2019年令和元年5月１2日
[流れ星]
第372回数学的な応募解答
＜解答募集期間：4月14日～5月12日＞
［周長と面積が同じ図形］
2018年9月19日の新聞に「辺の長さがすべて整数となる直角三角形と二等辺三角形の組の中には、周の長さも面積も共に等しい組が（相似を除いて）たった1組しかない」ことを証明したという記事が載っていました。その組み合わせは、三辺が「135、352、377」の直角三角形と「132、366、366」の二等辺三角形だそうです。周の長さは864、面積は23760になります。この問題の類題です。
ある平面図形において、辺の長さがすべて整数で、周の長さと面積が等しい凸多角形を考えます。
問題１ ある図形が長方形（正方形を含む）であるとき、それを見つけなさい。
（２個あります）
問題２ ある図形が二等辺三角形（正三角形を含む）であるとき、存在しないことを示しなさい。
問題３ ある図形が三角形のとき、それを見つけなさい。（５個あります）
その前に、不定方程式 ｘｙｚ＝４（ｘ＋ｙ＋ｚ）の正の整数解を求めておいてください。
問題４ ある図形が平行四辺形やひし形のとき、存在するかどうか考察してみてください。
NO1「スモークマン」 04/16
18時14分 受信 更新 5/12
今回もチャレンジをば...but...よく意味がつかめない問題も...^^;
＜水の流れ：出題者の意図と違う解釈ができるようなときは、申し訳ないです＞
ある平面図形において、辺の長さがすべて整数で、周の長さと面積が等しい凸多角形を考えます。
問題１ ある図形が長方形（正方形を含む）であるとき、それを見つけなさい。（２個あります）
回答
長方形の2辺の長さをa,bとすると
ab=2(a+b)
(a-2)(b-2)=4
a-2=1,b-2=4・・・(a,b)=(3.6)
a-2=2,b-2=2・・・(a,b)=(4,4)
問題２ ある図形が二等辺三角形（正三角形を含む）であるとき、存在しないことを示しなさい。
回答
二等辺三角形以外の△の存在は最初に存在が示されているので、
問題の題意を二等辺三角形と同じ長方形がないことを示すのだろうかと？
問題1から、3*6=18
c^2*sinθ=2*18
2c+√(2*c^2*√(1-(sinθ)^2))=18
PCで…c=6.249…
4*4=16
c^2*sinθ=2*16
2c+√(2*c^2*√(1-(sinθ)^2))=16
c=5.785…
で満たさない…
問題３ ある図形が三角形のとき、それを見つけなさい。（５個あります）
その前に、不定方程式 ｘｙｚ＝４（ｘ＋ｙ＋ｚ）の正の整数解を求めておいてください。
回答
AB=a,BC=b,CA=c
a+b+c=2s
S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))=a+b+c
S^2=
s(s-a)(s-b)(s-c)=(a+b+c)^2=4s^2
(s-a)(s-b)(s-c)=4s=2(a+b+c)
s-a=x,s-b=y,s-c=z
x+y+z=3s-2s=s
xyz=4(x+y+z)
1/4=1/xy+1/yz+1/zx
x<=y<=z
1/4<=3/x^2
So…x^2<=12
So…x=1,2,3
x=1…
1/4=1/y+1/yz+1/z
1/4<=2/y+1/y^2
y^2-8y<=4
y(y-8)<=4…y=(1,2,3,4),5,6,7,8
y=5…
1/4=1/5+1/(5z)+1/z
5z=4z+4+20…z=24
y=6…
1/4=1/6+1/(6z)+1/z
6z=4z+4+24…z=14
y=7…
1/4=1/7+1/(7z)+1/z
7z=4z+4+28…z=32/3でなし
y=8…
1/4=1/8+1/(8z)+1/z
8z=4z+4+32…z=9
x=2…
1/4<=1/y+1/y^2
y^2-4y=y(y-4)<=4…y=(1,2),3,4
y=3…
1/4=1/6+1/(3z)+1/(2z)
6z=4z+8+12…z=10
y=4…
1/4=1/8+1/(4z)+1/(2z)
2z=z+2+4…z=6
x=3…
1/4<=2/(3y)+1/y^2
3y^2-8y<=12
y(3y-8)<=12…y=3
1/4=1/9+2/(3z)
9z=4z+24…z=24/5でなし
so…
(x,y,z)=(1,5,24),(1,6,14),(1,8,9),(2,3,10),(2,4,6)
2(x+y+z)=a+b+c=2s
x=s-a・・・a=30-1=29, 21-1=20, 18-1=17,
15-2=13, 12-2=10
y=s-b・・・b=30-5=25, 21-6=15, 18-8=10,
15-3=12, 12-4=8
z=s-c・・・c=30-24=6, 21-14=7,
18-9=9, 15-10=5, 12-6=6
so…
(a,b,c)=(29.25,6),
(20,15,7), (17,10,9), (13,12,5), (10,8,6)
の5種類ね^^
問題４ ある図形が平行四辺形やひし形のとき、存在するかどうか考察してみてください。
ab*sinθ=2(a+b)
sinθ=2(a+b)/(ab)<=1
0<=2(a+b)<=ab
(a-2)(b-2)>=4
を満たすものはいくらでもありますね^^
問題1に示されているようなことではなく、
周囲の長さと面積が等しい平行四辺形があるとき、同じような△の存在があるかどうか…?
