平成２９年１０月１日

[流れ星]

　　　　　第352回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：９月３日〜10月1日＞

［２の累乗］

過去の近畿大学入試問題から出題します。

　集合SをS＝｛２^ｋ｜ｋは1から１０までの整数｝とする。

問１　Sの要素すべての積をＭとおくとき、log₂Ｍを求めよ。

問２　Sの要素ａ、ｂに対して実数log_ａｂ^２を考え、これらがとり得る値
全体の集合をＴとく。Ｔの要素のうち、最小値と最大値を求めよ。

問３　問２のＴの要素は全部で何個あるか求めよ。

問４　問２のＴの要素すべての積をＮとおくとき、log₂Ｎを求めよ。

問３のヒント

既約分数の個数を数えてみます．分母と分子を制限しておいてから数えるのです。

分母も分子が(1 から)4 以下の既約な分数は，

1 /1 , 1 /2 , 1/ 3 , 1 /4 , 2/ 1 , 2/ 3 , 3 /1 , 3 /2 , 3 /4, 4/ 1 , 4 /3

の 11 個です．16 個の分数のうち 11 個が既約分数というわけです．

ここで、分母分子が 10 以下の既約分数は何個あるか数えてください。

参考に　分母と分子が自然数のとき、既約分数は無限にありますが、
このとき既約分数となる確率はご存知ですか。

NO1「早起きのおじさん」 09/05 17時21分　受信 更新 10/1

問1

問2

対数関数は、底が1より大きいとき増加関数です。

Ｓの要素は、最低でも2なので増加関数です。

よって、最大値をＭax、最小値をｍinとすると、

問3

の場合もあるとして考えます。

y 　x	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	要素の個数
1	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	10
2	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	5
3			2			4			6		7
4		1		2		3		4		5	5
5					2					4	8
6			1			2			3		3
7							2				9
8				1				2			5
9									2		7
10					1					2	4

、 とします。

このx、yに、1から10の値をいれて、計算し、表にします。

表は、縦にｘ、横にｙの値をとっています。

また、その値が上の欄にすでに出現しているものは、灰色で塗っています。

この表を数えると、Tは63個の要素があります。

問4

問3の表を用いて、縦に分子、分母ごとに素因数がいくつあるか数えます。

素因数は、｛2，3，5，7｝の4種類を数えます。

灰色の部分は数えません。

因数		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	計	差
2	分子	5	10	3	15	4	6	4	20	3	8	78	63
	分母	3	0	3	0	3	0	3	0	3	0	15
3	分子	0	0	7	0	0	3	0	0	14	0	24	0
	分母	4	3	0	3	4	0	4	3	0	3	24
5	分子	0	0	0	0	8	0	0	0	0	4	12	0
	分母	2	1	2	1	0	1	2	1	2	0	12
7	分子	0	0	0	0	0	0	9	0	0	0	9	0
	分母	1	1	1	1	1	1	0	1	1	1	9

Tの要素をすべて掛け合わせると、

となります。

よって、

おまけ

問2の2乗を消して としてみます。

xもyも1から10までの値をとります。

xとしては横棒（−）の下に、yとしては横棒の上に、各数を10個ずつ計100個の数を置くわけです。

掛け合わせてTを考えるのですが、上下で各数は同じ個数あります。

だから、きれいに全部約せて1になります。

問4の問題では、問2の問題で残った63個の数をそれぞれ2倍します。

だから2が63個約されずに残ります。

分母と分子が自然数のとき、既約分数は無限にあります。

自然数を10までに制限すると、既約分数の確率は、0.63です。

制限する数を大きくしていくと、含まれる素数の倍数が増えていくので、この値より小さくなると思われます。

これを出したら調べてみます。

NO2「二度漬け白菜」 09/09 09時31分　受信 更新 10/1

問1：
S={2，2^2，2^3，…，2^10} であるので，
M=(2^1)*(2^2)*(2^3)*…*(2^10)=2^55．
よって，log[2]M = log[2]2^55 = 55．(答)

