平成２８年１２月２５日

[流れ星]

　　　　　第341回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：11月27日〜12月25日＞

［歴史的な問題（１）］

　ローマ帝国時代エジプトのアレクサンドリアに住んでいたというディオパントスは3世紀中期の人で「代数学の父」と言われています。その中でも有名なのはラテン語版に書くこんだフェルマーの最終定理です。で、「数論」に関して多くも問題があります。この中にある問題です。皆さんはどこかで見られたかもしれませんが、ご容赦ください。

これからの問題では解は無数にありますが、そのうちの1つを見つけてください。また、ここでの「平方数」とは、ある有理数の2乗の値となっている有理数のことです。

問題１：　１６を２つの平方数に分けよ。

問題２：　ｘ＋２とｘ＋３のどちらも平方数となる有理数を求めよ。

問題３：　ｘ−６とｘ−７のどちらも平方数となる有理数を求めよ。

＜参考文献：超絶難問：小野田博一著（日本実業出版）＞　

NO1「uchinyan」 11/27 13時59分　受信

「uchinyan」 11/29 17時01分　受信 更新 12/25

問題１：

a，b，c をピタゴラス数とします。

すると，a^2 + b^2 = c^2，(a/c)^2 + (b/c)^2 = 1，で，

16 = 16 * 1 = 16(a/c)^2 + 16(b/c)^2 = (4a/c)^2 + (4b/c)^2，

となって，題意を満たします。

具体的には，例えば，

(a,b,c) = (3,4,5)，16 = (12/5)^2 + (16/5)^2，

などですね。

問題２：

a，b，c をピタゴラス数とします。

すると，a^2 + b^2 = c^2，1 + (b/a)^2 = (c/a)^2，で，

x + 2 = (b/a)^2 とすれば x + 3 = (b/a)^2 + 1 = (c/a)^2，

となって，題意を満たします。

このとき，x = (b/a)^2 - 2，です。

問題では x は正の数とは書かれていませんが，正の数とすると，具体的には，例えば，

(a,b,c) = (5,12,13)，

x = (12/5)^2 - 2 = 94/25，x + 2 = 144/25 = (12/5)^2，x + 3 = 169/25 = (13/5)^2，

などですね。

問題３：

a，b，c をピタゴラス数とします。

すると，a^2 + b^2 = c^2，(b/a)^2 = (c/a)^2 - 1，で，

x - 6 = (c/a)^2 とすれば x - 7 = (c/a)^2 - 1 = (b/a)^2，

となって，題意を満たします。

このとき，x = (c/a)^2 + 6，です。

具体的には，例えば，

(a,b,c) = (3,4,5)，

x = (5/3)^2 + 6 = 79/9，x - 6 = 25/9 = (5/3)^2，x - 7 = 16/9 = (4/3)^2，

などですね。

(ちょっとだけ考察)

