平成３０年９月３０日

[流れ星]

　　　　第365回数学的な応募問題

　　　　＜解答募集期間：９月30日〜10月28日＞

［ユークリッドの互除法］

　

１以上の２つの整数ｍ、ｎ（ただしｎはｍより大きい）について次のような操作を行う。ｎをｍで割ったときの商を書いておいて、余りがあれば今度ｍをその余りで割って、余りのある限り繰り返す。

例えば、ｍ＝３１、ｎ＝９８のときはこうなる。

９８÷３１＝３、余りは５

３１÷５＝６、　余りは１

５÷１＝５、余りがない、操作終了

　このとき、出てきた商を順に書いてみると、３、６，５である。

そこで、３１と９８の相互関係は３，６、５であるという。また、相互関係に出てくる商の個数（３１と９８のときは３）を相互関係の長さという。

　例えば、８と１１の相互関係は１、２、１．２であるという。その長さは４である。

問題１　相互関係が１、２、１、１、３となる整数の組を１以上100以下の範囲ですべて求めなさい。

問題２　１以上100以下の範囲で相互関係が最も長くなるような整数の組を調べたところ、長さが９である組が最も長く、しかも1組しかありません。その1組を求めなさい。

「参考文献：ピーター先生と中学入試の算数に挑戦！」新潮社

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