＜水の流れ：意図は同じ図形の中で、周囲の長さと面積が等しい図形があるかどうかを考えて頂ければという問題です＞
NO2「浜田明巳」 04/23 12時32分 受信 更新 5/12
問題１
この長方形の直角をはさむ２辺の長さをａ，ｂ（ａ，ｂは正整数，ａ≧ｂ）とすると，条件より，
ａｂ＝２(ａ＋ｂ)
∴ａ(ｂ－２)－２(ｂ－２)＝４
∴(ａ－２)(ｂ－２)＝４
ａ－２≧ｂ－２≧－１，ａ－２，ｂ－２は整数なので，
(ａ－２，ｂ－２)＝(４，１)，(２，２)
∴(ａ，ｂ)＝(６，３)，(４，４)
これらは共に条件に適する．
問題２
△ＡＢＣにおいて，ＡＢ＝ＡＣ＝ａ，ＢＣ＝ｂ（ａ，ｂは正整数）とする．
三角不等式より，ＢＣ＜ＣＡ＋ＡＢ
∴ｂ＜ａ＋ａ
∴２ａ＞ｂ・・・(1)
ＡからＢＣに垂線ＡＨを下すと，
ＡＨ＝(ＡＢ２－ＢＨ２)１／２＝{ａ２－(ｂ／２)２}１／２＝１／２・(４ａ２－ｂ２)１／２
面積Ｓは，
Ｓ＝１／２・ＢＣ・ＡＨ＝１／４・ｂ(４ａ２－ｂ２)１／２＝２ａ＋ｂ
Ｘ＝２ａとすると，
ｂ(Ｘ２－ｂ２)１／２＝４(Ｘ＋ｂ)
∴ｂ２(Ｘ２－ｂ２)＝１６(Ｘ＋ｂ)２
∴(ｂ２－１６)Ｘ２－３２ｂＸ－ｂ２(ｂ２＋１６)＝０
ｂ≠０から，
∴(ｂ２－１６)(Ｘ／ｂ)２－３２・Ｘ／ｂ－(ｂ２＋１６)＝０
Ｙ＝Ｘ／ｂとすると，
(ｂ２－１６)Ｙ２－３２Ｙ－(ｂ２＋１６)＝０
∴(Ｙ＋１){(ｂ２－１６)Ｙ－(ｂ２＋１６)}＝０
Ｙ＝Ｘ／ｂ＝(２ａ)／ｂ＞０より，
(ｂ２－１６)Ｙ＝ｂ２＋１６・・・(2)
ｂ２＝１６とすると，０＝１６・２となり，矛盾する．
故にｂ２≠１６となり，
Ｙ＝(ｂ２＋１６)／(ｂ２－１６)＝１＋３２／(ｂ２－１６)
Ｙ＝(２ａ)／ｂより，
２ａ－ｂ＝(３２ｂ)／(ｂ２－１６)・・・(3)
２ａ－ｂ＞０より，ｂ２－１６＞０
∴ｂ＞４・・・(4)
２ａ－ｂは正整数なので，(3)より，
(３２ｂ)／(ｂ２－１６)≧１
∴３２ｂ≧ｂ２－１６
∴ｂ２－３２ｂ－１６≦０
∴(ｂ／４)２－８・ｂ／４－１≦０
∴４－√１７≦ｂ／４≦４＋√１７
４－√１７＝√１６－√１７＜０より，
ｂ≦４(４＋√１７)＝１６＋４√１７・・・(5)
４√１７＞４√１６＝１６，４√１７＝√１６√１７＜√１７√１７＝１７より，
３２＜１６＋４√１７＜３３
(4)，(5)から，５≦ｂ≦３２・・・(6)
(3)より，２ａ－ｂ＝(３２ｂ)／{(ｂ＋４)(ｂ－４)}＞０・・・(3)'
ｂを奇数とすると，ｂ＋４，ｂ－４も奇数なので，(3)'から，
ｂ／{(ｂ＋４)(ｂ－４)}
は正整数である．これをｎとおくと，
ｂ／(ｂ２－１６)＝ｎ
∴ｎｂ２－ｂ－１６ｎ＝０
このｂの２次方程式の判別式をＤとすると，ｂは整数なので，
Ｄ＝１＋６４ｎ２
は平方数である．
Ｄ＝１＋６４ｎ２＝ｍ２（ｍは正の整数）とすると，
(ｍ＋８ｎ)(ｍ－８ｎ)＝１
ｍ＋８ｎ，ｍ－８ｎは整数なので．
ｍ＋８ｎ＝ｍ－８ｎ＝±１
∴ｍ＝±１，ｎ＝０
これはｎが正整数であることに反する．
故にｂは偶数である．
ｂ＝２ｂ'とすると，(3)'より，
２ａ－ｂ＝(３２・２ｂ')／{(２ｂ'＋４)(２ｂ'－４)}＝(１６ｂ')／{(ｂ'＋２)(ｂ'－２)}
ｂ'を奇数とすると，同様に，ｂ'／{(ｂ'＋２)(ｂ'－２)}＝ｎ（ｎは正整数）とすることができる．
∴ｎｂ'２－ｂ'－４ｎ＝０
このｂ'の２次方程式の判別式をＤとすると，同様に，
Ｄ＝１＋１６ｎ２＝ｍ２（ｍは整数）
とすることができる．
∴(ｍ＋４ｎ)(ｍ－４ｎ)＝１
∴ｍ＋４ｎ＝ｍ－４ｎ＝±１
∴ｍ＝±１，ｎ＝０
これはｎが正整数であることに矛盾する．
故にｂ'は偶数である．
ｂ'＝２ｂ''（ｂ''は正整数）とすると，
ｂ＝２ｂ'＝４ｂ''
故にｂは４の倍数である．
