平成２８年８月７日

[流れ星]

　　　　　第337回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：８月７日〜９月４日＞

［選手の部屋割り］

リオデジャネイロ五輪が開催中です。日本人選手の活躍を期待しています。さて、大学入試問題を解いていて、次のような類題を考えました。

オリンピック競技の中で、A種目からD種目までの４種目の選手がそれぞれ2人ずつ、合計8人の選手がいます。これら8人の選手を1号室から4号室までの4部屋にそれぞれ2人ずつ部屋割りをしたい。

問１：　部屋に入る総数を求めよ。

問２：　どの部屋も同じ種目の選手が入る確率を求めよ。

問３：　A種目の選手とB種目の選手が同室にならない確率を求めよ。

問４：同じ種目の選手が必ず別の部屋になる確率を求めよ。

NO1「uchinyan」 08/07 16時16分　受信 更新

「uchinyan」 08/08 14時23分　受信 更新 9/04

(お詫び)

最初に問題を読んだ際に，

＞問３：　A種目の選手とB種目の選手が同室にならない確率を求めよ。

というのを，

Ａ種目の選手同士が同室にならない，

かつ，

Ｂ種目の選手同士が同室にならない，

という意味だと思ってしまいましたが，

単に，

Ａ種目の選手１人とＢ種目の選手１人が同室にならない，

という意味ですね，きっと。

後者の解釈で訂正しました。

ただ，折角なので，前者の場合も「問３＋α：」として書いておきます。

(お詫び終わり)

