kadai78

令和元年８月４日

[流れ星]

　　　　第375回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：７月７日～８月4日＞

［大小2円の直径の和］

　天保12年（1841）～弘化2年（1845）に岐阜県不破郡垂井町の南宮大社に9題の算額が奉納されています。そのうちの第7問題が下図です。

題意

正方形ＡＢＣＤ内に直角三角形ＣＥＦを書き、大小２円Ｏ，Ｏ_１を内接させる。正方形の1辺の長さをａとするとき、大小２円の直径の和を最大にしたい。このとき、直角三角形の二辺の長さを求めよ。ここで、図のようにＡＥ＝ｂ，ＥＢ＝ｃ，ＡＦ＝ｄ，ＥＦ＝ｘ，ＣＥ＝ｙとし，２円Ｏ，Ｏ_１の半径をＲ，ｒとする。

＜水の流れ：微分して解いたのですが。＞

＜参考：関流九伝とは和算の流派の一つ。数学の流派はその研究の対象が数学なので，流派の間の違いはほとんどない。流派によってはほんの少し数式の表し方に違いのあることもある。関流というのは，関孝和の弟子，あるいは孫弟子に教わったという意味である。＞

参考文献：岐阜県の算額の解説　髙木重之　著（自費出版）

「二度漬け白菜」 07/07 22時23分　受信更新 8/4

第375回数学的な応募問題の解答

ペンネーム：二度漬け白菜

(解答)
a=1として考えればよい．

CE=((CB)^2+(BE)^2)^(1/2)=(1+c^2)^(1/2)．
R=(CB)*(BE)/(CB+BE+CE)=c/(1+c+(1+c^2)^(1/2))．
△CBEと△EAFは相似であり、相似比は，
CB:EA=1:(1-c)．
よって，r=(1-c)*R．

二つの円の直径の和は，
2*(R+r)
=2*(2-c)*R
=2*(2-c)*c/(1+c+(1+c^2)^(1/2))
=(2-c)*(1+c-(1+c^2)^(1/2))．

ここで,　(1+c^2)^(1/2)-c=t とおく．
c=(1-t^2)/(2*t) であり，0<c<1 とから，
2^(1/2)-1<t<1．

2*(R+r)
=(2-c)*(1+c-(1+c^2)^(1/2))
=(4*t-1+t^2)*(1-t)/(2*t)
=5/2-(1/2)*(1/t+3*t+t^2)．

今からw)ｦ憎丑・蟹・・焔u桙ﾌ最小値を，相加平均と相乗平均に
関する不等式を使って求める．

1/t+3*t+t^2
=(1/8)*(1/t+1/t+1/t+1/t+1/t+1/t+1/t+1/t
+4*t+4*t+4*t+4*t+4*t+4*t+8*t^2)
≧(1/8)*15*((1/t)^8*(4*t)^6*(8*t^2))^(1/15)
=15/4
(等号は，t=1/2 のときに成立する)

よって，2*(R+r)は　t=1/2 のとき(c=3/4のとき)，最大となる．
このとき，直角三角形CEFの二つの辺EC，EFはそれぞれ，
EC=(1+c^2)^(1/2)=5/4，
EF=(1-c)*EC=5/16．

元の問題の答えは次のようになる．
大小二つの円の直径の和が最大になるとき，
直角三角形の，直角をはさむ二辺EC，EFの長さは，
EC=(5/4)*a
EF=(5/16)*a
である．