(6)から，ｂ＝８，１２，１６，２０，２４，２８，３２
i). ｂ＝８のとき，
２ａ－８＝(３２ｂ)／{(ｂ＋４)(ｂ－４)}＝(３２・８)／(１２・４)＝１６／３
これは整数にならないので，矛盾する．
ii). ｂ＝１２のとき，
２ａ－１２＝(３２・１２)／(１６・８)＝３
これは，偶数である２(ａ－６)が奇数となり，矛盾する．
iii). ｂ＝１６のとき，
２ａ－１６＝(３２・１６)／(２０・１２)＝３２／１５
これは矛盾する．
iv). ｂ＝２０のとき，
２ａ－２０＝(３２・２０)／(２４・１６)＝５／３
これは矛盾する．
v). ｂ＝２４のとき，
２ａ－２４＝(３２・２４)／(２８・２０)＝４８／３５
これは矛盾する．
vi). ｂ＝２８のとき，
２ａ－２８＝(３２・２８)／(３２・２４)＝７／６
これは矛盾する．
vii). ｂ＝３２のとき，
２ａ－３２＝(３２・３２)／(３６・２８)＝６４／６３
これは矛盾する．
まとめると，このような二等辺三角形ＡＢＣは存在しない．
問題３
ｘｙｚ＝４(ｘ＋ｙ＋ｚ)（ｘ，ｙ，ｚは正整数）
０＜ｘ≦ｙ≦ｚとすると，
ｘｙｚ＝４(ｘ＋ｙ＋ｚ)≦４(ｚ＋ｚ＋ｚ)＝１２ｚ
ｚ＞０から，ｘｙ≦１２
０＜ｘ≦ｙから，ｘｘ≦ｘｙ≦１２
∴ｘ２≦１２
ｘは正整数なので，ｘ＝１，２，３
i). ｘ＝１のとき，ｙｚ＝４(１＋ｙ＋ｚ)
∴ｙ(ｚ－４)－４(ｚ－４)＝４＋１６
∴(ｙ－４)(ｚ－４)＝２０
ｘ＝１≦ｙ≦ｚより，－３≦ｙ－４≦ｚ－４
ｙ－４，ｚ－４は整数なので，
(ｙ－４，ｚ－４)＝(１，２０)，(２，１０)，(４，５)
∴(ｙ，ｚ)＝(５，２４)，(６，１４)，(８，９)
ii). ｘ＝２のとき，２ｙｚ＝４(２＋ｙ＋ｚ)
∴ｙｚ＝２(２＋ｙ＋ｚ)
∴ｙ(ｚ－２)－２(ｚ－２)＝４＋４
∴(ｙ－２)(ｚ－２)＝８
ｘ＝２≦ｙ≦ｚより，０≦ｙ－２≦ｚ－２
ｙ－２，ｚ－２は整数なので，
(ｙ－２，ｚ－２)＝(１，８)，(２，４)
∴(ｙ，ｚ)＝(３，１０)，(４，６)
iii). ｘ＝３のとき，３ｙｚ＝４(３＋ｙ＋ｚ)
∴ｙ(３ｚ－４)－４／３・(３ｚ－４)＝１２＋１６／３
∴(３ｙ－４)(３ｙ－４)＝５２＝２２・１３
ｘ＝３≦ｙ≦ｚより，５≦３ｙ－４≦３ｚ－４
３ｙ－４，３ｚ－４は整数なので，このようなｙ，ｚは存在しない．
まとめると，
(ｘ，ｙ，ｚ)＝(１，５，２４)，(１，６，１４)，(１，８，９)，(２，３，１０)，(２，４，６)
ｘ，ｙ，ｚの大小関係を考えて，
{ｘ，ｙ，ｚ}＝{１，５，２４}，{１，６，１４}，{１，８，９}，{２，３，１０}，{２，４，６}・・・(1)
三角形の３辺の長さをａ，ｂ，ｃ（ａ，ｂ，ｃは正整数）とする．
ｓ＝(ａ＋ｂ＋ｃ)／２とすると，面積Ｓは，
Ｓ＝{ｓ(ｓ－ａ)(ｓ－ｂ)(ｓ－ｃ)}１／２＝ａ＋ｂ＋ｃ
∴(ａ＋ｂ＋ｃ)／２・(－ａ＋ｂ＋ｃ)／２・(ａ－ｂ＋ｃ)／２・(ａ＋ｂ－ｃ)／２＝(ａ＋ｂ＋ｃ)２
ａ＋ｂ＋ｃ≠０から，
(－ａ＋ｂ＋ｃ)(ａ－ｂ＋ｃ)(ａ－ｂ＋ｃ)＝１６(ａ＋ｂ＋ｃ)・・・(2)
ここで，
(－ａ＋ｂ＋ｃ)＋(ａ－ｂ＋ｃ)＝２ｃ，(ａ－ｂ＋ｃ)＋(ａ＋ｂ－ｃ)＝２ａ
は共に偶数であるので，－ａ＋ｂ＋ｃ，ａ－ｂ＋ｃ，ａ＋ｂ－ｃの偶奇は一致する．
(1)より，－ａ＋ｂ＋ｃ，ａ－ｂ＋ｃ，ａ＋ｂ－ｃは偶数である．
三角不等式より，ａ＜ｂ＋ｃ，ｂ＜ｃ＋ａ，ｃ＜ａ＋ｂ
故にｘ，ｙ，ｚを正整数として，
－ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｘ・・・(3)
ａ－ｂ＋ｃ＝２ｙ・・・(4)
ａ＋ｂ－ｃ＝２ｚ・・・(5)
とする．
{(4)＋(5)}÷２より，ａ＝ｙ＋ｚ・・・(6)
