平成２８年８月７日

[流れ星]

　　　　　第336回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月１０日〜８月７日＞

［4次方程式の解法］

大学入試問題を解いていたころ、記憶に残る2008年横浜市立大学の問題です。

参考：４次方程式の解法はWikipediaによると、フェラーリの方法、デカルトの方法、オイラーの方法、ラグランジュの方法が載っています。

NO1「uchinyan」 07/10 15時27分　受信 更新 8/07

(1)

f(x) = x^4 - 20x^2 - (8√2)x + 32，とおくと，

f(4) = - 32 - 32√2 < 0，f(5) = 157 - 40√2 > 157 - 40 * 2 = 77 > 0，

なので，f(x) = 0 は区間(4,5)に解をもちます。

(2)

x = √p + √q + √r，

x^2 = p + q + r + 2(√(pq) + √(qr) + √(rp)) = f + 2(√(pq) + √(qr) + √(rp))，

x^4 = (x^2)^2

= f^2 + 4f(√(pq) + √(qr) + √(rp)) + 4(pq + qr + rp + 2(√q + √r+ √p )√(pqr))

= f^2 + 4f(√(pq) + √(qr) + √(rp)) + 4g + 8(√h)(√q + √r+ √p ))

なので，これらを，x^4 - Ax^2 - Bx - C = 0，に代入して，

(f^2 + 4f(√(pq) + √(qr) + √(rp)) + 4g + 8(√h)(√q + √r+ √p )))

- A(f + 2(√(pq) + √(qr) + √(rp))) - B(√p + √q + √r) - C = 0，

(4f - 2A)(√(pq) + √(qr) + √(rp)) + (8√h - B)(√p + √q + √r) + (f^2 + 4g - fA - C) = 0，

ここで，A，B，C を f，g，h で表すので，余分な p，q，r を消すようにすればいいので，

4f - 2A = 0，8√h - B = 0，f^2 + 4g - fA - C = 0，

A = 2f，B = 8√h，C = f^2 + 4g - fA = 4g - f^2，

になります。

さらに，x^4 - 20x^2 - (8√2)x + 32 = 0，と比較して，

A = 2f = 20，B = 8√h = 8√2，C = 4g - f^2 = - 32，

f = 10，g = 17，h = 2，

になります。

(3)

X^3 - 10X^2 + 17X - 2 = 0，を解けばいいことになります。

X^3 - 10X^2 + 17X - 2 = 0，(X - 2)(X^2 - 8X + 1) = 0，X = 2, 4 ± √15，

これらの解はすべて正の実数なので条件を満たします。

そこで，p，q，r はこの３つになります。

(4)

x = √p + √q + √r

= √2 + √(4 + √15) + √(4 - √15)

= √2 + (√(8 + 2√15) + √(8 - 2√15))/√2

= √2 + ((√5 + √3) + (√5 - √3))/√2

= √2 + √10，

なので，1 < √2 < 1.5，3 < √10 < 3.2，より，

4 = 1 + 3 < x = √2 + √10 < 1.5 + 3.2 = 4.7 < 5，

になります。

なお，上記の計算から明らかですが，元の４次方程式の４つの解は，

√p + √q + √r，√p - √q - √r，- √p + √q - √r，- √p - √q + √r，

なので，具体的な４つの解は，

√2 + √10，√2 - √10，- √2 + √6，- √2 - √6，

ですね。

(感想)

高次方程式については高校生の頃にいろいろと考えたことがあります。

３次方程式は，２次の項を消した後，恒等式，

x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx)，

を基にカルダノの方法を，

４次方程式は，３次の項を消した後，完全平方を作ることでフェラーリの方法を，

それぞれ独自に見つけたことがあります。

恒等式をヒントに，ということでは，デカルトの方法やオイラーの方法もその仲間ですね。

一方，ラグランジュの方法というのは知りませんでしたが，

彼の方程式に関する深い研究が後々のガロアの理論まで発展して行くので，感慨深いものがあります。

アーベルやガロアの研究の結果を知って，個人的には，群論そしてがロア理論を勉強しよう，

と目標が変わったのですが，情けないことに，いまだにその目標は達成されないままです．．． (^^;