この問題では１つ解を見つければいいので，上記ではピタゴラス数を使った発見的な記述にしました。

しかし，論理的に詰めていっても解はこれしかないようです。

なお，以下では，m が n を割り切る，ことを，m | n，と書くことにします。

問題１：

一般に，a，b，c，d を正の整数，a と c は互いに素，b と d は互いに素，として，

16 = (a/c)^2 + (b/d)^2，

となる正の整数，a，b，c，d，を見つけることになります。

もっとも，細かいことを言うと負の数や 0 もあり得ますが，

平方数なので負の数は考える必要はなく，0 を含めると，16 = 4^2 + 0^2，と問題にならないので除外します。

さて，分母を払うと，

16(cd)^2 = (ad)^2 + (bc)^2，

この式より，

c^2 | (ad)^2，したがって，c | ad，ですが，a と c は互いに素なので，c = 1 又は c | d，

d^2 | (bc)^2，したがって，d | bc，ですが，b と d は互いに素なので，d = 1 又は d | c，

がいえます。

c = 1 かつ d = 1 の場合

16 = a^2 + b^2，ですが，明らかに解はありません。

c = 1 かつ d | c の場合

d = 1 なので，c = 1 かつ d = 1 の場合に帰着し，解はありません。

c | d かつ d = 1 の場合

c = 1 なので，c = 1 かつ d = 1 の場合に帰着し，解はありません。

c | d かつ d | c の場合

c = d なので，

16c^2 = a^2 + b^2，

となります。

この式の左辺は 4 の倍数ですが，右辺が 4 の倍数となるのは，a，b ともに偶数の場合だけです。

そこで，a -> 2a，b -> 2b，と置き換えると，

4c^2 = a^2 + b^2，

ですが，同様のことがいえるのでさらにもう一度置き換えて，

c^2 = a^2 + b^2，

これは，a，b，c がピタゴラス数であることを示しています。

これで，上記の最初の解ですべて尽くされている，と分かりました。

問題２：＆問題３：

一般に，a，b，c，d を正の整数，a と b は互いに素，c と d は互いに素，として，

問題２：では，x + 2 = (b/a)^2，x + 3 = (c/d)^2，(b/a)^2 + 1 = (c/d)^2，

問題３：では，x - 7 = (b/a)^2，x - 6 = (c/d)^2，(b/a)^2 + 1 = (c/d)^2，

となって，どちらも，

(b/a)^2 + 1 = (c/d)^2，(bd)^2 + (ad)^2 = (ac)^2，

となる正の整数，a，b，c，d，を見つけることになります。

この式より，

a^2 | (bd)^2，したがって，a | bd，ですが，a と b は互いに素なので，a = 1 又は a | d，

d^2 | (ac)^2，したがって，d | ac，ですが，c と d は互いに素なので，d = 1 又は d | a，

がいえます。

a = 1 かつ d = 1 の場合

b^2 + 1 = c^2，ですが，明らかに解はありません。

a = 1 かつ d | a の場合

d = 1 なので，a = 1 かつ d = 1 の場合に帰着し，解はありません。

a | d かつ d = 1 の場合

a = 1 なので，a = 1 かつ d = 1 の場合に帰着し，解はありません。

a | d かつ d | a の場合

a = d なので，

b^2 + a^2 = c^2，

これは，a，b，c がピタゴラス数であることを示しています。

これで，上記の最初の解ですべて尽くされている，と分かりました。

(感想)