{(3)＋(5)}÷２より，ｂ＝ｚ＋ｘ・・・(7)
{(3)＋(4)}÷２より，ｃ＝ｘ＋ｙ・・・(8)
(2)から，２ｘ・２ｙ・２ｚ＝１６・{(ｘ＋ｙ)＋(ｙ＋ｚ)＋(ｚ＋ｘ)}
∴ｘｙｚ＝４(ｘ＋ｙ＋ｚ)
(1)から，
{ｘ，ｙ，ｚ}＝{１，５，２４}，{１，６，１４}，{１，８，９}，{２，３，１０}，{２，４，６}
(6)，(7)，(8)から，
{ａ，ｂ，ｃ}＝{６，２５，２９}，{７，１５，２０}，{９，１０，１７}，{５，１２，１３}，{６，８，１０}
（参考）直角三角形に限って計算してみる．
３辺の長さを，
ｋ(ｍ２－ｎ２)，２ｋｍｎ，ｋ(ｍ２＋ｎ２)（ｍ，ｎ，ｋは正整数，ｍ，ｎは互いに素，ｍ＞ｎ，ｍ，ｎは共に奇数になることはない）
とする．
面積Ｓは，
Ｓ＝１／２・ｋ(ｍ２－ｎ２)・２ｋｍｎ＝ｋ(ｍ２－ｎ２)＋２ｋｍｎ＋ｋ(ｍ２＋ｎ２)
∴ｋ２ｍｎ(ｍ＋ｎ)(ｍ－ｎ)＝２ｋｍ(ｍ＋ｎ)
ｋｍ(ｍ＋ｎ)≠０から，ｋｎ(ｍ－ｎ)＝２
ｋ，ｎ，ｍ－ｎは正整数なので，
i). ｋ＝１のとき，ｎ(ｍ－ｎ)＝２
∴ｎ＝１，ｍ－ｎ＝２ または ｎ＝２，ｍ－ｎ＝１
∴ｍ＝３，ｎ＝１ または ｍ＝３，ｎ＝２
条件より，ｍ＝３，ｎ＝２
故にこの直角三角形の３辺は，５，１２，１３
ii). ｋ＝２のとき，ｎ(ｍ－ｎ)＝１
∴ｎ＝ｍ－ｎ＝１
∴ｍ＝２，ｎ＝１
故にこの直角三角形の３辺は，６，８，１０
問題４
ひし形の場合．
直観的には，辺の長さが３，４，５である直角三角形を使って，次のひし形が条件に合うことが分かる．
一般的に，１辺の長さがａのひし形ＡＢＣＤ（ａは正整数）を考える．
対角線ＡＣ，ＢＤの交点をＥとする．
∠ＡＢＥ＝θ（０＜θ＜π／２）とすると，
ＡＥ＝ａsinθ，ＢＥ＝ａcosθ
故に面積Ｓは，
Ｓ＝１／２・ＡＣ・ＢＤ＝１／２・２ａsinθ・２ａcosθ＝２ａ２sinθcosθ＝ａ２sin２θ＝４ａ
∴sin２θ＝４／ａ
０＜sin２θ≦１より，０＜４／ａ≦１
∴ａ≧４
ａ＝４のとき，θ＝π／４となり，問題１の正方形となる．
ａ≧５のとき，
θ＝１／２・arcsin(４／ａ)
故に条件を満たす，１辺の長さがａ（ａは５以上の整数）の正方形以外のひし形が存在する．
平行四辺形の場合．
長方形やひし形でない平行四辺形ＡＢＣＤにおいて，ＡＢ＝ａ，ＡＤ＝ｂ（ａ，ｂは正整数，ａ＜ｂ）とする．
Ａから直線ＢＣに垂線ＡＨを下ろし，ＢＨ＝ｃ（０＜ｃ＜ｂ）とすると，
ＡＨ＝(ＡＢ２－ＢＨ２)１／２＝(ａ２－ｃ２)１／２
故に面積Ｓは，
Ｓ＝ＡＤ・ＡＨ＝ｂ(ａ２－ｃ２)１／２＝２(ａ＋ｂ)
∴ｂ２(ａ２－ｃ２)＝４(ａ＋ｂ)２
∴ｂ２ｃ２＝ａ２ｂ２－４(ａ＋ｂ)２
∴ｃ２＝{ａ２ｂ２－４(ａ＋ｂ)２}／ｂ２
∴ｃ＝{ａ２ｂ２－４(ａ＋ｂ)２}１／２／ｂ
このようなｃ（０＜ｃ＜ｂ）が存在すればよい．
（発展）平行四辺形でない等脚台形の場合を考えてみる．
ＡＢ＝ＣＤ＝ａ，ＡＤ＝ｂ，ＢＣ＝ｃ（ａ，ｂ，ｃは正整数，ｂ＜ｃ）であり，ＡＤ//ＢＣである等脚台形を考える．
ＡからＢＣに垂線ＡＨを下すと，
ＡＨ＝(ＡＢ２－ＢＨ２)１／２＝[ａ２－{(ｃ－ｂ)／２}２]１／２＝１／２・{４ａ２－(ｃ－ｂ)２}１／２
面積Ｓは，
Ｓ＝１／２・(ＡＤ＋ＢＣ)・ＡＨ＝１／２・(ｂ＋ｃ)・１／２・{４ａ２－(ｃ－ｂ)２}１／２
＝２ａ＋ｂ＋ｃ
∴(ｂ＋ｃ)２{４ａ２－(ｃ－ｂ)２}＝１６(２ａ＋ｂ＋ｃ)２
∴４{(ｂ＋ｃ)２－１６}ａ２－６４(ｂ＋ｃ)ａ－(ｂ２－ｃ２)２－１６(ｂ＋ｃ)２＝０
このａの方程式が，正整数解ａを持てばよい．
例えば，
NO3「早起きのおじさん」 04/27 23時41分 受信 更新 5/12
問題1
長方形の縦横の長さをそれぞれx、yとします。