問１：

１号室に入るのが 8C2 通り，２号室に入るのが 6C2 通り，３号室に入るのが 4C2 通り，４号室に入るのが 2C2 通り，

なので，8C2 * 6C2 * 4C2 * 2C2 = 8!/(2!2!2!2!) = 2520 通り，になります。

問２：

どの部屋も同じ種目の選手が入るということは，種目に部屋を割り当てればいいので，4! = 24 通り。

そこで，確率は，24/2520 = 1/105，になります。

問３：

Ａ種目の人とＢ種目の人の入り方で場合分けするのがよさそうです。

Ａ種目の２人が同じ部屋になる場合

Ａ種目の人の入り方は 4C1 = 4 通り，後は自由に入れるので 6C2 * 4C2 * 2C2 = 6!/(2!2!2!) = 90 通り，

より，4 * 90 = 360 通り。

Ａ種目の２人が同じ部屋にならない場合

Ａ種目の人の入り方は 4C2 * 2 = 12 通り，

Ｂ種目の２人が同じ部屋のときは，2C1 = 2 通り，後は２つの別の部屋＋１つの部屋に自由に入れるので 4!/2 = 12 通り，

Ｂ種目の２人が別の部屋のときは，2C2 * 2 = 2 通り，後は別々の部屋に自由に入れるので 4! = 24 通り，

より，12 * (2 * 12 + 2 * 24) = 864 通り。

以上ですべてなので，Ａ種目の選手とＢ種目の選手が同じ部屋にならないのは，360 + 864 = 1224 通り。

確率は，1224/2520 = 17/35，になります。

問３＋α：

Ａ種目の選手とＢ種目の選手が同じ部屋にならないということが，

Ａ種目の選手同士が同室にならない，

かつ，

Ｂ種目の選手同士が同室にならない，

という意味だとしたら．．．

全体からＡ種目の選手又はＢ種目の選手が同じ部屋になる場合を引けばいいです。

Ａ種目の選手が同じ部屋になるのは，

Ａ種目の部屋割りに 4 通り，

Ａ種目以外の選手は自由に入れるので 6C2 * 4C2 * 2C2 = 6!/(2!2!2!) = 90 通り，

より，4 * 90 = 360 通り。

Ｂ種目の選手が同じ部屋になるのは，同様にして 360 通り。

そこでこれらの和になりますが，

これらにはＡ種目の選手とＢ種目の選手がともに同じ部屋になるのが重複しているのでこれを除きます。，

Ａ種目の選手とＢ種目の選手が同じ部屋になるのは，

この２種目の部屋割りに 4 * 3 = 12 通り，

Ｃ種目の選手とＤ種目の選手は自由に入れるので 4C2 * 2C2 = 6 通り，

より，12 * 6 = 72 通り。

そこで，Ａ種目の選手又はＢ種目の選手が同じ部屋になるのは，360 + 360 - 72 = 648 通り。

これより，Ａ種目の選手とＢ種目の選手が同じ部屋にならないのは，2520 - 648 = 1872 通り。

確率は，1872/2520 = 26/35，になります。

問４：

同じ種目の選手が必ず別の部屋になるということは，

全体から少なくとも１つの種目の選手が同じ部屋になる場合を引けばいいです。

まず，４種目の選手とも同じ部屋になるのは，問２：より 24 通り。

３種目の選手とも同じ部屋になるのは，４種目の選手とも同じ部屋になることなので，考えなくていいです。

２種目の選手だけが同じ部屋になるのは，

どの２種目を選ぶかで 4C2 = 6 通り，

その２種目が同じ部屋は問３＋α：のＡ種目とＢ種目で考えた 72 通り，ですが，

これだと４種目が同じ部屋も数えているので，それを除いて，6 * (72 - 24) = 288 通り。

１種目の選手だけが同じ部屋になるのは，

どの１種目を選ぶかで 4C1 = 4 通り，

その種目が同じ部屋は問３＋α：のＡ種目で考えた 360 通り，

ですが，これだと２種目以上が同じ部屋も数えているので，それらを除いて，

4 * (360 - 3 * (72 - 24) - 24) = 768 通り。

これより，同じ種目の選手が必ず別の部屋になるのは，2520 - 768 - 288 - 24 = 1440 通り。

確率は，1440/2520 = 4/7，になります。

(別解)

種目のＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの順番に決まった人が部屋の１，２，３，４に順次入る，として，

８人を横１列に並べ部屋として左から２つずつ区切るという順列，を基に考えます。

問１：

全体の部屋への入り方は，8 人を一列に並べればいいので 8! 通り。

しかし，実際には部屋に入る順番は問わないので，8!/(2!2!2!2!) = 2520 通り，になります。

問２：

種目のＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄの最初に入る人の入り方で決定しますが，

順列では部屋の入り方があるので 4! * 2! * 2! * 2! * 2! 通り。

そこで，確率は，(4! * 2! * 2! * 2! * 2!)/8! = 24/2520 = 1/105，になります。

問３：

Ａ種目の人の入り方で場合分けが必要です。

Ａ種目の２人が同じ部屋になる場合

Ａ種目の人の入り方は 8 通り，後は自由に入れるので 6! 通り，で，8 * 6! 通り。

Ａ種目の２人が同じ部屋にならない場合

Ａ種目の人の入り方は 8 * 6 通り，Ｂ種目の人の入り方は 4 * 3 通り，

後は自由に入れるので 4! 通り，で，8 * 6 * 4 * 3 * 4! 通り。

以上ですべてなので，確率は，

(8 * 6! + 8 * 6 * 4 * 3 * 4!)/8!

= (5 + 4 * 3)/(7 * 5) = 17/35，

になります。

問３＋α：

Ａ種目の選手とＢ種目の選手が同じ部屋にならないということが，

Ａ種目の選手同士が同室にならない，

かつ，

Ｂ種目の選手同士が同室にならない，

という意味だとしたら．．．

Ａ種目の人の入り方は 8 * 6 通り。

次のＢ種目の人の入り方で場合分けが必要です。

Ｂ種目の２人ともがＡ種目の２人と同じ部屋になる場合

Ｂ種目の人の入り方は 2 通り，後は自由に入れるので 4! 通り，で，2 * 4! 通り。

Ｂ種目の１人がＡ種目の１人と同じ部屋になる場合

Ｂ種目の最初の人か２番目の人かどのＡ種目の人と組むかの入り方で 2 * 2 通り，

残りのＢ種目の人の入り方は 4 通り，後は自由に入れるので 4! 通り，

そこで，2 * 2 * 4 * 4! 通り。

Ｂ種目の人がＡ種目の人と同じ部屋にならない場合

Ｂ種目の人の入り方は 4 * 2 通り，後は自由に入れるので 4! 通り，で，4 * 2 * 4! 通り。

以上ですべてなので，確率は，

(8 * 6 * (2 * 4! + 2 * 2 * 4 * 4! + 4 * 2 * 4!))/8!