有理数の平方数というのはあまり馴染みがありませんでしたが，

有理数は既約分数で書けるので整数の平方数に帰着します。

整数の平方数の和ならピタゴラス数が狙い目かなと思って調べたら，あっさりとできました。

多分，いろいろ考察もしてね，という意図だろうな，とも思うのですが，

NO2「浜田明巳」 　　11/29 13時18分　受信 更新 12/25

それぞれ１０個ずつ求めてみる．

問題１
　(ａ／ｂ)^２＋(ｃ／ｄ)^２＝１６（ａ，ｂ，ｃ，ｄは整数，ａ／ｂ，ｃ／ｄは既約分数）とすると，
　　(ａｄ)^２＋(ｂｃ)^２＝(４ｂｄ)^２
　故にａｄ，ｂｃ，４ｂｄはピタゴラス数となる．
　(ｍ^２−ｎ^２)^２＋(２ｍｎ)^２＝(ｍ^２＋ｎ^２)^２であるから，
i). (ｍ，ｎ)＝(１，１)のとき，０^２＋２^２＝２^２
　　∴０^２＋４^２＝４^２
ii). (ｍ，ｎ)＝(２，１)のとき，３^２＋４^２＝５^２
　　∴(１２／５)^２＋(１６／５)^２＝４^２
iii). (ｍ，ｎ)＝(３，２)のとき，５^２＋１２^２＝１３^２
　　∴(２０／１３)^２＋(４８／１３)^２＝４^２
iv). (ｍ，ｎ)＝(４，１)のとき，８^２＋１５^２＝１７^２
　　∴(３２／１７)^２＋(６０／１７)^２＝４^２
v). (ｍ，ｎ)＝(４，３)のとき，７^２＋２４^２＝２５^２
　　∴(２８／２５)^２＋(９６／２５)^２＝４^２
vi). (ｍ，ｎ)＝(５，２)のとき，２０^２＋２１^２＝２９^２
　　∴(８０／２９)^２＋(８４／２９)^２＝４^２
vii). (ｍ，ｎ)＝(５，４)のとき，９^２＋４０^２＝４１^２
　　∴(３６／４１)^２＋(１６０／４１)^２＝４^２
viii). (ｍ，ｎ)＝(６，１)のとき，１２^２＋３５^２＝３７^２
　　∴(４８／３７)^２＋(１４０／３７)^２＝４^２
ix). (ｍ，ｎ)＝(６，５)のとき，１１^２＋６０^２＝６１^２
　　∴(４４／６１)^２＋(２４０／６１)^２＝４^２
x). (ｍ，ｎ)＝(７，２)のとき，２８^２＋４５^２＝５３^２
　　∴(１１２／５３)^２＋(１８０／５３)^２＝４^２

問題２
　ｘ＋２＝(ａ／ｂ)^２，ｘ＋３＝(ｃ／ｄ)^２（ａ，ｂ，ｃ，ｄは整数，ａ／ｂ，ｃ／ｄは既約分数）とすると，
　　(ａ／ｂ)^２＋１＝(ｃ／ｄ)^２
　　∴(ａｄ)^２＋(ｂｄ)^２＝(ｂｃ)^２
　故にａｄ，ｂｄ，ｂｃはピタゴラス数である．
　(ｍ^２−ｎ^２)^２＋(２ｍｎ)^２＝(ｍ^２＋ｎ^２)^２であるから，
i). (ｍ，ｎ)＝(１，１)のとき，０^２＋２^２＝２^２
　　∴０^２＋１＝１^２
　　∴ｘ＝０^２−２＝−２
ii). (ｍ，ｎ)＝(２，１)のとき，３^２＋４^２＝５^２
　　∴(３／４)^２＋１＝(５／４)^２，(４／３)^２＋１＝(５／３)^２
　　∴ｘ＝(３／４)^２−２，(４／３)^２−２
　　∴ｘ＝−２３／１６，−２／９
iii). (ｍ，ｎ)＝(３，２)のとき，５^２＋１２^２＝１３^２
　　∴(５／１２)^２＋１＝(１３／１２)^２，(１２／５)^２＋１＝(１３／５)^２
　　∴ｘ＝(５／１２)^２−２，(１２／５)^２−２
　　∴ｘ＝−２６３／１４４，９４／２５
iv). (ｍ，ｎ)＝(４，１)のとき，８^２＋１５^２＝１７^２
　　∴(８／１５)^２＋１＝(１７／１５)^２，(１５／８)^２＋１＝(１７／８)^２
　　∴ｘ＝(８／１５)^２−２，(１５／８)^２−２
　　∴ｘ＝−３８６／２２５，９７／６４
v). (ｍ，ｎ)＝(４，３)のとき，７^２＋２４^２＝２５^２
　　∴(７／２４)^２＋１＝(２５／２４)^２，(２４／７)^２＋１＝(２５／７)^２
　　∴ｘ＝(７／２４)^２−２，(２４／７)^２−２
　　∴ｘ＝−１１０３／５７６，４７８／４９