周の長さは2(x＋y)、面積はxy 。
(これらの式は、基本対称式からなっています)
これらの値が等しいとすると、
解は、グラフより、3×6の長方形と、4×4の正方形です。
問題2
底辺の長さがx、他の辺の長さがyの二等辺三角形を考えます。
周の長さは、x＋2y、
面積はヘロンの公式より、
これらの値が等しいとして、整理すると、
ここで、左辺は偶数です。
右辺は、xが偶数のとき偶数ですが、奇数のときは奇数です。
xは偶数でなければなりません。
x＝2ｍとします。
周の長さは、2(m＋y)
面積は、
これらの値が等しいとして、整理すると、
yについて解くと、
－mは負になるので捨てます。
黄色の部分は、
|
m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
9より大 |
|
8m |
8 |
16 |
24 |
32 |
40 |
48 |
56 |
64 |
72 |
･･･ |
|
m2－4 |
-3 |
0 |
5 |
12 |
21 |
32 |
45 |
60 |
77 |
･･･ |
|
値 |
負 |
× |
4.8000 |
2.6667 |
1.9048 |
1.5000 |
1.2444 |
1.0667 |
0.9351 |
1より小 |
表より、yが正の整数になることはありません。
●xyz＝4(x＋y＋z)を解きます。
解は、x、y、zについて対称です。
zを定数としてとらえ、xの分数関数yを考えます。
水色の部分を考えると、
z＝1のとき、x＝1、2、3のときyは負、x＝4でyは定義されないので、5以上を考えます。
z＝2のとき、x＝1のときyは負、x＝2でyは定義されないので、3以上を考えます。
z＝3のとき、x＝1のときyは負なので、2以上を考えます。
z＝4のとき、x＝1でyは定義されないので、2以上を考えます。
この分数関数は、y＝xに関して対称です。
yの値を調べるとき、はじめのxは縦の漸近線の次の整数の値から始め、そのときのyの値より大きなxは調べません。
yの値が整数にならないからです。
z＞4のとき、x＝1とすると、
なので、この値より大きなxについて調べる必要はありません。
yの値の表
以上から、(1,5,24)、(1,6,14)、(1,8,9)、(2,3,10)、(2,4,6) が解です。
(x、y、zの小さい順に整理しました)
問題3
三角形の3辺をx、y、zとします。
周の長さは、x＋y＋z、
面積はヘロンの公式より、
これらの値が等しいとすると、
ここで、
とおくと、
なので、
ゆえに、上の結果を用いて、
とすると、
なので、
とすると、
なので、
とすると、
なので、
とすると、
なので、
とすると、
なので、
つまり、3辺が、(29,25,6)、(20,15,7)、(17,10,9,)、(13,12,5)、(10,8,6) の三角形です。
波線の解は、直角三角形です。
問題4
○初めにひし形を考えます。
ひし形の1辺の長さをx、内角の1つの大きさをθとします。
周の長さは4x、面積はx2sinθです。
これらの値が等しいとすると、
x＝4,5,6,･･･ のとき、成立します。
x＝4のときは、問題1の正方形のときです。
○次に平行四辺形を考えます。
閉講四辺形の2辺の長さをx、y、内角の一つの大きさをθとします。
周の長さは2(x＋y)、面積はxy sinθです。
これらの値が等しいとすると、
グラフより、
x＝1,2のときは、成立しません。
x＝3のときは、yは6以上の整数です。
x＝4のときは、yは4以上の整数です。
x＝5のときも、yは4以上の整数です。
x＝6のときは、yは3以上の整数です。
