平成２９年１２月２４日

[流れ星]

　　　　　第354回数学的な応募解答

　　　　　　＜解答募集期間：11月26日〜12月24日＞

［式の値と不等式］

354zu

 

NO1「浜田明巳」     　　11/29 11時59分　受信  更新 12/24

問題１
　ａ＋ｂ＋ｃ＝０　⇒　(ａ５＋ｂ５＋ｃ５)／{(ａ２＋ｂ２＋ｃ２)(ａ３＋ｂ３＋ｃ３)}＝？
　ｃ＝−(ａ＋ｂ)から，
　　ａ２＋ｂ２＋ｃ２＝ａ２＋ｂ２＋(ａ＋ｂ)２
　　　　　　　　　　＝２(ａ２＋ａｂ＋ｂ２)
　　ａ３＋ｂ３＋ｃ３＝ａ３＋ｂ３−(ａ＋ｂ)３
　　　　　　　　　　＝(ａ＋ｂ){(ａ２−ａｂ＋ｂ２)−(ａ＋ｂ)２}
　　　　　　　　　　＝−３ａｂ(ａ＋ｂ)
　　ａ５＋ｂ５＋ｃ５＝ａ５＋ｂ５−(ａ＋ｂ)５
　　　　　　　　　　＝(ａ＋ｂ){(ａ４−ａ３ｂ＋ａ２ｂ２−ａｂ３＋ｂ４)−(ａ＋ｂ)４}
　　　　　　　　　　＝−５(ａ＋ｂ)(ａ３ｂ＋ａ２ｂ２＋ａｂ３)
　　　　　　　　　　＝−５ａｂ(ａ＋ｂ)(ａ２＋ａｂ＋ｂ２)
　　∴与式＝５／６

問題２
　ａ，ｂ，ｃ：三角形の３辺　⇒　３／２≦ａ／(ｂ＋ｃ)＋ｂ／(ｃ＋ａ)＋ｃ／(ａ＋ｂ)＜２
　ａ，ｂ，ｃが三角形の３辺をなすので，
　　ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０，ａ＜ｂ＋ｃ，ｂ＜ｃ＋ａ，ｃ＜ａ＋ｂ・・・(1)
　また，
　　２−{ａ／(ｂ＋ｃ)＋ｂ／(ｃ＋ａ)＋ｃ／(ａ＋ｂ)}
　　　＝[２(ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ)(ａ＋ｂ)−ａ(ｃ＋ａ)(ａ＋ｂ)−ｂ(ａ＋ｂ)(ｂ＋ｃ)−ｃ(ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ)}]／{(ａ＋ｂ)(ｂ＋ｃ)(ｃ＋ａ)}
　　　＝Ａ
とすると，
　　Ａの分子＝２(ｂ＋ｃ){ａ２＋(ｂ＋ｃ)ａ＋ｂｃ}−{ａ３＋(ｂ＋ｃ)ａ２＋ａｂｃ}−{ａｂ(ｂ＋ｃ)＋ｂ２(ｂ＋ｃ)}−{ａｃ(ｂ＋ｃ)＋ｃ２(ｂ＋ｃ)}
　　　　　　＝−ａ３＋(ｂ＋ｃ)ａ２＋(ｂ２＋ｂｃ＋ｃ２)ａ＋(ｂ＋ｃ)(ｂ−ｃ)２
　　　　　　＝ａ２(ｂ＋ｃ−ａ)＋ｂ２(ｃ＋ａ−ｂ)＋ｃ２(ａ＋ｂ−ｃ)＞０（∵(1)）
　　∴ａ／(ｂ＋ｃ)＋ｂ／(ｃ＋ａ)＋ｃ／(ａ＋ｂ)＜２・・・(2)

