令和元年７月７日

[流れ星]

　　　　第374回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：6月9日〜7月7日＞

［界斜・大斜の長さ］

　寛政3年（1791）の大垣市の大垣八幡宮に14題の算額が奉納されています。そのうちの第六問題が第６図です。

　また、嘉永３年（1850）には岐阜県郡上市の郡上八幡神社に４題の算額が奉納さえています。そのうちの第一問題が第1図です。

注：図では直角三角形に見えますが、実際はただの三角形になります。

　そこで、上の2題を参考にして、改題して出題します。

問題１　下図において、∠Ｂが直角な直角三角形ＡＢＣの辺ＢＣに二つの三角形ＡＢＤとＡＣＤの内接円の半径が等しいように点Ｄをとる。

このとき、線分ＡＤ＝ｄの長さは　であることを示せ。

　注：大垣八幡宮の問題はＢＣ＝a＝１５、ＡＣ＝ｂ＝１７、ＡＢ＝ｃ＝８のとき、ＡＤ＝ｄ＝１０を示す。

問題２、同じ下図において、三角形ＡＢＣの辺ＢＣに二つの三角形ＡＢＤとＡＣＤの内接円の半径が等しいように点Ｄをとる。

このとき、線分ＢＣ＝ａの長さはであることを示せ。

注：郡上八幡神社の問題はＡＢ＝ｃ＝６８，ＡＤ＝ｄ＝４０，ＡＣ＝ｂ＝２５７のとき、ＢＣ＝ａ＝３１５を示す。

　