= (2 + 2 * 2 * 4 + 4 * 2)/(7 * 5) = 26/35，

になります。

問４：

Ａ種目の人の入り方は 8 * 6 通り。

次のＢ種目以降の人の入り方で場合分けが必要です。

Ｂ種目の２人ともがＡ種目の２人と同じ部屋になる場合

Ｂ種目の人の入り方は 2 通り，Ｃ種目の人の入り方は 4 * 2 通り，Ｄ種目の人の入り方は 2 通り，

そこで，2 * 4 * 2 * 2 通り。

Ｂ種目の１人がＡ種目の１人と同じ部屋になる場合

Ｂ種目の最初の人か２番目の人かどのＡ種目の人と組むかの入り方で 2 * 2 通り，

残りのＢ種目の人の入り方は 4 通り，Ｃ種目の人が２人とも他の種目の人と組むのは不可なので，

Ｃ種目の最初の人か２番目の人かどの種目の人と組むかの入り方を考慮して 2 * 2 * 2 通り，

Ｄ種目の人の入り方は 2 通り，

そこで，2 * 2 * 4 * 2 * 2 * 2 * 2 通り。

Ｂ種目の人がＡ種目の人と同じ部屋にならない場合

Ｂ種目の人の入り方は 4 * 2 通り，後は自由に入れるので 4! 通り，で，4 * 2 * 4! 通り。

以上ですべてなので，確率は，

(8 * 6 * (2 * 4 * 2 * 2 + 2 * 2 * 4 * 2 * 2 * 2 * 2 + 4 * 2 * 4!))/8!

= (2 * 2 + 2 * 2 * 2 * 2 * 2 + 4!)/(7 * 5 * 3) = 60/(7 * 5 * 3) = 4/7，

になります。

(感想)

うーむ，一見簡単そうに見えてなかなか面倒ですね。

しかも，どうやら最初は問３：の意味を取り違えいたようで申し訳ないです。

答えに自信がなかったので２通りの方法で考えてみました。

うまく答えが一致したので大丈夫かな。

最初の解法はもう少し一般化もできると思いますが，

NO2「浜田明巳」 　　08/09 13時20分　受信 更新 9/04

ＶＢＳＣＲＩＰＴで求めた．答は，
である．
（スクリプト）
dim a(8),b(4)'a(1);A1,a(2);A2,a(3);B1,a(4);B2,a(5);C1,a(6);C2,a(7);D1,a(8);D2
for j=1 to 4:b(j)=0:next'答
call saiki(1,a,b)'再帰
kotae="(1)"&b(1)&"通り"
for j=2 to 4
  g=gcm(b(1),b(j))'約分
  kotae=kotae&chr(13)&"("&j&")"&(b(j)/g)&"/"&(b(1)/g)
next
msgbox kotae
'
sub saiki(n,a,b)
  a(n)=1
  while a(n)<=4
    if onaji(n,a)=0 then
     if n<8-1 then
      call saiki(n+1,a,b)
     else
      a(8)=2*(1+2+3+4)'最後のa(8)は一意的に決まる
      for j=1 to 8-1:a(8)=a(8)-a(j):next
      b(1)=b(1)+1
      b(2)=b(2)-(a(1)=a(2) and a(3)=a(4) and a(5)=a(6) and a(7)=a(8))
      b(3)=b(3)-(a(1)<>a(3) and a(1)<>a(4) and a(2)<>a(3) and a(2)<>a(4))
      b(4)=b(4)-(a(1)<>a(2) and a(3)<>a(4) and a(5)<>a(6) and a(7)<>a(8))
     end if
    end if
   a(n)=a(n)+1
  wend
end sub
'
function onaji(n,a)
  dim c(4)
  for j=1 to 4:c(j)=0:next
  for j=1 to n:c(a(j))=c(a(j))+1:next
  onaji=-(c(a(n))>2)'1部屋に2人まで
end function
'
function gcm(x,y)
  if y>0 then gcm=gcm(y,x mod y) else gcm=x
end function

「浜田明巳」 　　08/15 13時25分　受信 更新 9/04

（別解）
（１）各部屋に２席ずつ，合計８席があるとする．
　各席に１人ずつ，合計８人が入る組合せは，８！通り．
　各部屋の２席は順番を考えないとすると，求める組合せは，
　　８！／(２！)^４＝２５２０（通り）