xが7以上のときは、yは3以上の整数です。
NO4「三角定規」
05/08 22時54分 受信 更新 5/12
10連休中，何度もチャレンジしたのですが。
今回はキチンと解くことができませんでした。
【問題１】
試行錯誤の後エクセルまで動員して探し，添付図の２つを見つけはしましたが，「解いた」といえるものではありません。
＜水の流れ：問題文の不備につき、お詫びとします＞
問題１ ある図形が長方形（正方形を含む）であるとき、それを見つけなさい。
（２個あります）
この件ですが、長方形（正方形を含む）の中で考えて、
辺の長さがすべて整数で、周の長さと面積が同じという意味で出題しました。
で、他の三角形との組でなくて、同じ図形の中での意図でした。
で、 （２個あります）という表現をしていまして、2組とは表現しておりません。
いずれにしても、誤解意を招くことになり、お詫びします。
それより、発見された三角形と長方形の2組ですが、
この事の方が大変な価値があります。
誰も調べていなければ、すごい発見です。
アップしたとき、これっを見られた方は驚かれるのではないでしょうか。
【問題３】
不定方程式
xyz＝4(x＋y＋z)
は，
(x, y, z)＝(1,5,24), (1,6,14), (1,8,9), (2,3,10), (2,4,6)
と解くことができ，これらから
(x＋y, x＋z, y＋x)＝(6,25,29), (7,15,20), (9,10,17),
(5,12,13), (6,8,10)
を作ると，これら3数は3角形の3辺をなし，面積と周が等しい整数値になるところまではわかったのですが，問題の解答に結びつけることができません。
今回はご常連の方々の解答から勉強させていただきます。
では，また次回（解けたらですが）。
＜水の流れから、後で気が付いたのですが、問題３は第288回ヘロンの三角形（２）と同じ問題でした。多く出題していると同じ思考に陥りお許しください。＞
NO3「早起きのおじさん」 05/19 16時48分 受信 更新 5/19
第372回［周長と面積が同じ図形］の問題で、「三角定規」さんの問題1をまねてみました。
他に1つ見つけたので、書いてみます。
さらに解があるかは、分かりません。
他の考え方、下のm、nの割り振りの�に手をつけていなからです。
考えのあらすじを書きます。
左の図のように、直角三角形を2個つなげます。
2mn＝p2−q2＝(p＋q)(p―q)
m、n、p、qは整数です。
左辺が偶数であることから、p、qの和差ともに偶数です。
p＋q＝2x
p―q＝2y
とおきます。
2mn＝(p＋q)(p―q)＝4xy
mn＝2xy
ここで、m、nの割り振りは次のようです。(m＞n、x＞y)
|
|
① |
② |
③ |
④ |
⑤ |
⑥ |
|
m |
2xy |
2x |
2y |
xy |
x |
その他 |
|
n |
1 |
y |
ｘ |
2 |
2ｙ |
③の場合
周は、(4y2+x2)＋2(x2+y2)＋(4y2-x2)＋2(x2-y2)＝2(2x2+4y2)
面積は、{(4y2-x2)＋2(x2-y2)}×2xy＝2xy(x2+2y2)
長方形の1辺をAとすると、
(2x2+4y2−A)A＝2xy(x2+2y2)
これをAの2次方程式として解き、根号の中が平方数になるようにします。
すると、面倒な計算をして、次の長方形が見つかります。
NO3「早起きのおじさん」 06/04 21時33分 受信 更新 6/05
第372回［周長と面積が同じ図形］の問題で、他に2つ見つけたので、書きます。
さらに解があるかは、分かりません。
考え方は前回と同じです。
長方形は、54×189です。