問2：
Sの元 a，b は a=2^k，b=2^m (k，m は 1≦k，m≦10 なる整数)とおける．
log[a]b^2 = log[2^k](2^m)^2 = log[2^k](2^k)^(2*m/k) = 2*m/k.
よって，集合 T は，2*m/k (k，m は 1≦k，m≦10 なる整数)
という形にかけるような有理数全体の集合である．
Tの元のうち，最小値は 1/5，最大値は 20．(答)

問3：
m/k (k，m は 1≦k，m≦10 なる整数)
という形にかけるような有理数全体の集合を A とする．
|A| = |T| である．(|A|は A の元の個数という意味．|T|も同様．)
(∵ Aの元 m/k に対し，Tの元 2*m/k を対応させる写像は単射である．
また，Tの元 2*m/k に対し，Aの元 m/k を対応させる写像も単射である．)
よって，|A| を求めればよい．
Aの任意の元は既約分数で表すことが可能である．
よって，
|A| = Σ[1≦k＜m≦10，GCD(k,m)=1]1 + Σ[1≦m＜k≦10，GCD(k,m)=1]1 + 1
=2*Σ[1≦k＜m≦10，GCD(k,m)=1]1 + 1
=2*Σ[m=2，10]φ(m) + 1 (φはオイラーのφw)�ｲ愎齷・・u梹琺ｼ讐ｨφ(2)+φ(3)+ … +φ(10)) + 1
=2*(1+2+2+4+2+6+4+6+4) + 1
=63．
よって，|T|=63．(答)

問4：
2∈Tである．
2以外の，Tの任意の元 2*m/kに対し，2*k/m もまた T の元になっており，
2*m/k ≠ 2*k/m　である．
さらに，この写像 (2*m/k に 2*k/m を対応させる写像) は単射である．
以上より次のようなことがいえる．
Tの63個の元のうち，2以外の62個の元については，
2組ずつのペア (2*m/k，2*k/m) に分けることができる．
このペアの2元を掛け合わせれば，(2*m/k)*(2*k/m)=4．
よって，
N=(4^(62/2))*2 = (4^31)*2 = 2^63．
よって，
log[2]N = log[2]2^63 = 63．(答)

正整数全体の集合の中から， k 個の元をランダムに選び出すとき，
これら k 個の数の最大公約数が 1 になる確率は 1/ζ(k) です．
(∵ある正整数が素数pの倍数である確率は1/pであるので， k個の正整数
が公約数pもつ確率は(1/p)^k．
よってk個の正整数が公約数pをもたない確率は(1-(1/p)^k)．
k個の数の最大公約数が1になる確率は，
Π[p：素数](1-(1/p)^k)
=1/(Π[p：素数]1/(1-(1/p)^k))
=1/Π[p：素数](1+1/p^k+1/p^(2*k)+1/p^(3*k)+ …)
=1/Π[p：素数](1+1/p^k+1/(p^2)^k+1/(p^3)^k)+ …)
=1/(Σ[n=1，∞](1/n^k))
=1/ζ(k)．)
従って全有理数に対する既約分数の比率は，
1/ζ(2) = 6/π^2
であると考えられます．

NO3「にいばりZ12」　　　09/15 00時00分　受信 更新 10/1

問１

M=2¹2²2³2⁴････2¹⁰=2^{(1+2+3+4+//+10)} =2⁵⁵

log₂Ｍ= log₂2⁵⁵=55 log₂2=55･･････回答

問２

a=2^l　、b=2^mと置きます

Tの要素log_ａｂ^２は次式で表されます

log_ａｂ^２= log2^２m/ log2^l=2m/l

最小値はm/lが最小の時でkは1から10の整数なのでmが最小lが最大を考えればよい。よって

m/l =1/10のときlog_ａｂ^２は最小となります

最小値は2・1/10＝1/5・・・・回答

同様に最大値はm/lが最大の時でkは1から10の整数なのでmが最大lが最小を考えればよい。よって

m/l =10/1のときlog_ａｂ^２は最大となります

最大値は2・10/1＝20・・・・回答

問3

Tの要素は2m/lですがm/lが既約でなければそれより小さなm、lの順列に被ります

よってm、lの順列のうちm/lが既約のものを数え上げれば2m/lも被ることはありません

m/lが既約であるという事はm、lが「互いに素」であるという事なのでそれらを数え上げます

先ず、m、lの重複順列は10²となり100通りです

上記の中から1〜10の数字のなかで同じ約数を有する数字をはじけばよいことになります。

（ただしm、lとも単位数の場合は除きます）

m=2

　l=2,4,6,8,10(素因数に2を有する数字)