　次に，ｘ＞０，ｙ＞０，ｚ＞０のとき，相加平均と相乗平均の関係から，
　　ｘ＋ｙ＋ｚ≧３(ｘｙｚ)１／３＞０
　　１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ≧３{１／(ｘｙｚ)}１／３＞０
　辺々をかけると，
　　(ｘ＋ｙ＋ｚ)(１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ)≧９
　等号は，ｘ＝ｙ＝ｚのとき，成立する．
　ｘ＝ｂ＋ｃ，ｙ＝ｃ＋ａ，ｚ＝ａ＋ｂとすると，
　　２(ａ＋ｂ＋ｃ){１／(ｂ＋ｃ)＋１／(ｃ＋ａ)＋１／(ａ＋ｂ)}≧９
　　∴{ａ／(ｂ＋ｃ)＋１}＋{ｂ／(ｃ＋ａ)＋１}＋{ｃ／(ａ＋ｂ)＋１}≧９／２
　　∴ａ／(ｂ＋ｃ)＋ｂ／(ｃ＋ａ)＋ｃ／(ａ＋ｂ)≧３／２・・・(3)
　等号は，ｂ＋ｃ＝ｃ＋ａ＝ａ＋ｂ，すなわちａ＝ｂ＝ｃのとき，成立する．
　(2)，(3)より，与不等式は証明された．
　ちなみに左側の不等式は，ａ＞０，ｂ＞０，ｃ＞０だけの条件で示される．

NO2「早起きのおじさん」 12/01 17時33分　受信  更新 12/24

 

問題1

●その1

 とします。

 

まず分子は、

 

次に分母は、

 

よって、

 

 

●その2

とおいてみます。

 

 

 

●その3

 のとき、

 

より、

 

より、

 

より、

 

さて、

ですが、(A)、(B)より、

 

 

ここで、(A)より、

 

ここで(D)より、

 

ここで、(C)より、

 

整理すると、

 

 

 

問題2

 

まず、前半部分を、全体  倍して、右辺から左辺を引いて考えます。

 

正三角形のとき、等号が成り立ちます。

 

 

次に、後半部分を、全体  倍して、右辺から左辺を引いて考えます。

 

二辺の和は、他の一辺より長いので不等式が成り立ちます。

 

 

「早起きのおじさん」 12/10 10時42分　受信  更新 12/24

問題2

●その1

 

中央の式の値は、各項が正なので相加平均と相乗平均との関係から、

等号は、 のとき成立します。

前半部分から、

後半部分から、

下線部分を比較して、

 とすると、

より、 となり三角形の三辺にあてはまりません。

よって、 です。

 

この結果を式(B)に代入すると、

 とすると、

より、 となり三角形の三辺にあてはまりません。

よって、 です。

 

以上から、 となります。

これを式(A)に代入すると、

つまり、正三角形のとき、最小値になります。

 

 

次に図のように、一辺がほとんど0であるような三角形を考えます。

仮に  としてみます。

中央の式に代入してみると、

ここで、 が小さくなると考えると、

中央の式の値は、2で抑えられます。

 

ついでに、正三角形を考えると、

ついでに、つぶれた鈍角の二等辺三角形を考えると、

 

 

●その2

三角形の三辺の長さを、 とします。

また、 であれば、 は他の二辺の平均の値をとることができます。

三辺の長さが  である三角形を考えます。

つまり、三辺の長さが、等差数列をなす場合を考えます。

 

考える式の値を  とおきます。

 

最後の式のカッコの中は、互いに逆数の和なので、相加平均・相乗平均の関係から

より、2以上の値をとります。

（等号は、三辺が等しいときです）

 

また、 なので、

より、小さな値をとります。

 

ここで最後の式のカッコの中の式の値を  とおきます。

すると、

 

 

以上から、各辺の長さに差がない正三角形のとき、最小値  をとることが分かります。

 

 

次に、正三角形にならないような場合を考えます。

三角形の三辺の長さを、 とし、 の場合を考えます。

（ です）

実際には三角形になりませんが、正三角形にならないつぶれた三角形を考えます。

 

 

 

ここで、 とおきます。

 

x

･･･

−1

･･･

0

･･･

･･･

2

･･･

y’

＋

×

＋

0

−

×

−

0

＋

y

増加

×

増加

−1

減少

×

減少

増加

 