参考文献：岐阜県の算額の解説　��木重之　著（自費出版）

NO1「早起きのおじさん」 06/21 17時49分　受信 更新 7/7

問題1

図の2つの内接円の半径をrとします。

、 です。

△ABDと△ACDの面積を2種類の方法で計算し、比を調べます。

底辺をBD、CDとすると、

rを用いると、

よって、

内項の積は、

外項の積は、

比較して、

下線部をcで整理すると、

ここで、b+d≠0、c+d≠0なので、

問題2

図でBD＝a₁、CD＝a₂、∠ADB＝θとします。

です。

△ABDと△ACDの面積の比は、a₁：a₂です。

(*)を代入し、整理すると、

△ABDより、

△ACDより、

よって、

(*)を代入し、整理すると、

(**)を代入し、整理すると、

下線部分は、

よって、

ここで、a≠0、b+d≠0、c+d≠0なので、

NO2「浜田明巳」 06/22 09時13分　受信 更新 7/7

問題１
　内接円の半径をｒとすると，
　　△ＡＢＤ＝１／２・ＡＢ・ＢＤ＝１／２・（ＡＢ＋ＢＤ＋ＡＤ)・ｒ
　　∴ｒ＝{ｃ・(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}／{ｃ＋(ｄ^２−ｃ^２)^１／２＋ｄ}・・・(1)
　また，
　　△ＡＤＣ＝１／２・ＡＢ・ＢＣ−１／２・ＡＢ・ＢＤ＝１／２・(ＡＤ＋ＤＣ＋ＡＣ)・ｒ
　　∴ｒ＝{ａｃ−ｃ・(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}／[ｄ＋{ａ−(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}＋ｂ]
　　　　＝ｃ{(ｂ^２−ｃ^２)^１／２−(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}／{ｂ＋ｄ＋(ｂ^２−ｃ^２)^１／２−(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}・・・(2)
　(1)，(2)，ｃ≠０から，
　　(ｄ^２−ｃ^２)^１／２／{ｃ＋ｄ＋(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}
　　　＝{(ｂ^２−ｃ^２)^１／２−(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}／{ｂ＋ｄ＋(ｂ^２−ｃ^２)^１／２−(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}
　　∴(ｄ^２−ｃ^２)^１／２・{ｂ＋ｄ＋(ｂ^２−ｃ^２)^１／２−(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}
　　　　＝{(ｂ^２−ｃ^２)^１／２−(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}・{ｃ＋ｄ＋(ｄ^２−ｃ^２)^１／２}
　　∴(ｄ^２−ｃ^２)^１／２・ｂ＋(ｄ^２−ｃ^２)^１／２・ｄ＋(ｄ^２−ｃ^２)^１／２・(ｂ^２−ｃ^２)^１／２−(ｄ^２−ｃ^２)
　　　　＝(ｂ^２−ｃ^２)^１／２・ｃ＋(ｂ^２−ｃ^２)^１／２・ｄ＋(ｂ^２−ｃ^２)^１／２・(ｄ^２−ｃ^２)^１／２−(ｄ^２−ｃ^２)^１／２・ｃ
　　　　　　−(ｄ^２−ｃ^２)^１／２・ｄ−(ｄ^２−ｃ^２)
　　∴(ｂ＋ｃ＋２ｄ)(ｄ^２−ｃ^２)^１／２＝(ｃ＋ｄ)(ｂ^２−ｃ^２)^１／２
　両辺とも非負なので，
　　∴(ｂ＋ｃ＋２ｄ)^２(ｄ^２−ｃ^２)＝(ｃ＋ｄ)^２(ｂ^２−ｃ^２)
　　∴{(ｂ＋ｃ)^２＋４(ｂ＋ｃ)ｄ＋４ｄ^２)(ｄ^２−ｃ^２)＝(ｃ^２＋２ｃｄ＋ｄ^２)(ｂ^２−ｃ^２)
　　∴(ｂ＋ｃ)^２ｄ^２＋４(ｂ＋ｃ)ｄ^３＋４ｄ^４−(ｂ＋ｃ)^２ｃ^２−４(ｂ＋ｃ)ｃ^２ｄ−４ｃ^２ｄ^２
　　　　＝ｃ^２(ｂ^２−ｃ^２)＋２ｃ(ｂ^２−ｃ^２)ｄ＋(ｂ^２−ｃ^２)ｄ^２
　　∴２ｄ^４＋２(ｂ＋ｃ)ｄ^３＋(ｂ−ｃ)ｃｄ^２−(ｂ＋ｃ)^２ｃｄ−ｂｃ^２(ｂ＋ｃ)＝０
　　∴{２ｄ^２−(ｂ＋ｃ)ｃ}{ｄ^２−(ｂ＋ｃ)ｄ＋ｂｃ}＝０
　　∴{２ｄ^２−(ｂ＋ｃ)ｃ}(ｄ−ｂ)(ｄ−ｃ)＝０
　条件より，ｄ＞０，(ｂ＋ｃ)ｃ＞０，ｃ＜ｄ＜ｂ
　　∴ｄ＝[{(ｂ＋ｃ)ｃ}／２]^１／２

問題２
　ＢＤ＝ｘとし，ＡからＢＣに垂線ＡＨを下すと，
　　△ＡＢＤ＝１／２・ＢＤ・ＡＨ＝１／２・(ＡＢ＋ＢＤ＋ＡＤ)・ｒ
　　∴ｘ・ＡＨ＝(ｃ＋ｘ＋ｄ)ｒ
　　∴ＡＨ＝(ｃ＋ｄ＋ｘ)ｒ／ｘ・・・(1)
　また，
　　△ＡＤＣ＝１／２・ＤＣ・ＡＨ＝１／２・(ＡＤ＋ＣＤ＋ＡＣ)・ｒ
　　∴(ａ−ｘ)・ＡＨ＝{ｄ＋(ａ−ｘ)＋ｂ}ｒ
　　∴ＡＨ＝(ａ＋ｂ＋ｄ−ｘ)ｒ／(ａ−ｘ)・・・(2)
　(1)，(2)から，
　　(ｃ＋ｄ＋ｘ)／ｘ＝(ａ＋ｂ＋ｄ−ｘ)／(ａ−ｘ)
　　∴(ｃ＋ｄ＋ｘ)(ａ−ｘ)＝(ａ＋ｂ＋ｄ−ｘ)ｘ
　　∴ａ(ｃ＋ｄ)＋ａｘ−(ｃ＋ｄ)ｘ−ｘ^２＝(ａ＋ｂ＋ｄ)ｘ−ｘ^２
　　∴(ｂ＋ｃ＋２ｄ)ｘ＝ａ(ｃ＋ｄ)
　　∴ｘ＝ａ(ｃ＋ｄ)／(ｂ＋ｃ＋２ｄ)・・・(3)