m=3

　l=3,6,9(素因数に3を有する数字)

m=4

　l=2,4,6,8,10(素因数に2を有する数字)

m=5

　l=5 ,10(素因数に5を有する数字)

m=6

　l=2,3,4,6,8,9,10(素因数に2か3を有する数字)

m=7

　l=7(素因数に7を有する数字)

m=8

　l=2, 4,6,8,10(素因数に2を有する数字)

m=9

　l=3,6,9(素因数に3を有する数字)

m=10

　l=2,4,5,6,8,10(素因数に2か5を有する数字)

以上5+3+5+2+7+1+5+3+6＝37通りをはじけば

Tの要素の個数は

100-37＝63個・・・・・回答

問4

Nは問3で考えたm、lすべての順列の積を互いに素ではない順列の積で割ってやればよい事になります。

全ての順列を掛け合わせたものをN_1、互いに素ではないm、lを掛け合わせたものをN₂とすると

N=N₁/N₂

N₁=　(1/1×1/2×1/3×1/4×1/5×1/6×1/7×1/8×1/9×1/10×2¹⁰)

　 ×(2/1×2/2×2/3×2/4×2/5×2/6×2/7×2/8×2/9×2/10×2¹⁰)

　 ×(3/1×3/2×3/3×3/4×3/5×3/6×3/7×3/8×3/9×3/10×2¹⁰)

　 ×・・・・・

　 ×(10/1×10/2×10/3×10/4×10/5×10/6×10/7×10/8×10/9×10/10×2¹⁰)

　＝(10!×2¹⁰)¹⁰/ (10!)¹⁰＝2¹⁰⁰

N₂=  (2/2×2/4×2/6×2/8×2/10×2⁵)

　 ×(3/3×3/6×3/9×2³)

　 ×(4/2×4/4×4/6×4/8×4/10×2⁵)

　 ×(5/5×5/10×2²)

　 ×(6/2×6/3×6/4×6/6×6/8×6/9×6/10×2⁷)

　 ×(7/7×2)

　 ×(8/2×8/4×8/6×8/8×8/10×2⁵)

　 ×(9/3×9/6×9/9×2³)

　 ×(10/2×10/4×10/5×10/6×10/8×10/10×2³)

上式で2の累乗を除く分数は分子分母同数でない限りその逆数も必ず既約ではないので存在します。

よってそれらは全て約分され残るのは2の累乗だけです。

従って

N₂= 2³⁷

N=N₁/N₂=2⁶³

log₂ N =63 log₂ 2=63・・・・回答

参考

分子分母が自然数の時、その分数が既約になる為には分子と分母が互いに素であればいいことになります。

いま、そのような分数を

a/bとします

まずaがある素因数p₁を持つという事はaがp₁の倍数であるという事と同値です

自然数の十分大きな区間Dに対しpの倍数は区間D×1/p₁個存在します

自然数全体を考えるためD→∞とすると

任意の自然数aがp₁を素因数とする確率は

lim _D→∞(D×1/p₁/D)＝1/p₁

となります。

またbがp₁を素因数とする確率もまた同様に

1/p₁

となります。したがってaがp₁を素因数に持ち且つbもp₁を素因数に持つ確率は

(1/p₁)²

となります

少なくともa、bどちらかがp₁を素因数に持たない(p₁に関して互いに素)確率は上記の余事象となるので

1-(1/p₁)²

となります

また他の素因数に対しても同じことが言えるので

少なくともa、bどちらかがp₂を素因数に持たない(p₂に関して互いに素)確率は

1-(1/p₂)²

a、bどちらかがp₁を素因数に持たずかつ p₂を素因数に持たない確率は

(1-(1/p₁)²)(1-(1/p₂)²)