（２）部屋１〜４に，Ａ〜Ｄ種目の選手２人ずつを入れるので，組合わせは，４！通り．
　求める確率は，
　　４！／２５２０＝１／１０５

（３）部屋に入る方法は，
i). {(ＡＡ)，(ＢＢ)，(○○)，(○○)}
ii). {(ＡＡ)，(Ｂ○)，(Ｂ○)，(○○)}
iii). {(Ａ○)，(Ａ○)，(ＢＢ)，(○○)}
iv). {(Ａ○)，(Ａ○)，(Ｂ○)，(Ｂ○)}
の４種類ある．
　i).のとき，ＡＡ，ＢＢの選手２人ずつの部屋の入り方は，_４Ｐ_２通り．
　そのおのおのに対して，残りの選手４人の入り方は，（１）と同様に，４！／(２！)^２通り．
　組合せは，
　　_４Ｐ_２・４！／(２！)^２＝７２（通り）
　ii).のとき，ＡＡの部屋は，４通り．
　そのおのおのに対して，Ｂの選手２人の部屋の入り方は，_３Ｐ_２通り．
　そのおのおのに対して，残りの選手４人の入り方は，（１）と同様に，４！／２！通り．
　組合わせは，
　　４・_３Ｐ_２・４！／２！＝２８８（通り）
　iii).のとき，ii).と同様に，２８８通り．
　iv).のとき，Ａの選手２人の部屋の入り方は，_４Ｐ_２通り．
　そのおのおのに対して，Ｂの選手２人の部屋の入り方は，２！通り．
　そのおのおのに対して，残りの選手４人の入り方は，４！通り．
　組合わせは，
　　_４Ｐ_２・２！・４！＝５７６（通り）
　求める確率は，
　　(７２＋２８８・２＋５７６)／２５２０＝１２２４／２５２０＝１７／３５
（（２）の別解）余事象を考える．それは，
i). {(ＡＢ)，(ＡＢ)，(○○)，(○○)}
ii). {(ＡＢ)，(Ａ○)，(Ｂ○)，(○○)}
の２種類ある．
　i).のとき，ＡＢの選手の２部屋の入り方は，_４Ｃ_２・(２！)^２通り．
　そのおのおのに対して，残りの選手４人の入り方は，４！／(２！)^２通り．
　組合わせは，
　　_４Ｃ_２・(２！)^２・４！／(２！)^２＝１４４（通り）
　ii).のとき，ＡＢの選手の部屋の入り方は，４・２^２（通り）
　そのおのおのに対して，残りのＡの選手１人の入り方は，３通り．
　そのおのおのに対して，残りのＢの選手１人の入り方は，２通り．
　そのおのおのに対して，残りの選手４人の入り方は，４！／２！通り．
　組合わせは，
　　４・２^２・３・２・４！／２！＝１１５２（通り）
　求める確率は，
　　１−(１４４＋１１５２)／２５２０＝１７／３５

（４）部屋に入る方法は，
i). {(ＡＢ)，(ＡＢ)，(ＣＤ)，(ＣＤ)}
ii). {(ＡＣ)，(ＡＣ)，(ＢＤ)，(ＢＤ)}
iii). }(ＡＤ)，(ＡＤ)，(ＢＣ)，(ＢＣ)}
iv). {(ＡＢ)，(ＡＣ)，(ＢＤ)，(ＣＤ)}
v). {(ＡＢ)，(ＡＤ)，(ＢＣ)，(ＣＤ)}
vi). {(ＡＣ)，(ＡＤ)，(ＢＣ)，(ＢＤ)}
の６種類ある．
　i).のとき，ＡＢ，ＣＤの部屋の選び方は，_４Ｃ_２通り．
　そのおのおのに対して，ＡＢ，ＣＤの選手の入り方は，２^２・２^２通り．
　組合わせは，
　　_４Ｃ_２・２^２・２^２＝９６（通り）
　ii).，iii).のとき，i).と同様に，９６通りずつ．
　iv).のとき，Ａの選手２人の部屋の入り方は，_４Ｐ_２通り．
　そのおのおのに対して，Ａ○の部屋のＢの選手１人の入り方は，２・２通り．
　そのおのおのに対して，残りのＢの選手の部屋は，２通り．
　そのおのおのに対して，ＡＣの部屋のＣの選手の入り方は，２通り．
　そのおのおのに対して，残りのＣの選手の部屋は，１通り．
　そのおのおのに対して，Ｄの選手２人の入り方は，２通り．
　組合わせは，
　　_４Ｐ_２・２・２・２・２・２＝３８４（通り）
　v).，vi).のとき，iv).と同様に，３８４通りずつ．
　求める確率は，
　　(３・９６＋３・３８４)／２５２０＝４／７