2つめ 三角形は、
長方形は、294×1029です。
NO3「早起きのおじさん」 06/05 18時56分 受信 更新 6/06
三角形と長方形で周の長さと面積が等しいものを並べます。
（すでに連絡したものと新しいものがあります。また、②と⑤は相似です。）
上の結果を整理します。（①と③は省きます）
上の左の図で、2mn=p2－q2＝(p＋q)(p－q) です。
p＋q＝2x、p－q＝2y とおくと、
p＝x＋y、q＝x－y なので、右の図のように考えます。
kは奇数です。
上の表をkで表してみます。
mは3k、nは2k、m2＋n2は13k2、m2－n2は5k2、2mnは12k2、
xyは3k2、xは3k、yはk、2(x2＋y2)は20k2、2(x2－y2)は16k2、
fは6k2、gは21k2、です。
三角形の周は、a＋b＋d＋e＝13k2＋5k2＋20k2＋16k2＝54k2
長方形の周は、2(f＋g)＝2(6k2＋21k2)
三角形の面積は、(b＋e)c/2＝(5k2＋16k2)×12k2／2
長方形の面積は、fg＝6k2×21k2
となります。
① 、③のパターンについては、わかりません。
NO3「早起きのおじさん」 06/06 09時53分 受信 更新 6/06
ふと気づいたので送ります。
昨日の整理は、すべて相似でした。
②、④、⑤、⑥、⑦、⑧は同じものでした。
③のことを考えていて気付きました。
結局②と③以外は、今のところ分かりません。
勘違い失礼しました。
NO3「早起きのおじさん」 06/09 17時41分 受信 更新 6/10
前回は、勘違いで申し訳ありませんでした。
今回は、問題ないと思います。
もう少し調べて定性的なことがありそうな気もしますが今回は止めます。
左の三角形が決まれば、右の三角形を計算で求められるように感じます。
また、長方形が三角形の底辺以外のものについては、今は良くわかりません。
【１】ピタゴラス数
直角三角形の3辺にあたる数は、上の表の中にあらわれます。
ただし、①と②は相似の直角三角形です。
②の辺aとbを入れ替えると、6、8、10となりわかりやすくなります。
しかし、例えば、三辺が9、12、15のものは、表には現れません。
15＝1＋14＝2＋13＝3＋12＝4＋11＝5＋10＝6＋9＝7＋8 のように2個とも平方数にはならないからです。
【２】三角形と長方形の周と面積が等しいという場合を考えます。
先ず、結果を表にして整理します。
長方形の縦は、辺bの半分、横はaとdの和とします。
すると面積は必ず等しいので、周の長さを調べればよいことになります。
【３】さて、次の左の図でABの半分の長さをADとし、OB＝OC＋CDの場合を考えます。
点Bの座標を(x,y)とします。
比較して整理すると、
となります。
直線OBに点が乗っていれば(on)、OB＝OC+CDです。
OBの上方に点があれば(over)、OB＞OC＋CDです。
上の右の図で、
c＝13、OC＋CD＝6＋5＝11より、cの方が2長いです。
e＝20、DE＋EF＝16＋6＝22より、DE＋EFの方が2長いです。
周を調べるとき、三角形の底辺と長方形の横の辺とは等しいので、
(c＋e)と(OC＋CD＋DE＋EF)でみます。
左側はcが、c－(b/2＋a)長く、
右側はDE＋EFが、d＋b/2－e長いので、
c－(b/2＋a)＝d＋b/2－eより、
e－d＝a＋b－c
この結果を用いて解を探すには、
次の表を用意します。
ピタゴラス数の表をbの長さでソートし、斜辺と横の辺の差も記入しておきます。
5(a)、12(b)、13(c)の相棒を探すには、先ずa＋b－c＝5＋12－13＝4を計算します。