同様に少なくともあらゆる素因数をa、bどちらかが持たない確率は

Π_i=2〜∞(1-(1/p_i)²)= Π_i=2〜∞(1-p_i^-2) =(Π_i=2〜∞1/(1-p_i^-2))^-1

Π_i=2〜∞1/(1-p_i^-2)はゼータ関数のオイラー積表現でζ(2)なので

(Π_i=2〜∞1/(1-p_i^-2))^-1=1/ζ(2)=6/π²≒0.6079

因みに問題の自然数が10までの場合出現した既約分数は63個なので分数100個中63％＝0.63で

ほぼほぼ近い数字ではあります。

20まで計算してみましたが概ね近い数字は出ているようです。

A	B	C																			D	D
		2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
10	100	5	3	5	2	7	1	5	3	6											37	0.63
11	121	5	3	5	2	7	1	5	3	6	1										38	0.69
12	144	6	4	6	2	8	1	6	4	6	1	8									52	0.64
13	169	6	4	6	2	8	1	6	4	6	1	8	1								53	0.69
14	196	7	4	7	2	9	2	7	4	6	1	9	1	9							68	0.65
15	225	7	5	7	3	10	2	7	5	6	1	10	1	9	7						80	0.64
16	256	8	5	8	3	11	2	8	5	6	1	11	1	10	7	8					94	0.63
17	289	8	5	8	3	11	2	8	5	6	1	11	1	10	7	8	1				95	0.67
18	324	9	6	9	3	12	2	9	6	6	1	12	1	11	8	8	1	12			116	0.64
19	361	9	6	9	3	12	2	9	6	6	1	12	1	11	8	8	1	12	1		117	0.68
20	400	10	6	10	4	13	2	10	6	6	1	13	1	12	9	8	1	13	1	12	138	0.66
単位数を除く2〜Aの素因数		2	3	2	5	2	7	2	3	2	11	2	13	2	3	2	17	2	19	2
						3				5		3		7	5			3		5
A：自然数の範囲
B：Aの範囲における分数の総数（A^2）
C：2〜Aによって生成される既約ではない分数の個数の内下記素因数を持つ数の個数
D：Cの計
E：B（分数の総数に対する既約分数の割合（B-D)/B

ところで、最初に述べましたが既約分数になるという事は分子分母が互いに素であるという事で

任意の自然数を2つ選んだ時に互いに素となる確率を計算したのと同じことです。

そう考えると3つ選んだ場合、4つ選んだ場合またはｎ個選んだ場合に興味がわきます。

これらは前述と同様の議論ができるので互いに素となる確率は

1/ζ(n)

となると思うのですが。

4個の任意の自然数が互いに素である確率は上記に従うと

1/ζ(4)＝90/π⁴≒0.924

選ぶ自然数が増えると互いに素でない（共通の素因数を持つ）確率は下がるので

この結果は直感的にも妥当と考えられます。

「にいばりZ12」　　　09/18 02時01分　受信 更新 10/1

351回の補足を考えました

任意のn個の自然数を選び、少なくとも1つが他の数と互いに素となる確率（少なくとも1つが共通の素因数を持たない）を考えます。

nを増やしていけば互いに素である確率は上がっていきます。

なぜなら、選ぶ自然数に素数が含まれると直ちに他の数と互いに素となるからです。

従って上記の関数を

P(n)とすると

Lim_n→∞P(n)＝1

よって

Lim_n→∞P(n)＝Lim_n→∞1/ζ(n)＝1

Lim_n→∞ζ(n)＝1

即ちゼータ関数のｎを無限に近づけると同関数の極値は1になります。

ここで元のゼータ関数に立ち返ると

ζ(n)＝1/1ⁿ+1/2ⁿ+1/3ⁿ+1/4ⁿ+・・・・

なのでn→∞とした時右辺1項目の極値は1、以降はすべて0なので

当然の帰結となります。

色々考えて最後は当然の帰結に至るのはよくあることですが

発見したと思ったら当たり前だったというのも検算にはなりますが

ぐるぐる回って元に戻ったという印象を免れません・・・。

NO4「スモークマン」 09/17 11時57分　受信 更新 10/1

　　　