　この解き方が悪かったせいかも知れないが，プログラムの方が，よほど素直な考え方で解くことができる

NO3「早起きのおじさん」 08/22 14時33分　受信 更新 9/04

337解答　早起きのおじさん

種目Aの2人をA1、A2、種目Bの2人をB1、B2、種目Cの2人をC1、C2、種目Dの2人をD1、D2とします。

部屋を｛　｝で表します。

グループを（　）で表します。

Ａ）8人の1〜4号室の4部屋への入り方を数えます。

8人のうち2人が、1号室に入る場合の数は、 通り。

残り6人のうち2人が、2号室に入る場合の数は、 通り。

残り4人のうち2人が、3号室に入る場合の数は、 通り。

残り2人のうち2人が、4号室に入る場合の数は、 通り。

よって、 通り。

この数がすべての場合の数です。

Ｂ）上の総数を場合分けしてみます。

同じ種目の選手の部屋数で分けてみます。

あ）4部屋

　（A1，A2）、（B1，B2）、（C1，C2）、（D1，D2）の4グループの1〜4号室の4部屋への入り方なので、

　 通り。

い）3部屋だけ同じ場合はないので、0通り。

う）2部屋

　まず、どの2種目か 、どの2部屋 を考えます。

　｛A1，A2｝、｛B1，B2｝、｛　　，　｝、｛　　，　｝

　次に残り2部屋の入り方を考えます。

　同じ種目の人は別々の部屋に入ります。

　以上から、 通り。

え）1部屋

　まず、どの1種目か 、どの1部屋 を考えます。

　｛A1，A2｝、｛　 ，　｝、｛　　，　｝、｛　　，　｝

　次に残り3部屋の入り方を考えます。

　残りのある同じ種目の人は別々の部屋に入ります。

残った空き部屋は残りの2種目のうち1人ずつが入らないとうまくいきません。

最後の2人は入れ替えが可能です。

　以上から、 通り。

お）0部屋

考えにくいので、AとBの2種目で使う部屋の数で場合分けしてみます。

同じ種目の人は、別の部屋なので、

　ｱ）4部屋

　　4人は別の部屋に入ります。

｛A1，　｝、｛A2，　｝、｛B1，　｝、｛B2，　｝

　　A・Bの4人の入り方、C・Dの4人の入り方を考えて、 通り。

ｲ）3部屋

1部屋は、A・Bで入ります。

残りのA・Bは別の部屋に入ります。

残った空き部屋は残りの2種目のうち1人ずつが入らないとうまくいきません。

最後の2人は入れ替えが可能です。

　以上から、 通り。

ｳ）2部屋

2部屋は、A・Bで入ります。

残りのC・Dは別の部屋に入ります。

　以上から、 通り。

これらを合計すると、24＋0＋288＋768＋576＋768＋96＝2520

Ｃ）上の総数を別の観点で場合分けします。

A、Bに注目して分けてみます。

あ）A、Bが同じ部屋にならずに

　ｱ）2部屋

　　｛A1，A2｝、｛B1，B2｝、｛　　，　｝、｛　　，　｝

　　グループ（A1，A2）と（B1，B2）の入り方、残りの2部屋の入り方を考えればよいので、

　　 通り。

ｲ）3部屋

　　｛A1，A2｝、｛B1，　｝、｛B2，　｝、｛　　，　｝

　　グループ（A1，A2）と（B1，B2）のどちらかが1部屋で、他は分かれて入ります。

残り4人で1人ずつ入った部屋の相方を考えればよいので、

　　 通り。

ｳ）4部屋

｛A1，　｝、｛A2，　｝、｛B1，　｝、｛B2，　｝

　　A・Bの4人の入り方、C・Dの4人の入り方を考えて、 通り。

い）A、Bが同じ部屋で

　ｱ）2部屋

　　｛A1，B1｝、｛A2，B2｝、｛　　，　｝、｛　　，　｝

　　AとBの組み方を考え、2部屋の入り方、残りの2部屋の入り方を考えればよいので、

　　 通り。

ｲ）3部屋