問題３
　ｘ−６＝(ａ／ｂ)^２，ｘ−７＝(ｃ／ｄ)^２（ａ，ｂ，ｃ，ｄは整数，ａ／ｂ，ｃ／ｄは既約分数）とすると，
　　(ｃ／ｄ)^２＋１＝(ａ／ｂ)^２
　　∴(ｂｃ)^２＋(ｂｄ)^２＝(ａｄ)^２
　問題２と同様に，
i). (ｍ，ｎ)＝(１，１)のとき，０^２＋１＝１^２
　　∴ｘ＝０^２＋７＝７
ii). (ｍ，ｎ)＝(２，１)のとき，(３／４)^２＋１＝(５／４)^２，(４／３)^２＋１＝(５／３)^２
　　∴ｘ＝(３／４)^２＋７，(４／３)^２＋７
　　∴ｘ＝１２１／１６，７９／９
iii). (ｍ，ｎ)＝(３，２)のとき，(５／１２)^２＋１＝(１３／１２)^２，(１２／５)^２＋１＝(１３／５)^２
　　∴ｘ＝(５／１２)^２＋７，(１２／５)^２＋７
　　∴ｘ＝１０３３／１４４，３１９／２５
iv). (ｍ，ｎ)＝(４，１)のとき，(８／１５)^２＋１＝(１７／１５)^２，(１５／８)^２＋１＝(１７／８)^２
　　∴ｘ＝(８／１５)^２＋７，(１５／８)^２＋７
　　∴ｘ＝１６３９／２２５，６７３／６４
v). (ｍ，ｎ)＝(４，３)のとき，(７／２４)^２＋１＝(２５／２４)^２，(２４／７)^２＋１＝(２５／７)^２
　　∴ｘ＝(７／２４)^２＋７，(２４／７)^２＋７
　　∴ｘ＝４０８１／５７６，９１９／４９

「浜田明巳」 　　11/29 14時42分　受信 更新 12/25

VBSCRIPTで計算してみた．
問題１
　　ａ^２／ｂ^２＋ｃ^２／ｄ^２＝１６，ａ／ｂ，ｃ／ｄは既約分数，
　　ａ，ｂ，ｄは１００以下の正整数，ｃは非負整数
とする，
　ａ，ｂ，ｄが定まれば，ｃは
　　ｃ＝ｄ×(１６ｂ^２−ａ^２)^１／２／ｂ
と，一意的に求められるので，for next文は３個で済む．

　問題２，

問題３

以下のプログラムで求められる．
max=100
kotae=""
kosuu=0
for a=1 to max
  for b=1 to max
   if gcm(a,b)=1 and a*a<=16*b*b then
    for d=1 to max
     c=int(d*sqr(16*b*b-a*a)/b)
     if gcm(d,c)=1 and (a*a)/(b*b)+(c*c)/(d*d)=16 then
      kosuu=kosuu+1
      if kosuu>1 then
       kotae=kotae&chr(13)
      end if
      kotae=kotae&a&"^2/"&b&"^2+"&c&"^2/"&d&"^2=16"
     end if
    next
   end if
  next
next
msgbox kotae
'
function gcm(x,y)
  if y=0 then
   gcm=x
  else
   gcm=gcm(y,x mod y)
  end if
end function
NO3「スモークマン」 12/01 01時40分　受信 更新 12/25

問題１：　１６を２つの平方数に分けよ。(4m)^2=x^2+y^2

5^2=3^2+4^2

4^2*5^2=3^2*4^2+4^4

4^2=(12/5)^2+(16/5)^2

問題２：　ｘ＋２とｘ＋３のどちらも平方数となる有理数を求めよ。

これは…見つけたって感じ…^^;v

(x+3)-(x+2)=1

13^2-12^2=169-144=5^2

169-3*25=94

144-2*25=94・・・ビンゴ ^^

so…

x=94/25

問題３：　ｘ−６とｘ−７のどちらも平方数となる有理数を求めよ。

x=m+9 と置けば…問題2に帰着できる…

so…

m=94/25

x=94/25+9=319/25

問題2は...一般的な解法があるような気もしますが気づけず...