　直角三角形ＡＢＨ，ＡＤＨ，ＡＣＨにおいて，
　　ＡＨ^２＝ＡＢ^２−ＢＨ^２＝ＡＤ^２−ＤＨ^２＝ＡＣ^２−ＣＨ^２
　　∴ｃ^２−(ｘ−ＤＨ)^２＝ｄ^２−ＤＨ^２＝ｂ^２−(ａ−ｘ＋ＤＨ)^２
　ｃ^２−(ｘ−ＤＨ)^２＝ｄ^２−ＤＨ^２から，
　　ｃ^２−ｘ^２＋２ＤＨ・ｘ−ＤＨ^２＝ｄ^２−ＤＨ^２
　　∴ＤＨ・２ｘ＝ｄ^２−ｃ^２＋ｘ^２
　　∴ＤＨ＝(ｄ^２−ｃ^２＋ｘ^２)／(２ｘ)・・・(4)
　ｄ^２−ＤＨ^２＝ｂ^２−(ａ−ｘ＋ＤＨ)^２から，
　　ｄ^２−ＤＨ^２＝ｂ^２−(ａ−ｘ)^２−２(ａ−ｘ)・ＤＨ−ＤＨ^２
　　∴ＤＨ・２(ａ−ｘ)＝ｂ^２−(ａ−ｘ)^２−ｄ^２
　　∴ＤＨ＝{ｂ^２−(ａ−ｘ)^２−ｄ^２}／{２(ａ−ｘ)}・・・(5)
　(4)，(5)から，
　　(ｄ^２−ｃ^２＋ｘ^２)／(２ｘ)＝{ｂ^２−(ａ−ｘ)^２−ｄ^２}／{２(ａ−ｘ)}
　　∴(ｄ^２−ｃ^２＋ｘ^２)(ａ−ｘ)＝(ｂ^２−ａ^２＋２ａｘ−ｘ^２−ｄ^２)ｘ
　　∴ａ(ｄ^２−ｃ^２)＋ａｘ^２−(ｄ^２−ｃ^２)ｘ−ｘ^３＝(ｂ^２−ａ^２−ｄ^２)ｘ＋２ａｘ^２−ｘ^３
　　∴ａｘ^２＋(ｂ^２−ａ^２−ｃ^２)ｘ＋ａ(ｃ^２−ｄ^２)＝０
　(3)を代入すると，
　　ａ・ａ^２(ｃ＋ｄ)^２／(ｂ＋ｃ＋２ｄ)^２＋(ｂ^２−ａ^２−ｃ^２)・ａ(ｃ＋ｄ)／(ｂ＋ｃ＋２ｄ)＋ａ(ｃ^２−ｄ^２)＝０
　両辺に，(ｂ＋ｃ＋２ｄ)^２／{ａ(ｃ＋ｄ)}をかけると，
　　ａ^２(ｃ＋ｄ)＋(ｂ^２−ａ^２−ｃ^２)(ｂ＋ｃ＋２ｄ)＋(ｃ−ｄ)(ｂ＋ｃ＋２ｄ)^２＝０
　　∴ａ^２(ｃ＋ｄ)＋(ｂ^２−ｃ^２)(ｂ＋ｃ＋２ｄ)−ａ^２(ｂ＋ｃ＋２ｄ)＋(ｃ−ｄ)(ｂ＋ｃ＋２ｄ)^２＝０
　　∴ａ^２(ｂ＋ｄ)＝(ｂ^２−ｃ^２)(ｂ＋ｃ＋２ｄ)＋(ｃ−ｄ)(ｂ＋ｃ＋２ｄ)^２
　　　　　　　　　＝{(ｂ^２−ｃ^２)＋(ｃ−ｄ)(ｂ＋ｃ＋２ｄ)}(ｂ＋ｃ＋２ｄ)
　　　　　　　　　＝{(ｂ^２＋(ｃ−ｄ)ｂ＋ｄ(ｃ−２ｄ)}(ｂ＋ｃ＋２ｄ)
　　　　　　　　　＝(ｂ＋ｄ)(ｂ＋ｃ−２ｄ)(ｂ＋ｃ＋２ｄ)
　　∴ａ^２＝(ｂ＋ｃ−２ｄ)(ｂ＋ｃ＋２ｄ)＝(ｂ＋ｃ)^２−４ｄ^２
　故に題意は示された．

NO3「三角定規」 07/07 13時51分　受信 更新 7/7