NO2「浜田明巳」 　　07/11 12時47分　受信 更新 8/07

　ｘ^４−２０ｘ^２−８√２ｘ＋３２＝０
　　∴ｘ^４＝２０ｘ^２＋８√２ｘ−３２
　ある数ｔを用いて，
　　ｘ^４＋２ｔｘ^２＋ｔ^２＝(２０＋２ｔ)ｘ^２＋８√２ｘ＋(ｔ^２−３２)
　　∴(ｘ^２＋ｔ)^２＝(２０＋２ｔ)ｘ^２＋８√２ｘ＋(ｔ^２−３２)・・・(1)
　右辺をｘの１次式の平方となるように，ｔを定める．
　ｔ≠ー１０のとき，判別式をＤとすると，
　　Ｄ／４＝１６・２−(２０＋２ｔ)(ｔ^２−３２)＝０
　　∴１６−(１０＋ｔ)(ｔ^２−３２)＝０
　　∴ｔ^３＋１０ｔ^２−３２ｔ−３３６＝０
　　∴(ｔ／２)^３＋５(ｔ／２)^２−８・ｔ／２−４２＝０
　Ｘ＝ｔ／２とすると，
　　Ｘ^３＋５Ｘ^２−８Ｘ−４２＝０
　(−３)^３＋５(−３)^２−８(−３)−４２＝０であるから，Ｘ＝−３が解の１つである．
　このとき，ｔ／２＝−３
　　∴ｔ＝−６
　これはｔ≠−１０を満たす．
　(1)に代入すると，
　　(ｘ^２−６)^２＝８ｘ^２＋８√２ｘ＋４＝４(２ｘ^２＋２√２ｘ＋１)＝４(√２ｘ＋１)^２
　　∴ｘ^２−６＝±２(√２ｘ＋１)
　　∴ｘ^２−２√２ｘ−８＝０，ｘ^２＋２√２ｘ−４＝０
　　∴ｘ＝√２±√１０，−√２±√６
（高校のときから，４次方程式はこのように解いていました）

（１）ｘ＝√２＋√１０において．４＜ｘ＜５を示す．
　　(√２＋√１０)^２−４^２＝４√５−４＝４(√５−１)＞０
から，
　　(√２＋√１０)^２＞４^２
　　∴√２＋√１０＞４
　また，
　　５^２−(√２＋√１０)^２＝１３−４√５＝√１６９−√８０＞０
から，
　　(√２＋√１０)^２＜５^２
　　∴√２＋√１０＜５
　まとめると，４＜√２＋√１０＜５
　故に題意は示された．

（２）ｘ＝√ｐ＋√ｑ＋√ｒ，ｆ＝ｐ＋ｑ＋ｒ，ｇ＝ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ，ｈ＝ｐｑｒ
　　ｘ^２＝ｐ＋ｑ＋ｒ＋２(ｐｑ)^１／２＋２(ｑｒ)^１／２＋２(ｒｐ)^１／２
　　　　＝ｆ＋２{(ｐｑ)^１／２＋(ｑｒ)^１／２＋(ｒｐ)^１／２}・・・(2)
　また，
　　２{(ｐｑ)^１／２＋(ｑｒ)^１／２＋(ｒｐ)^１／２}＝ｘ^２−ｆ・・・(3)
　このとき，(2)から，
　　ｘ^４＝ｆ^２＋４ｐｑ＋４ｑｒ＋４ｒｐ＋４ｆ(ｐｑ)^１／２＋４ｆ(ｑｒ)^１／２＋４ｆ(ｒｐ)^１／２
　　　　　＋８(ｐｑ^２ｒ)^１／２＋８(ｐｑｒ^２)^１／２＋８(ｐ^２ｑｒ)^１／２
　　　　＝ｆ^２＋４(ｐｑ＋ｑｒ＋ｒｐ)＋４ｆ{(ｐｑ)^１／２＋(ｑｒ)^１／２＋(ｒｐ)^１／２}＋８(ｐｑｒ)^１／２(√ｐ＋√ｑ＋√ｒ)
　　　　＝ｆ^２＋４ｇ＋２ｆ(ｘ^２−ｆ)＋８√ｈ・ｘ　（∵(3)）
　　　　＝２ｆｘ^２＋８√ｈ・ｘ＋(４ｇ−ｆ^２)
　　　　＝Ａｘ^２＋Ｂｘ＋Ｃ
　係数を比較すると，
　　Ａ＝２ｆ，Ｂ＝８√ｈ，Ｃ＝４ｇ−ｆ^２
　Ａ＝２ｆ＝２０，Ｂ＝８√ｈ＝８√２，Ｃ＝４ｇ−ｆ^２＝−３２であるから，
　　ｆ＝１０，ｈ＝２
　次に，
　　ｇ＝(ｆ^２−３２)／４＝(１００−３２)／４＝１７
　まとめると，
　　ｆ＝１０，ｇ＝１７，ｈ＝２