NO4「早起きのおじさん」 12/02 17時42分　受信 更新 12/25

問題1

まず、ピタゴラス数を確認します。

ｍ,ｎ（ｍ＞ｎ）を整数とすると、次の数は、ピタゴラス数です。

確かめると、

右図の直角三角形の斜辺の長さが4となるように、各辺を 倍します。

次の2数の2乗和は16です。

(*)に例えば、ｍ＝2、ｎ＝1を代入すると、

問題2

a、b、cを整数として次のようにおきます。

下の式から上の式を引くと、

よって、

●そこで、

とします。

ゆえに、

(**)に例えば、ｍ＝9、ｎ＝1を代入すると、

●aとbを入れかえてえて、

とします。

ゆえに、

(**)’に例えば、ｍ＝5、ｎ=4を代入すると、

問題3

a、b、cを整数として次のようにおきます。

上の式から下の式を引くと、

よって、

●そこで、

とします。

ゆえに、

(***)に例えば、ｍ＝9、ｎ＝1を代入すると、

●aとbを入れかえてえて、

とします。

ゆえに、

(***)’に例えば、ｍ＝5、ｎ＝4を代入すると、

●●問題3を見直します。

となるので、 は、問題2の解です。

そこで、

とすると、

となります。

NO5「二度漬け白菜」 12/12 21時50分　受信 更新 12/25

(問題1)
16=(20/13)^2 + (48/13)^2　(答)
(問題2)
x=-2/9 (答)
(x=-2/9のとき， x+2=(4/3)^2， x+3=(5/3)^2 となる．)
(問題3)
x=79/9 (答)
(x=79/9のとき， x-6=(5/3)^2， x-7=(4/3)^2 となる．)

(問題1 に対しての考察)
x^2+y^2=16を満たすような,(x,y)=(-4,0)以外の任意の実数(x,y)は，
円：x^2+y^2=16 と 直線：y=m*(x+4) (ここでmは任意の実数)との
点(-4,0)以外の交点Kのx座標，y座標として与えられる．
Kの座標は，K(4*(1-m^2)/(1+m^2),8*m/(1+m^2)) である．
このとき，
(Kのx座標，y座標がとw)�｢發僕�l・u梵・ ⇔ (mが有理数)
であるので，
x^2+y^2=16を満たすような，(-4,0)以外の任意の有理数(x,y)は
(x,y)=(4*(1-m^2)/(1+m^2),8*m/(1+m^2)) (mは任意の有理数)
と書くことができる．

(問題2， 問題3 に対しての考察)
xは有理数であって， x および x+1 がともに平方数であるとする．
x=a^2,x+1=b^2 (a，bは有理数)　
とおくことができる．
この2式より，
b^2-a^2=1.
つまり，
(b+a)*(b-a)=1
となる． このとき，
b+a=m (mは0でないような有理数) とおくことができて，
b-a=m^(-1)．
この2式より，
a=(m-m^(-1))/2，
b=(m+m^(-1))/2
と表すことができる．

逆に， mを0でないような任意の有理数とするとき，
a=(m-m^(-1))/2， b=(m+m^(-1))/2
とおくと， a,bはいずれも有理数である．
さらに， b^2-a^2=1 であるので，
x=a^2 とおくw)�｢函ｙ・w)���P盾涓�凾ﾀとなる．

以上より， x および x+1 がともに平方数であるような有理数xは，
x=((m-m^(-1))/2)^2 (mは0でないような有理数)
という形になる．

従って，x+2，x+3がともに平方数であるような任意の有理数xは,
x=((m-m^(-1))/2)^2 - 2 (mは0でないような有理数)
という形になる．
また， x-6，x-7がともに平方数であるような任意の有理数xは
x=((m-m^(-1))/2)^2 + 7 (mは0でないような有理数)
という形になる．

