を見ていると、「関数のグラフが通過する範囲を図示せよ」という問題を見かけます。

最近では今年東大で出題されていました。そこで、次の問題を考えました。

問題１：１次関数ｙ＝２ｔｘ−ｔ^２がｔ≧０の範囲で変化するとき、この１次関数のグラフが通過する範囲を求め、図示せよ。

問題２：２次関数ｙ＝ｔｘ^２＋（１/４ｔ）ｘ　がｔ>０の範囲で変化するとき、この２次関数のグラフが通過する範囲を求め、図示せよ。

問題３：３次関数ｙ＝ｘ^３−４ｔｘ^２＋２ｔ^２ｘ　がｔ≧０の範囲で変化するとき、この３次関数のグラフが通過する範囲を求め、図示せよ。

新年あけましておめでとうございます。平成２８年もご愛顧賜りますようお願い申し上げます。

問題４：「数学Ａ」という教科書に整数の性質という章があります。（ここでは、約数は正の自然数としておきます。）

例えば、８＝２^３と素因数分解できますから、正の約数は、１，２，４，８です。

だから、８の約数の個数は　３＋１＝４　　（個）

　また、８と互いの素な数は、１，３，５，７の４個です。

これは大変興味深い結果です。正の約数の個数と互いに素な数の個数が一致しています。

　勿論、自然数Ｎについて、Ｎ＝ａ^ｐ×ｂ^ｑ×ｃ^ｒ×・・・と素因数分解できたとき、

Ｎの約数の個数は、　(ｐ＋１)(ｑ＋１)(ｒ＋１)・・・　で求まります。

Ｎ以下で、Ｎと互いに素の数の個数は、オイラー関数φ（Ｎ）で表すと、

φ（Ｎ）＝Ｎ(1−１/ａ)(1−１/ｂ)(1−１/ｃ) ・・・で書けます。

ここで、問題です。自明な１は除いてもいいでしょう。

「自然数Ｎについて、Ｎの正の約数の個数と、Ｎ以下でＮと互いに素な数の個数とが一致するような自然数Ｎは一体どんな数でしょう。」

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。