平成３０年９月３０日
[流れ星]
第364回数学的な応募解答
＜解答募集期間：９月２日～９月３０日＞
［動点の通過面積］
図のように互いに接する半径１ｃｍの２つの円ＡとＢがある。
円Ａ上に点Ｐ、円Ｂ上に点Ｑがあり、点Ｑに関する点Ｐの対称点を点Ｒとする。
点Ｐと点Ｑがそれぞれ自由に円周上を動くとき、点Ｒの通過する領域の面積を求めよ。
「問題の出典：たけしのコマ大数学科から」
NO1「にいばりZ12」 09/05 23時44分 受信 更新 9/30
予想をしました
円PとQの接点を原点とし、各円の中心を通る直線をｘ軸とし原点に垂直な軸をｙ軸とします
Rの取りうる座標は円(x-3)2+y2=32の内側で且つ(x-3)2+y2=1の外側のドーナッツの部分で
面積は8πになります。
あくまでも予想なのでこれをこれから一生懸命証明していきたいと思います。
「にいばりZ12」 09/22 23時36分 受信
更新 9/30
結論を予想しそれを示してしていきます。
予想
円PとQの接点を原点とし、円P,Qの中心を通る直線をｘ軸とし原点に垂直な軸をｙ軸とします
Rの取りうる座標は円(x-3)2+y2=9の内側で且つ(x-3)2+y2=1の外側のドーナッツの部分で
面積は8πになります。
準備
円P
(x+1)2+y2=1・・・①
円Q
(x-1)2+y2=1・・・②
1）今、円P上の点Pと円Q上の点Qを結ぶ直線が原点(O)を通る場合を考えます。
但しP=Q以外の時はP≠Q≠0とします。
この時Rの座標は次のようになります。
Rのx座標（X）
②のx座標の3倍
Rのy座標（Y）
②のy座標の3倍
以上から
X=3x,Y=3y
②式に代入すると
(X -3)2+ Y 2=32・・・③
（半径3中心（3,0）の円
この時、線分POQRを含む直線の方程式は
Y=aX （a= tan -1θ ；-π/2<θ<π/2）
また、P=Q=Rの時QのOへの近づき方により
a =limθ→±π/2
tan-1θ=±∞
の2種の値（直線はy軸と同じ）をとります。
上記直線で同様に
P≠0（原点）
Q＝0の場合を考えます。
Rのx座標（X）
②のx座標の1倍
Rのy座標（Y）
②のy座標の1倍
以上から
X=x,Y=y
②式に代入すると
(X -3)2+ Y 2=12・・・③’
（半径1中心（3,0）の円
同様に
P＝0（原点）
Q≠0の場合を考えます。
Rのx座標（X）
②のx座標の2倍
Rのy座標（Y）
②のy座標の2倍
以上から
X=2x,Y=2y
②式に代入すると
(X -2)2+ Y 2=22・・・④
（半径2中心（2,0）の円
解答
円P上の点Pと円Q上の点Qを結ぶ直線を考えます。
この時、点Pを固定（座標を（x0,y0）し点Qを原点から時計回りに円Q上を1週させます。
点Rのx座標は（X）
②のx座標×2- x0
点Rのy座標は（Y）
②のy座標×2- y0
以上から
X=2x- x0,Y=2y- y0
(x,y)=((X+ x0)/2, (Y+ y0)/2)
②式に代入すると
((X+ x0)/2-1)2+((Y+ y0)/2)2=1
((X+( x0-2))2+(Y+ y0)2=22・・・⑤
（半径2、中心（2-x0,
-y0）の円となります。
ここで、点Pの固定を解除し円⑤の中心の軌跡を考えます。（解除することにより点PQの取りうる値のすべてを網羅できます）
⑤の中心の座標を①式に代入します
(2-x+1)2+（-y）2=1
(x-3)2+y2=1・・・⑥＝③’
半径1,中心（3,0）の円
円⑤の半径は2なので、Rは中心の軌跡（円）の内部の値はとりません
さらに、円⑤の中心の軌跡の中心は（3,0）なので円⑤は円③の内部でしか存在しえません。
したがってRの軌跡の取りえる値の面積は
π32-π＝8π・・・回答
因みに、円③は円群④の外側の包絡線、円③’は内側の包絡線となっています。
包絡線の求め方は、45年前に学んだはずなのですが忘れてしまいましたので無理矢理解いてみました。
NO2「早起きのおじさん」 09/06 10時01分 受信 9/30
「早起きのおじさん」 09/06 21時21分 受信 更新 9/30
●円A、Bの中心をx軸上にとり、原点で互いに接するようにおきます。
円の方程式は、
各点の座標を、P
、Q
、R
とします。
線分PRの中点がQなので、
よって、円Bの方程式に入れて、
つまり、点Rは、中心
、半径2の円Dの周上にあります。
この円Dの中心Sと点P の中点は、
より、円Bの中心です。
●次に点Rがある円Dの中心Sがどこにあるかを考えます。
線分PSの中点が円Bの中心
なので、
よって、
これを、円Aの方程式に入れると、
円Dの中心Sは、中心
、半径1の円Cの周上にあります。
円Aと円Cとは、点 に関して、対称です。
●半径2の円Dが、中心を円C上に置きながら動くことを考えます。
円Cの中心 から円D上で一番遠い点までは、距離が3です。（図の点T）
円Cの中心(3,0) から円D上で一番近い点までは、距離が1です。（図の点U）
遠い点は、半径3の円を描きます。
近い点は、半径1の円を描きます。
半径1の円の内部に点Rは存在できません。
つまり、半径3の円から、半径1の円をくりぬけばよいので、求める面積は9π－π＝8πです。
NO3「ジョーカー」
10/20 10時28分 受信 更新 10/22
皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。