----------------------------------------------------

<参考：メルカトルの級数について＞
無限級数
Σ[k=1,∞]((-1)^(k-1))/k = 1 -1/2 + 1/3 -1/4 + 1/5 + ・・・
は log(2) に収束することが知られています．
この事実を高校数学だけの知識で証明したものを見つけました．
とても興味深い証明で，参考になりました．

http://mathtrain.jp/alternate

NO6「にいばりZ12」　　　12/17 01時38分　受信 更新 12/25

問題１：　１６を２つの平方数に分けよ。

問題２：　ｘ＋２とｘ＋３のどちらも平方数となる有理数を求めよ。

問題３：　ｘ−６とｘ−７のどちらも平方数となる有理数を求めよ。

準備

�@原始ピタゴラス数は直角三角形のｃを斜辺ａを底辺ｂを高さとして

　(a, b, c) = (m² - n², 2mn, m² + n²)　　　　（m,nは媒介変数）
　ただし，m, n は互いに素であり0 < n < m，m - n は奇数であることは一般に知られています

�A問題２と問題３はxが整数とすると連続数となり連続数がともに平方数ではないとは解かっているのでxは整数ではない。

　(a+1)²- a²=2a+1>1   (a≠0)

問題１

16は4の平方数なので、2つの平方数をx,yとすると

x²+y²=4²

これは、半径4の円の有理点を探す問題になります。

単位円上の有理点を捜し、4倍してやれば求める解になりますのでやってみます。

準備�@で示した原始ピタゴラス数を用います。

m	n	a	b	c
2	1	3	4	5
3	2	5	12	13
4	1	15	8	17
4	3	7	24	25

m,nの組み合わせは無限に存在し、abcの組み合わせも無限に存在しますが、とりあえず上の4つで考えます。

単位円の原点からb/aの傾きの半直線を第一象限に引きます。

この半直線と単位円との交点をP（x,y）とすると

OP=1でOP：x：y＝c：a：b　なので

x＝a/c

y＝b/c

表の4通りで計算すると（x,y）は

（3/5,4/5）

（5/13,12/13）

（15/17,8/17）

（7/25,24/25）

これらを4倍すると

（12/5,16/5）

（20/13,48/13）

（60/17,32/17）

（28/25,96/25）

等が回答となります

ところで、元の数（この場合16）が有理平方数であればこの解法で解けますが、そうでない場合も有理平方数2つに分解できる場合があります。（有理平方数と言う言葉はないのですが有理数の平方数と言う意味で使います）

例えば、32であれば（4,4）

128であれば（8,8）

これらの有理数倍はすべて有理平方数2つに分解できます。

即ち、2つの正の整数の平方数の和の有理数倍であればすべて2つの有理平方数に分解できます。

そこで、すべての自然数は2つの有理平方数に分解できるのかどうか、できない場合はどのような場合かをしばらく考えてみたいと思います。間に合えば投稿させて頂きます

問題２

x+2

x+3

がともに平方数となる為にはa,bを自然数とし

x+2：x+3＝a²：b²

でなければならず

x+2＝a²/( b²- a²)

x+3＝b²/( b²- a²)

結局( b²- a²)が平方数になるようなa,bの組み合わせを見つけるとよいことになります。

いま次のように置きます。

b²- a²＝c²

変形して

c²+ a²＝b²

準備�@を用いると

(c, a, b)は

(3,4,5)

(5,12,13)

(15,8,17)

(7,24,25)

これらをもとに計算するとb²- a²はc²なので

9,25,225,49

x +2は

16/9

144/25

64/225

576/49

x +3は

25/9

169/25

289/225

625/49

xは

-2/9

94/25

-386/225

478/49

等が回答となります

問題3

x-7＝(x-9)+2

x-6＝(x-9)+3

ここでx-9＝Xとおくと

　X +2とX +3のどちらも平方数となる有理数を求めよと言う問題になるので

Xは

-2/9

94/25

-386/225

478/49

よってxはX+9なので

79/9

319/25

1639/225

919/49

等が回答となります