表のbが12のところを見ると、差が8、2の2つしかありません。（4のものはありません）
次に、12(b)の約数4の6まで表を上にいきます。
d、b、eは、8、6、10（差は2）なので、2倍すると、16、12、20（差は4）です。
斜辺と横の辺の差が4なのでこれを採用します。
念のため、12(b)の約数の4まで表を上にいきます。
d、b、eは、3、4、5（差は2）なので、3倍すると、9、12、15（差は6）です。
斜辺と横の辺の差が6なのでこれはだめです。
こんな要領で解が求まります。
また、【２】の解の3と7には別解があって次のもの条件を満たします。
NO3「早起きのおじさん」 06/10 18時36分 受信 更新 6/10
372追加3
三角形と長方形の周と面積が等しいという場合を一般的に考えます。
長方形の縦は、辺bの半分、横はaとdの和とします。
すると面積は必ず等しいので、周の長さを調べればよいことになります。
三角形の2辺と長方形の3辺の和が等しくなればよいわけです。
OP＋PQ＝OC＋CD＋DE＋EQ
a、b、dを用いて整理します。
dで整理します。
この式をdの2次方程式として解くと、
初めに、OPの傾きが4/3以上としておくと、複合は＋が適当なので、
例えば、a=3、b＝4とすると、
例えば、a=5、b＝12とすると、
となり、次の表と一致します。
＜コメント：昨日の夜、ふと浮かんだので書きました。372はこれで止めます。＞
NO3「早起きのおじさん」 06/12 16時48分 受信 更新 6/12
＜コメント：昨日ホームページの私の一日の6/10のところをを見たときに、究極的な考えとあったのでまた書きます。
おまけの3は、左の直角三角形が決まれば、右の直角三角形が決まります。
しかし、底辺の和が長方形の横になるというものでした。
別解４は出せません。
おまけの4の方は、おまけの3で別解としたものも探せます。
この方が究極的な考えにより近いと思います。
ただし手間はかかります。＞
372追加4
【先ず】三角形と長方形の周と面積が等しいという場合を一般的に考えます。
長方形の縦は、辺bの半分に限らずf、横はgとします。
左側の直角三角形をもとに考えます。
横a、縦bの直角三角形の斜辺は整数です。(given)
そこに横dの直角三角形をつけたときに、斜辺が整数となり、周の長さと面積が同じ長方形があるか考えます。
右の直角三角形の斜辺の長さは、
です。
これが整数でなければなりません。
とおきます。
bを偶数とします。（奇数だとk＋d、k－dがともに奇数で、k、dが整数にならない）
k、dはともに奇数か、ともに偶数です。
【具体例１】a＝7、b＝24のときを調べます。
576を素因数分解すると、576＝26×32
24までの偶数の約数を小さい順に並べると、2、4、6、8、12、16、18、(24)
表から、次の3辺をもつ直角三角形をつなげればよいわけです。(45、24、51)、(18、24、30)
【具体例２】a＝15、b＝112のときを調べます。
12544を素因数分解すると、576＝28×72
112までの偶数の約数を小さい順に並べると、2、4、8、14、16、28、32、56、64、98、(112)
表から、次の3辺をもつ直角三角形をつなげればよいわけです。(441、112、455)、(66、112、130)
【こじつけ】
三角形の周の長さは、
三角形の面積は、
長方形の縦と横をf、gとすれば、
f、gが整数なので和も整数でなければなりません。
和をwとおきます。
整理すると、
wについて解くと、
根号の中を整理すると、
これが平方数でないとwが整数になりません。（面倒な計算をすることもなく当然ですが）
とおきます。
となり上に戻ります。