集合SをS＝｛２^ｋ｜ｋは1から１０までの整数｝とする。

問１　Sの要素すべての積をＭとおくとき、log₂Ｍを求めよ。

1+2+3+…+10=55

so…

log(2)M=55

問２　Sの要素ａ、ｂに対して実数logａｂ^２を考え、これらがとり得る値全体の集合をＴとく。Ｔの要素のうち、最小値と最大値を求めよ。
Min{T}=log(2^10) 2^2=1/5　
Max{T}=log(2) 2^20=20　

　

　参考に　分母と分子が自然数のとき、既約分数は無限にあります

　が、
このとき既約分数となる確率はご存知ですか。

　互いに素な2数になる確率Pは…有名ですよね ^^

　P=(1-1/2^2)(1-1/3^2)(1-1/5^2)(1-1/7^2)…

　

　ζ(2)=1+1/2^2+1/3^2+1/4^2+1/5^2+…

　 =(1/(1-1/2^2))(1/(1-1/3^2))(1/(1-1/5^2))…

　から…P=1/ζ(2)=6/π^2

　

NO5「浜田明巳」 09/30 17時02分　受信 更新 10/1

問１

Ｓ＝｛２^１，２^２，２^３，・・・，２^１０｝であるから

Ｍ＝２^１・２^２・２^３・・・・・２^１０

　∴log_２Ｍ＝１＋２＋３＋・・・＋１０＝１／２・１０・１１＝５５

問２

ａ＝２^ｘ，ｂ＝２^ｙ（ｘ，ｙ＝１，２，３，・・・，１０）とすると，

log_ａｂ^２＝log_２２^２ｙ／log_２２^ｘ＝(２ｙ)／ｘ

最小値は，ｘ＝１０，ｙ＝１のとき（ｘが最大，ｙが最小），
　　(２・１)／１０＝１／５
　

最大値は，ｘ＝１，ｙ＝１０のとき（ｘが最小，ｙが最大），
　　(２・１０)／１＝２０

問３，４
　データ処理にはうってつけのＥＸＣＥＬで解いた．
　問３は６３個，問４は６３である．
（マクロ）
Option Explicit
Sub Macro1()
   Dim x As Integer, y As Integer
   Dim bunshi As Integer, bumbo As Integer
   Dim g As Integer
   Dim deta As Integer
   Dim j As Integer, jj As Integer
   Cells(1, 1).Value = 0
   For x = 1 To 10
     For y = 1 To 10
       bunshi = 2 * y : bumbo = x
       g = Application.Gcd(bunshi, bumbo)
       bunshi = bunshi / g : bumbo = bumbo / g
       deta = 0 : j = 1
       While deta = 0 And j <= Cells(1, 1).Value
         If Cells(j, 2).Value = bunshi And Cells(j, 3).Value = bumbo Then
           deta = 1
         Else
           j = j + 1
         End If
       Wend
       If deta = 0 Then
         Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
         Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = bunshi
         Cells(Cells(1, 1).Value, 3).Value = bumbo
         Range("B" & Cells(1, 1).Value).Select
       End If
     Next y
   Next x
   Range("A1").Select
   '
   For j = 1 To Cells(1, 1).Value
     Cells(j, 5).Value = Cells(j, 2).Value
     Cells(j, 6).Value = Cells(j, 3).Value
   Next j
   For j = 1 To Cells(1, 1).Value
     For jj = 1 To Cells(1, 1).Value
       g = Application.Gcd(Cells(j, 5).Value, Cells(jj, 6).Value)
       Cells(j, 5).Value = Cells(j, 5).Value / g
       Cells(jj, 6).Value = Cells(jj, 6).Value / g
     Next jj
   Next j
   Cells(1, 7).Value = 0
   For j = 5 To 6
     For jj = 1 To Cells(1, 1).Value
       While Cells(jj, j).Value > 1
         Cells(jj, j).Value = Cells(jj, j).Value / 2
         Cells(1, 7).Value = Cells(1, 7).Value + 1
       Wend
     Next jj
   Next j
   Range("G1").Select
End Sub

「皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。