平成３０年８月５日

[流れ星]

　　　　第362回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：７月８日〜８月５日＞

［モーザーの円］

　興味深い数列があります。それは、数列：１，２，４，８，１６,・・・」

第6項は一体どんな数が入るでしょうか。

過去、朝日新聞木曜日版にあった問題です。それがこの問題です

円周上にn個の点を取り、それらをすべて直線で結ぶ。このとき出来る領域の最大個数 をｎで表わせ。また、この数列はパスカルの三角形の中に隠れています。発見してみてください。

注：この問題は1969年にレオ・モーザー（Leo Moser）が初めて問題を提起したので、
モーザー数列と呼ばれている。

NO1「二度漬け白菜」 07/14 14時06分　受信 更新 8/5

[解答]
求める最大個数を n で表わすと，
(1/24)*(n^4-6*n^3+23*n^2-18*n+24)
となる．
これは二項係数の部分和
C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+C(n-1,3)+C(n-1,4)
に等しい．(答)

n≧3として考える．
円周上の n 個の点を頂点とする凸n角形を G とする．
G の n*(n-3)本の対角線のうち，どの3本も 一点で交わる

ことがない状況を考える．この条件下において円が分割

されてできる領域の個数を f(n) とする．

f(n)が求める最大個数である．

Gの辺と円の弧で作られる領域は全部で n 個ある．
Gの辺とGの対角線とで作られる領域の個数を a(n) とする．
f(n)=n+a(n) である．

いまから a(n) を求める．

Gの辺およびGの対角線によって，Gは多くの凸多角形に細分
される．細分された凸多角形全体の集合を S とする．
Sの元のうち，辺数が最多のものが，m角形であるとする．
つまり，Gの辺およびGの対角線によって，Gは，
3角形，4角形，5角形，…，m角形
に細分されるものとする．
Sの元のうち，j角形 (3≦j≦m)の個数を r_j とする．
a(n)=r_3+r_4+r_5+…+r_m　である．

j角形はj個の頂点を持つ．
よってSの元の頂点数の総和は，
3*r_3 + 4*r_4 + 5*r_5 + … + m*r_m
となる．

Sの元の頂点は，Gの頂点か或いはGの対角線の交点の
どちらかである．

Gの任意の頂点を P とする．
Sの元のうち， Pを頂点にもつものは，(n-2)個 だけある．

Gの任意の対角線の交点を Q とする．
Sの元のうち， Qを頂点にもつものは，4個 だけある．

Gの頂点数は n 個，Gの対角線の交点数は C(n,4) 個 であるから，次の等式が成り立つ．

3*r_3 + 4*r_4 + 5*r_5 + … + m*r_m = (n-2)*n + 4*C(n,4) --- (1)

凸j角形の内角の和は，(j-2)*180° である．
よって，Sの元の内角の和を合計したものは，
r_3*(3-2)*180°+ r_4*(4-2)*180°+ r_5*(5-2)*180°+ … + r_m*(m-2)*180°

=(r_3+2*r_4+3*r_5+ … +(m-2)*r_m)*180°

である．

Gの任意の対角線の交点 Q の周りの角度の合計は 360°

であり，Gの内角の和は (n-2)*180°であるので，次の等式が成り立つ．

(r_3+2*r_4+3*r_5+ … +(m-2)*r_m)*180°= C(n,4)*360°+ (n-2)*180°．

よって，
r_3+2*r_4+3*r_5+ … +(m-2)*r_m = 2*C(n,4)+(n-2) ---(2)

(1)-(2)より，
2*(r_3+r_4+r_5+…+r_m)=2*C(n,4)+(n-1)*(n-2)．

よって，r_3+r_4+r_5+…+r_m=C(n,4)+(1/2)*(n-1)*(n-2)．

つまり，a(n)=C(n,4)+(1/2)*(n-1)*(n-2)．

よって，
f(n)
=n+a(n)
=n+C(n,4)+(1/2)*(n-1)*(n-2)
=(1/24)*(n^4-6*n^3+23*n^2-18*n+24)．
(これは n=1，2 のときにも正しい結果を与える式となっている)

f(n)
=n+C(n,4)+(1/2)*(n-1)*(n-2)
=C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)
=C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+C(n-1,3)+C(n-1,4)
であるから，f(n)はパスカルの三角形の第 n 段目において，
左から5番目までの値を合計したものになっている．

(以上)