「早起きのおじさん」 07/08 16時26分　受信更新 8/4

●右の図は、2辺の長さがa、cである直角三角形です。

半径Rの円が内接しています。

半径Rをa、cで表すことを考えます。

直線OQの方程式は、です。

半径Rの中心Sの座標は、(a－R,R)です。

点Sから直線OQまでの距離がRなので、

複合で、正(+)のものは、三角形の3辺の和になるので、内接円の半径Rにはなりません。

直角三角形に内接する円の直径の長さは、2辺の和から斜辺を引いた値です。

このことを用いて考えを進めます。

●直角三角形BCEとAEFに内接する2つの円の直径の和Wは、

ただし、cは、0＜c＜aの範囲です。

ここで、

なので、

よってWは、

ここで、下線部は正です。

よって、Wの導関数が0のときは、

増減表は次のようになります。

以上から、

直角三角形BCEの2辺は、と

直角三角形AEFの2辺は、と

「浜田明巳」 08/05 14時55分　受信更新 8/5

＜浜田さんのコメント：締め切り後ですが、投稿者が少ないようですし、違ったアプローチで。＞

△ＡＥＦ，△ＢＣＥにおいて，
　　ＥＦ^２＝ＡＥ^２＋ＡＤ^２，ＣＥ^２＝ＢＣ^２＋ＢＥ^２
　　∴ｘ＝(ｂ^２＋ｄ^２)^１／２，ｙ＝(ａ^２＋ｃ^２)^１／２
　また，△ＢＣＥにおいて，
　　ＣＥ＝(ＢＥ－Ｒ)＋(ＢＣ－Ｒ)＝ａ＋ｃ－２Ｒ
　　∴(ａ＋ｃ－２Ｒ)^２＝ａ^２＋ｃ^２
　　∴２ａｃ－４(ａ＋ｃ)Ｒ＋４Ｒ^２＝０
　　∴２Ｒ^２－２(ａ＋ｃ)Ｒ＋ａｃ＝０
　Ｒ＜ａ＋ｃより，
　　Ｒ＝{(ａ＋ｃ)－(ａ^２＋ｃ^２)^１／２}／２
　同様に，ｒ＝{(ｂ＋ｄ)－(ｂ^２＋ｄ^２)^１／２}／２
　　∴２(Ｒ＋ｒ)＝(ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ)－(ａ^２＋ｃ^２)^１／２－(ｂ^２＋ｄ^２)^１／２
　　　　　　　　＝(２ａ＋ｄ)－(ａ^２＋ｃ^２)^１／２－(ｂ^２＋ｄ^２)^１／２
　△ＣＤＦにおいて，ＣＤ^２＋ＤＦ^２＝ＣＦ^２
　　∴ａ^２＋(ａ－ｄ)^２＝ＥＦ^２＋ＣＥ^２＝(ｂ^２＋ｄ^２)＋(ａ^２＋ｃ^２)
　　∴ａ^２－２ａｄ＝ｂ^２＋(ａ－ｂ)^２
　　∴ｂ^２－ａｂ＋ａｄ＝０
　ａ＞ｂより，
　　ｂ＝(ａ－(ａ^２－４ａｄ)^１／２}／２
　　∴ｂ^２＋ｄ^２＝{ａ^２－２ａ(ａ^２－４ａｄ)^１／２＋(ａ^２－４ａｄ)}／４＋ｄ^２
　　　　　　　　＝１／２・ａ^２－１／２・ａ(ａ^２－４ａｄ)^１／２－ａｄ＋ｄ^２，
　　　ａ^２＋ｃ^２＝ａ^２＋(ａ－ｂ)^２
　　　　　　　　＝ａ^２＋[{ａ＋(ａ^２－４ａｄ)^１／２}／２]^２
　　　　　　　　＝ａ^２＋{ａ^２＋２ａ(ａ^２－４ａｄ)^１／２＋(ａ^２－４ａｄ)}／４
　　　　　　　　＝３／２・ａ^２＋１／２・ａ(ａ^２－４ａｄ)^１／２－ａｄ
　　∴２(Ｒ＋ｒ)＝２ａ＋ｄ－{３／２・ａ^２＋１／２・ａ(ａ^２－４ａｄ)^１／２－ａｄ}^１／２
　　　　　　　　　　－{１／２・ａ^２－１／２・ａ(ａ^２－４ａｄ)^１／２－ａｄ＋ｄ^２}^１／２

　ここで，ｄ／ａ＝ｘ，ｆ(ｘ)＝２(Ｒ＋ｒ)／ａとすると，
　　ｆ(ｘ)＝２＋ｘ－{３／２＋１／２・(１－４ｘ)^１／２－ｘ}^１／２
　　　　　　　－{１／２－１／２・(１－４ｘ)^１／２－ｘ＋ｘ^２}^１／２
　また，０＜ｘ＜１／４となる．

　グラフ表示ソフトＧＲＡＰＥＳを使い，最終的には１０^－１５きざみで調べた結果，
　　ｘ＝０.１８７５＝３／１６
のとき，ｆ(ｘ)は最大となる．

このとき，ｄ＝３／１６・ａ
　　∴ｂ＝{ａ－(ａ^２－４ａｄ)^１／２}／２＝{ａ－(ａ^２－３／４・ａ^２)^１／２}／２＝ａ／４，
　　　ｃ＝ａ－ｂ＝３／４・ａ
　　∴ｘ＝(ｂ^２＋ｄ^２)^１／２＝(ａ^２／１６＋９／１６２・ａ^２)^１／２＝５／１６・ａ，
　　　ｙ＝(ａ^２＋ｃ^２)^１／２＝(ａ^２＋９／１６・ａ^２)^１／２＝５／４・ａ
　故に，ｂ＝ａ／４，ｃ＝３／４・ａ，ｄ＝３／１６・ａのとき，ｘ＝５／１６・ａ，ｙ＝５／４・ａとなる．

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。