平成２９年６月１１日
[流れ星]
第347回数学的な応募解答
＜解答募集期間：５月１４日〜６月１１日＞
［ガウス記号2017］
追加の遊び問題
１から６までの各数字を1回ずつ用いて、結果が2017となる式を作ってください。
使用できる演算は＋、−。×、÷ と 括弧( )とします。
例 2017＝42×６×（３＋５）＋１
NO1「uchinyan」
05/14 12時56分 受信 更新 6/11
a(n) = [n^2/2017]，1 <= n <= 2017，において，
n^2/2017 の隣同士の差，n^2/2017 - (n-1)^2/2017 = (2n-1)/2017，を考えます。
隣同士の差が 1 未満，(2n-1)/2017 < 1，1 <= n <= 1008 <
1009，の場合
この場合は，a(n) の隣同士が同じ値か差が 1 なので，
a(n) は a(1) = [1/2017] = 0 〜 a(1008) =
[1008^2/2017] = 503 のすべての整数の値を取ります。
つまり，0 〜 503
の 504 種類の値を取ります。
隣同士の差が 1 以上，(2n-1)/2017 >= 1，1009 <= n <= 2017，の場合
この場合は，a(n) の隣同士の差が 1 以上なので，a(n) の値はすべて異なり，
a(n) の項数と同じ 2017 - 1008 = 1009 種類の整数の値を取ります。
以上ですべてなので，取り得る整数の値は，504 + 1009 =
1513 種類，になります。
追加の遊び問題
いろいろとできるのだろうなと思うものの，
あまり興味がそそられないので，ある意味美しいものを１つだけ。
２０１７＝１＋（2＋３４）×５６。
(感想)
この問題は以前に類題を解いたことがあります。
2017 をもっと小さな値にし n = 1, 2, 3, ... として傾向を調べればいいですね。
NO2「早起きのおじさん」 05/18 18時51分 受信 更新 6/11
ここで、 
とおきます。
次の2次関数を考えます。
この2次関数の微分係数が1未満のところを調べます。
(つまり、ｙの増加が1より小さいところ見つけます)
とおくと、
つまり、n＝1008より小さいところは、数列の値の増加が多くても1です。
それ以降は、数列の増加は少なくても1です。
初項から第1008項まで、この数列は、503−0＋1＝504種類の値をとります。
第1009項から第2017項まで、この数列は、2017−1009＋1＝1009種類の値をとります。
よって、504＋1009＝1513種類の整数があります。
追加の問題
2017は、素数です。
例えば、
NO3「スモークマン」 05/18
20時03分 受信 更新 6/11
上手い方法思いつけず…^^;
n<=√(m*2017)<n+1
m=1
44<√2017<45
45<=√(m*2017)<1009
m=1〜504・・・504個
1009*2=2018>2017 ので、
たとえば…
追加遊び問題
65*31+4÷2=2017
NO4「二度漬け白菜」 05/31
21時31分 受信 更新 6/11
この数列の中には 1513 種類の整数が存在する．(答)
(n+1)^2/2017 - n^2/2017 = (2*n+1)/2017 である．
s(n)=(2*n+1)/2017 とおく．
n≧1008を満たすような n に対しては，
s(n)≧1 であるので，a(n+1)＞a(n)．
よって，a(1008)，a(1009)，a(1010)，…，a(2017)
は，全て異なる値をとる．
また，n≦1007を満たすような n に対しては，
s(n)＜1 であるので，a(n+1)≦a(n)+1．
よって，a(1)，a(2)，a(3)，…，a(1008)
は全体として，a(1) 以上 a(1008)以下の全ての
整数値をとる．
よって，数列 a(1)，a(2)，a(3)，…，a(2017)
に現れる数値の種類は，
(a(1008)-a(1)+1) + (2017-1008)
=(503-0+1) + 1009
=1513 種類．
追加の遊び問題：
和が2017となる式には次のような
ものがあります．
2017=1+(2+34)*56.
2017=1+(32+4)*56.
2017=1+(2+54)*36.
2017=1+(4+52)*36.
2017=4+61*(35-2).
2017=31*65+4-2.
2017=31*65+4/2.
和が2018,2019,2020となる式も
考えてみました．
2018=2+6*(341-5).
2019=4+(32-1)*65.
2020=4+3*12*56.
2020=4*(513-2-6).
ガウス記号に関する問題をひとつ紹介しておきます．
[問題]
実数xに対して，xを超えない最大の整数を floor(x)
と表すことにします．
nを正の整数とするとき，和
Σ[k=1〜n^2](floor((k/n)^2) + floor(n*k^(1/2)))
を n の式で表すとどうなるか？
「皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