NO2「早起きのおじさん」 07/17 22時26分　受信 更新 8/5

362解答　早起きのおじさん

●円周上に点がなければ、領域は1個です。

円周上に点が1個なら、結ぶ相手がないので領域も1個と考えます。

点が、2個から5個のときは、次の図のようになります。

点の個数を数列の順番と考えると、次のようです。

●点が6個の場合を考えます。

順に点を結んでいき、増える領域の個数を数えます。

(1)点を6個取っただけの初めの状態では、領域は{1}個です。

(2)点Aと、他の点(B、C、D、E、F)を結びます。

　AとBで1個、AとCで1個、AとDで1個、AとEで1個、AとFで1個、それぞれ領域が増えます。

　増える領域の個数は、{1、1、1、1、1}

(3)点Bと、他の点(C、D、E、F)を結びます。

　BとCで1個、BとDで2個、BとEで3個、BとFで4個、それぞれ領域が増えます。

　増える領域の個数は、{1、2、3、4}

(4)点Cと、他の点(D、E、F)を結びます。

　CとDで1個、CとEで3個、CとFで5個、それぞれ領域が増えます。

　増える領域の個数は、{1、3、5}

(5)点Dと、他の点(E、F)を結びます。

　DとEで1個、DとFで4個、それぞれ領域が増えます。

　増える領域の個数は、{1、4}

(6)点Eと、点Fを結びます。

　増える領域の個数は、{1}

よって第6項は、

●点がn個の場合を考えます。

順に点を結んでいき、増える領域の個数を数えます。

(1)点をn個取っただけの初めの状態では、領域は{1}個です。

(2)点A₁と、他の点(A₂、A₃、A₄、･･･、A_n)を結びます。

　順に1本ずつ線を引くと、1個ずつ領域が増えます。

　増える領域の個数は、{1、1、1、･･･、1}　[項数n−1]

(3)点A₂と、他の点(A₃、A₄、A₅、･･･、A_n)を結びます。

　A₂とA₃で1個、A₂とA₄で2個、A₂とA₅で3個、･･･、A₂とA_nでn−2個、それぞれ領域が増えます。

　増える領域の個数は、{1、2、3、･･･、n−2}　[項数n−2]

(4)点A₃と、他の点(A₄、A₅、A₆、･･･、A_n)を結びます。

　A₃とA₄で1個、A₃とA₅で3個、A₃とA₆で5個、･･･、A₃とA_nで2n−7個それぞれ領域が増えます。

　増える領域の個数は、{1、3、5、･･･、2n−7}　[項数n−3]

･･･

(k)A_k-1と、他の点（A_k、A_k+1、A_k+2、･･･、A_n）を結びます。

　A_k-1とA_kで1個、A_k-1とA_k+1で1+(k−2)個、A_k-1とA_k+2で1+2(k−2)個、･･･、A_k-1とA_nで1+(n−k)(k−2)個それぞれ領域が増えます。

　増える領域の個数は、{1、k−1、2k−3、･･･、(n−k)k−2(n−k)+1}　[項数n−k+1]

･･･

(n−1) A_n-2と、他の点（A_n-1 、A_n）を結びます。

　A_n-2とA_n-1で1個、A_n-2とA_nで1+(n−3)個、それぞれ領域が増えます。

　増える領域の個数は、{1、n−2}　[項数2]

(n) A_n-1と、他の点（A_n）を結びます。

A_n-1とAnで1個、領域が増えます。

　増える領域の個数は、{1}　[項数1]

以上の領域の個数を並べてみます。

(1)　　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [1個]

(2)　　1、1、1、･･･････････････、1　　　　　　　　　[n−1個]

(3)　　1、2、3、････････、n−2　　　　　　　　　　　[n−2個]

(4)　　1、3、5、･･･、2n−7　　　　　　　　　　　　　[n−3個]

･･･

(k)　　1、k−1、2k−3、･･･、(n−k)k−2(n−k)+1　 　[n−k+1]

･･･

(n−1) 1、n−2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[2個]

(n)　　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[1個]

まとめると、(1)番目以外、(k)番目は、初項1、公差k−2の等差数列です。

(k)番目の領域の個数の合計は、

(1) 番目から(n)番目までの領域の個数の合計を求めます。

(A) の式でk＝1とすると、

なので、

●パスカルの三角形を二項係数で表すと、次のようです。

パスカルの三角形は、横並びの二つの和の値がすぐ下の値という仕組みになっています。

つまり、 です。

この式を繰り返して用いると、

例えば、黄色の合計は、青ということです。

パスカルの三角形を具体的な数で書き直すと、次のようです。

点の個数が9個の場合の(1)番目から(9)番目までの数を左下がりに並べます。

左下がりの並びの合計を最後の行の右下に書き並べます。

黄色の合計が青ということです。

最後の行の横合計が求める数列の値です。

このような仕組みで求められる横並びの値を順に書き並べると、

この横並びの数の合計が、(B)の式の具体的な値です。

上のようになります。

（これを式(A)の表ということにします）

右端の値が調べている数列の値です。

桃色の部分が、パスカルの三角形と値が異なる部分です。

●パスカルの三角形の上からn番目左からk番目の値は、 です。

これと式(A)との差を求めると、

例えば、式(C)で、k=4とすると、

です。

この式で、n＝6とすると、

これは、パスカルの三角形の から、1を引くと、(A)の表の最初の赤い部分の9を表します。

「早起きのおじさん」 07/18 14時28分　受信 更新 8/5

<早起きのおじさんから　ご指摘ありがとうございました。

式(B)が4次式である理由がわかりました。

あとから見ると簡単なことだと思いました。＞

●式(A)の表を書きます。

パスカルの三角形を書きます。

左から5番目までの合計が、上の表の横合計と一致します。

これを確認します。

となり、式(B)と一致します。