（３）Ｘ^３−１０Ｘ^２＋１７Ｘ−２＝０から，
　　(Ｘ−２)(Ｘ^２−８Ｘ＋１)＝０
　　∴Ｘ＝２，４±√１５
　ｐ＞０，ｑ＞０，ｒ＞０であり，
　　４−√１５＝√１６−√１５＞０
から，
　　{ｐ，ｑ，ｒ}＝{２，４＋√１５，４−√１５}

（４）ｘ＝√ｐ＋√ｑ＋√ｒ＝√２＋(４＋√１５)^１／２＋(４−√１５)^１／２
　ここで，
　　(４＋√１５)^１／２＝{(８＋２√１５)／２}^１／２
　　　　　　　　　　　＝(√５＋√３)／√２
　　(４−√１５)^１／２＝(√５−√３)／√２　（∵√５＞√３）
　　∴ｘ＝√２＋(√５＋√３)／√２＋(√５−√３)／√２
　　　　＝√２＋√１０

「浜田明巳」 　　07/11 14時24分　受信 更新 8/07

（別解）（１）ｆ(ｘ)＝ｘ^４−２０ｘ^２−８√２ｘ＋３２とすると，
　　ｆ(４)＝４^４−２０・４^２−８√２・４＋３２＝３２(−１−√２)＜０
　　ｆ(５)＝５^４−２０・５^２−８√２・５＋３２＝１５７−４０√２＝√２４６４９−√３２００＞０
　　∴ｆ(４)＜０＜ｆ(５)
　故に方程式ｆ(ｘ)＝０は，区間(４，５)において，少なくとも１つの解をもつ．

（参考）もし解を１個に限定するのなら，以下の通り．
　　ｆ'(ｘ)＝４ｘ^３−４０ｘ−８√２＝４(ｘ^３−１０ｘ−２√２)
　　∴ｆ''(ｘ)＝４(３ｘ^２−１０)＝１２{ｘ＋(１０／３)^１／２}{ｘ−(１０／３)^１／２}
　故にｘ＞(１０／３)^１／２のとき，ｆ'(ｘ)は単調増加である．
　１０＜４８から，１０／３＜１６
　　∴(１０／３)^１／２＜４
　故にｘ＞４のとき，ｆ'(ｘ)は単調増加である．
　　ｆ'(４)＝４(４^３−１０・４−２√２)＝８(１２−√２)＞０
から，ｘ＞４のとき，ｆ'(ｘ)＞ｆ'(４)＞０
　故にｘ＞４のとき，ｆ(ｘ)は単調増加である．
　ｆ(４)＜０＜ｆ(５)であるので，方程式ｆ(ｘ)＝０は，区間(４，５)において，１個のみの解をもつ．

NO3「早起きのおじさん」 07/17 10時19分　受信 更新 8/07

（１）

4次関数 は、区間 [4,5] で連続です。

より、 と が異符号なので、 となるcが4と5の間に少なくとも1つあります。

（２）

この式より、

です。

この式より、

です。

よって、

（＊）と（＊＊）が同じ式とすると、

よって、

（３）

（４）

（３）より、

さて、次のように、4と と5の大小を比較できます。

それぞれ平方し、12を引いてさらに平方します。

以上から、解が区間（4,5）にあることが分かります。

NO4「二度漬け白菜」 08/01 21時51分　受信 更新 8/07

(1)
f(x)=x^4-20*x^2-8*(2^(1/2))*x+32 とおく．

f(4)=-32*(1+2^(1/2))＜0．
f(5)=157-40*2^(1/2)=157-40*2=77＞0．
よって，中間値の定理により，
方程式 (*) は区間(4，5)に解をもつ．