　　｛A1，B1｝、｛A2，　｝、｛B2，　｝、｛　　，　｝

　　AとBの組み方を考え、残りが2部屋に分かれて、その相方を考えればよいので、

通り。

これらを合計すると、72+576+576+144+1152＝2520

以上から、

問1　Ａ）より、2520通り

問2　Ｂ）あ）より、

問3　Ｃ）あ）より、

問4　Ｂ）い）より、

NO4「スモークマン」 08/26 14時35分　受信 更新 9/04

問１：　部屋に入る総数を求めよ。

8!/(2!)^4=2520

問２：　どの部屋も同じ種目の選手が入る確率を求めよ。

4!/2520=1/105

問３：　A種目の選手とB種目の選手が同室にならない確率を求めよ。

4C2*2^2*(4!/(2!)^2))/2520=2/35

問４：同じ種目の選手が必ず別の部屋になる確率を求めよ。

1100

2200・・・4*3*2*2*2=96

1100

2020

0303・・・4*3*2*2*2*2=192

1100

0022・・・4*3*2*4*3*2=572

so…

96+196+572=864

864/2520=12/35

あまり自信無し…^^;

＜水の流れ：問３と問４の答えがこちらと合っていません＞

NO5「二度漬け白菜」 08/27 16時53分　受信 更新

「二度漬け白菜」 08/27 17時16分　受信 更新 9/04

以下で使用している comb(a,b)，perm(a,b) は，
comb(a,b)=a!/(b!*(a-b)!)，perm(a,b)=comb(a,b)*b!
という意味です．

問1： 8!/(2!*2!*2!*2!)=2520 通り．(答)

問2： 4!/2520 = 1/105 (答)

問3：
(1/2520)*Σ[k=0,2]*((-1)^k)comb(4,k)*((perm(2,k))^2)*(8-2*k)!/((2!)^(4-k))
=1224/2520
=17/35 (答)

問4:
(1/2520)*Σ[k=0,4]((-1)^k)*comb(4,k)*perm(4,k)*(8-2*k)!/((2!)^(4-k))
=1440/2520
=4/7 (答)

A種目の二人の選手を A，a，
B種目の二人の選手を B，b，
C種目の二人の選手を C，c，
D種目の二人の選手を D，d
とし，この8人を横一列に， A  a  B  b  C  c  D  d  と並べる．
個々の選手の真下に，その選手に割り当てられる部屋の号数を書く．
例えば，

A  a  B  b  C  c  D  d
4  1  3  3  2  1  4  2

というような状況になる．

問1：部屋に入る総数を求めよ．

8個の数 1，1，2，2，3，3，4，4 を横一列に並べる方法の総数を
求めればよいので， 8!/(2!*2!*2!*2!)=2520 通り．
これら2520通りは，どれも同じ確率で起こる．

問2：どの部屋も同じ種目の選手が入る確率を求めよ．
　
同一種目の二人の選手を一人の選手とみなし，
その4人の選手の真下に部屋の号数である1，2，3，4
のいずれか1つを書く状況を考えれば良い．
そのような部屋割りは 4!通りある．
求める確率は，4!/2520=1/105．

問3：A種目の選手とB種目の選手が同室にならない確率を求めよ．

A種目の選手とB種目の選手が同室にならないような場合の数を
包除原理を使って計算する．
8個の数 1，1，2，2，3，3，4，4 を横一列に並べたとき，
左から1番目と2番目に配置される数の集合をS，
左から3番目と4番目に配置される数の集合をT
とする．(例えば冒頭に挙げた例では，S={1,4}，T={3}となっている．)