 

 の置き方から、 は正で大きな値をとります。

求める式の値は、2で抑えられます。

 

「早起きのおじさん」 12/16 15時57分　受信  更新 12/24

問題2

● について

 

説明の都合で、 とします。

ここで、新たに、 を  、 を b と置きます。

つまり、 を考えます。

 

三角形の相似の関係を使うと、割り算の値を図示できます。

 

 より、CDが  になります。

 

さて、図で、、、になります。

また、 で、三角形の各辺であることから、 なので、 です。

当然、 、 です。

 

 

ここで、OA≧OBです。

さて、さて、BEとCDの長さの比較をします。

 

赤い正方形の一辺は1なので、3項の和が2を超えることはありません。

 

NO3「ice」　　　　　　　12/08 21時42分　受信  更新

「ice」　　　　　　　12/14 19時23分　受信  更新 12/24

＜水の流れ：2回の応募をまとめて掲載しました＞

　

　　

 

 

 

NO4「二度漬け白菜」     12/13 10時04分　受信  更新 12/24 　

問題1：
与式の分母である，(a^2+b^2+c^2)*(a^3+b^3+c^3) が 0 になる
ことは無いものとして解答します．

 

c=-a-b を用いて
a^5+b^5+c^5，
a^2+b^2+c^2，
a^3+b^3+c^3
を変形する．

 

a^5+b^5+c^5
=a^5+b^5+(-a-b)^5
=-(5*a^4*b+10*a^3*b^2+10*a^2*b^3+5*a*b^4)
=(-5*a*b)*(a^3+2*a^2*b+2*a*b^2+b^3)
=(-5*a*b)*(a+b)*(a^2+a*b+b^2)．

 

a^2+b^2+c^2
=a^2+b^2+(-a-b)^2
=2*(a^2+a*b+b^2)．

 

a^3+b^3+c^3
=a^3+b^3+(-a-b)^3
=-(3*a^2*b+3*a*b^2)
=(-3*a*b)*(a+b)．

 

よって，
(a^5+b^5+c^5)/((a^2+b^2+c^2)*(a^3+b^3+c^3))
=(-5*a*b)*(a+b)*(a^2+a*b+b^2))/(2*(a^2+a*b+b^2)*(-3*a*b)*(a+b))
=5/6．(答)

 


問題2：
3/2 ≦ a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) であることを示す．
(証明)
b+c=x, c+a=y, a+b=z とおくと，
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)
 =(y+z-x)/(2*x)+(z+x-y)/(2*y)+(x+y-z)/(2*z)
 =(y/x+x/y)/2 + (z/y+y/z)/2 + (x/z+z/x)/2 - 3/2
 ≧((y/x)*(x/y))^(1/2) + ((z/y)*(y/z))^(1/2) + ((x/z)*(z/x))^(1/2) - 3/2 (∵(相加平均)≧(相乗平均))
 =1+1+1-3/2
 =3/2
よって，3/2≦a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)　が成り立つ．
(等号成立は，a=b=c のとき)
(証明終)


a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) < 2 であることを示す．
(証明)
s=a+b+c とおく．
a，b，c は三角形の三辺の長さであるので，
b+c > a ．
両辺に b+c を加えて，
2*(b+c) > a+b+c つまり，2*(b+c) > s ．
よって，
1/(2*(b+c)) < 1/s ．
両辺に 2*a を掛けて，
a/(b+c) < (2*a)/s  ---(1)
同様にして，
b/(c+a) < (2*b)/s  ---(2)
c/(a+b) < (2*c)/s  ---(3)
を導くことができる．
(1)，(2)，(3)の辺々を加えて，
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b) < 2*(a+b+c)/s = 2．
(証明終)

 

 

問題2 の不等式：
3/2 ≦ a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)
は，Nesbittの不等式 と呼ばれているものだそうです．
様々な証明が知られているようです．
　
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/inequality/nesbitt.htm
https://mathtrain.jp/nesbitt

以上．

 

 

「皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。