(2)
x^2
=(p^(1/2)+q^(1/2)+r^(1/2))^2
=p+q+r+2*((p*q)^(1/2)+(p*r)^(1/2)+(q*r)^(1/2))
=f+2*((p*q)^(1/2)+(p*r)^(1/2)+(q*r)^(1/2))．

x^4

=(x^2)^2

=(f+2*((p*q)^(1/2)+(p*r)^(1/2)+(q*r)^(1/2)))^2
=f^2+4*f*((p*q)^(1/2)+(p*r)^(1/2)+(q*r)^(1/2))
+4*((p*q)^(1/2)+(p*r)^(1/2)+(q*r)^(1/2))^2

=f^2+4*f*((p*q)^(1/2)+(p*r)^(1/2)+(q*r)^(1/2))
+4*(p*q+p*r+q*r+2*(p*(q*r)^(1/2)+r*(p*q)^(1/2)+q*(p*r)^(1/2)))

=f^2+2*f*2*((p*q)^(1/2)+(p*r)^(1/2)+(q*r)^(1/2))
+4*(p*q+p*r+q*r+2*((p*q*r)^(1/2))*(p^(1/2)+q^(1/2)+r^(1/2)))

=f^2+2*f*(x^2-f)+4*(g+2*(h^(1/2))*x)

=2*f*x^2+8*(h^(1/2))*x-f^2+4*g．

よって，
x^4-2*f*x^2-8*(h^(1/2))*x-(4*g-f^2)=0．

よって，
A=2*f，B=8*h^(1/2)，C=4*g-f^2 (答)．

(*)と(**)とが同じ式だとすると，
20=2*f，8*2^(1/2)=8*h^(1/2)，32=f^2-4*g
となる．
これらの式から，
f=10，g=17，h=2 (答)．

(3)
X^3-f*X^2+g*X-h=0において，先に得られたf，g，h の値
を用いると，
X^3-10*X^2+17*X-2=0．
これより，
(X-2)*(X^2-8*X+1)=0．
X=2，4+15^(1/2)，4-15^(1/2)．
よって，{p，q，r}={2，4+15^(1/2)，4-15^(1/2)} (答)．

(4)
x=p^(1/2)+q^(1/2)+r^(1/2)
=2^(1/2)+(4+15^(1/2))^(1/2)+(4-15^(1/2))^(1/2)．
ここで，
(4+15^(1/2))^(1/2)=((8+2*15^(1/2))/2)^(1/2)
=((5^(1/2)+3^(1/2))^2/2)^(1/2)=(5^(1/2)+3^(1/2))/(2^(1/2))，
(4-15^(1/2))^(1/2)=((8-2*15^(1/2))/2)^(1/2)
=((5^(1/2)-3^(1/2))^2/2)^(1/2)=(5^(1/2)-3^(1/2))/(2^(1/2))
であるので，
x=2^(1/2)+(5^(1/2)+3^(1/2))/(2^(1/2))+(5^(1/2)-3^(1/2))/(2^(1/2))
=2^(1/2)+10^(1/2)．

1＜2^(1/2)＜3/2，3＜10^(1/2)＜7/2 であるので，
1+3＜2^(1/2)+10^(1/2)＜3/2+7/2，つまり，
4＜2^(1/2)+10^(1/2)＜5．
x=2^(1/2)+10^(1/2)は，確かに区間(4，5)にある．

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最近，数学質問系のサイトにて質問されていた数学の問題に，
興味深い回答が付いているのを見つけました．
私自身，とても参考になりました．
質問されていた問題と，それに対する回答は以下のようなものでした．

【問題】
『 X_1, X_2, X_3，・・・ ，X_n が全て整数のとき，
S=|X_1−X_2|+|X_2−X_3|+・・・+|X_{n-1}−X_n|+|X_n−X_1|
は常に偶数になることを証明せよ．』

(回答)
一般に, 整数 a に対し
|a|-a=0 (a≧0)
 |a|-a=-2a (a<0)
であるから, |a|-a は偶数である. したがって,
S=|X_1-X_2|+…+|X_{n-1}-X_n|+|X_n-X_1|
 =|X_1-X_2|+…+|X_{n-1}-X_n|+|X_n-X_1|-(X_1-X_2)-…-(X_{n-1}-X_n)-(X_n-X_1)
 =[|X_1-X_2|-(X_1-X_2)]+…+[|X_{n-1}-X_n|-(X_{n-1}-X_n)]+[|X_n-X_1|-(X_n-X_1)]
は n 個の偶数の和であるから偶数である.

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。