{1}⊂(S∩T) となるような並べ方は，4*(6!/(2!*2!*2!))=360 通り．
また，{2}⊂(S∩T)，{3}⊂(S∩T)，{4}⊂(S∩T)となるような並べ方も
それぞれ 360通りずつある．
{1，2}⊂(S∩T) となるような並べ方は，4*(4!/(2!*2!))=24通り．
{1，3}⊂(S∩T)，{1，4}⊂(S∩T)，{2，3}⊂(S∩T)，{2，4}⊂(S∩T)，
{3，4}⊂(S∩T) となるような並べ方も24通りずつある．
よって，A種目の選手とB種目の選手が同室にならないような場合の数は
包除原理より，
2520-4*360+6*24=1224 通り．
求める確率は，1224/2520=17/35．

問4：同じ種目の選手が必ず別の部屋になる確率を求めよ．

包除原理を使って計算する．
4種目のうちの，k 種目(0≦k≦4) を固定する．
(k種目の選び方は comb(4,k)通りある．)
8個の数 1，1，2，2，3，3，4，4 を横一列に並べたとき，
このk種目について，どの種目の2選手も同室になるような並べ方は，
perm(4,k)*(8-2*k)!/((2!)^(4-k)) 通り．
同じ種目の選手が必ず別の部屋になるような場合の数は，包除原理より，
Σ[k=0,4]((-1)^k)*comb(4,k)*perm(4,k)*(8-2*k)!/((2!)^(4-k))
=1440 通り．
求める確率は，1440/2520=4/7．

問4の別解：
同じ種目の選手が必ず別の部屋になるような場合の数は，
xの多項式
((x+x^5+x^25+x^125)^2-(x^2+x^10+x^50+x^250))^4
=(2^4)*(x^6+x^26+x^30+x^126+x^130+x^150)^4
における，x^(2*(1+5+25+125)) = x^312 の係数に等しい．
この係数を C とする．
f(x)
=(2^4)*(1/x^312)*(x^6+x^26+x^30+x^126+x^130+x^150)^4
=16*((x^6+x^26+x^30+x^126+x^130+x^150)/x^78)^4
=16*(x^48*(1+x^4+x^24)+(1/x)^48*(1+(1/x)^4+(1/x)^24))^4
とおく．
C は f(x)の定数項に等しいので，
C=16*(comb(4,2)*perm(3,2)*2+comb(4,2)*3)=16*90=1440．
求める確率は，C/2520=4/7．

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問4を一般化して，次のような問題を考えてみました．

(問題)
オリンピック競技の中で， n 種類の種目があり，その各々の種目について
選手が m 人ずつ，合計 n*m 人の選手がいる．
これら n*m 人の選手を1号室からn号室までのn部屋に，それぞれ m 人ずつ
部屋割りをする．
同じ種目の選手が必ず別の部屋になる確率を P(n,m) とする．
P(n,m)はどのように書き表せるか？

包除原理を使って，m=2，3のときを求めてみました．

P(n,2)=(1/(2*n)!)*Σ[k=0,n]comb(n,k)*perm(n,k)*(2*n-2*k)!*(-2)^k．

P(n,3)=(1/(3*n)!)*Σ[k=0,n]Σ[j=0,k](3*n-3*k+j)!*(12^k)*(perm(n,k))^2*(-3/2)^j/(j!*(k-j)!)．

一般のmに対しては次のようになると思います．
P(n,m)=(((m!)^(2*n))/(n*m)!)*[x^(m*(((n+1)^n-1)/n))]([a^m](Π[k=0,n-1](1+a*x^((n+1)^k))))^n．

(この式の右辺の意味するところは，aとxの2変数多項式 Π[k=0,n-1](1+a*x^((n+1)^k))
の a^m の係数(この係数はxの多項式になります) を n 乗した多項式の x^(m*(((n+1)^n-1)/n)) の係数
に (((m!)^(2*n))/(n*m)!) を掛ける ということです．)

いくつか計算してみると，
P(10,2)=43011104/72747675,
P(10,3)=540424395365544/4722202131521875，
P(8,4)=4505342312448/836504377583875．

＜水の流れ：解法には素晴らしいものがあり、嬉しく思います。感動をありがとうっていう感じです。

問4の別解の発想には驚いています。また、一般の場合についての考察も頂き、尊敬に値します。＞

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。