令和元年10月27日

[流れ星]

　　　　第379回数学的な応募問題

　　　　＜解答募集期間：10月27日〜11月24日＞

［素数の和］

　

　初めのｎ個の素数の和をS_ｎとおく。

例えば、S_１＝２、S₂=２＋３＝５、S_３＝２＋３＋５＝10　である。

任意の自然数ｎに対して、S_ｎとS_n+1の間に平方数が存在することを証明せよ。

　素数列は、２、３、５、７、11、13、17、・・・について、そのｎ番目の数がｎのどういう関数となるか分かっていません。上の問題を証明することは困難になります。

　

そこで、「一般化」した次の問題を証明してください。

問題　自然数列{a_ｎ}は次の条件をみたしている。

　a_１＝２、a_２＝３、a_ｎ＋１―a_ｎ≧２（ｎ≧２）

Sｎ＝a_１＋a_２＋・・・＋a_ｎ　

とおくとき、任意の自然数ｎに対して、S_ｎとS_n+1の間に平方数が存在することを証明せよ。

ヒント：背理法を利用してください。

＜出典：「数学的思考の構造」塚原成夫　著　（現代数学社）＞

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。