令和２年２月１６日

[流れ星]

　　　　第38２回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：１月19日〜２月16日＞

［規則性のある極限値］

過去に購読していた「初等数学」の第40号2000年9月号の中で、仁平政一さんの原稿を参考にして、作問しました。

さらに、「ジョーカー」さんから、前回、西暦2020年に因んだ問題が寄せられました。

投稿下されば、幸甚です。

以下のように訂正してください。＜ジョーカー＞より22日午前記

NO1「早起きのおじさん」 01/20 15時17分　受信 更新 2/16

382解答　早起きのおじさん

問題1

または、

問題2

または、

とおくと、

右辺は、

ここで、

よって、

問題3

問題4

とおくと、

右辺は、

ここで、

よって、

問題5

とおくと、

右辺は、

ここで、

よって、

問題6

とおくと、

右辺は、

ここで、

よって、

「早起きのおじさん」 01/23 18時28分　受信 更新 2/16

2020年に因んだ問題　解答　早起きのおじさん

●先ず、準備をします。

無理関数を整関数に展開します。

とすると、

･･･

よって、

さて、

とします。

　　･･･

よって、

すると、

●44×44=1936、45×45=2025です。

(1)

小数部分を調べます。

なので、小数部分は、

黄色の部分の小数に、青の部分の小数は大きな影響を与えないので、答えは、2019です。

(2)

の小数部分は、です。

一方

の小数部分は、です。

以上から、の小数部分の方が大きいです。

(3)

2重根号は、次のように外します。

　（このときの大小は逆でも）

です。

さて、

2020と2021は、そんなに変わらないので、積がとなる等しい2数を小さめに見積もると、

44・2020です

和は、2×44・2020＝88・2020(＞4・2020) なので実数の範囲では外せません。

(4)

場所を表すのに、1の位から(何)桁目で表すことにします。

掛け算の復習をします。

次の桁に繰り上がる場合は、｛1、2、3｝の3通りです。

●元の数の(2020)桁のところは、繰上りがないので｛1、2｝のどちらかです。

・元の数の(2020)は、1ではありません。

　1だとすると、答えの(2020)は、｛4、5、6、7｝のどれかです。

　4のとき、元の数の(1)が4となり、4×4＝16、で不適です。

　5のとき、元の数の(1)が5となり、5×4＝20、で不適です。

　6のとき、元の数の(1)が6となり、6×4＝24、で不適です。

　7のとき、元の数の(1)が7となり、7×4＝28、で不適です。

　以上からです。

・元の数の(2020)は、2です。

　2のとき、答えの(2020)は、｛8、9｝のどれかです。

　8のとき、元の数の(1)が8となり、8×4＝32、で適します。

　9のとき、元の数の(1)が9となり、9×4＝36、で不適です。

■元の数の(2020)は、2です。

●元の数の(2019)は、繰上りがないので｛1、2｝のどちらかです。

・2ではありません。

　2だとすると、答えの(2019)は、｛8、9｝のどれかです。

　8のとき、元の数の(2)が8となり、8×4＋3＝35、で不適です。

　9のとき、元の数の(2)が9となり、9×4＋3＝39、で不適です。

・元の数の(2019)は、1です。

　1のとき、答えの(2019)は、｛4、5、6、7｝のどれかです。

　4のとき、元の数の(2)が4となり、4×4＋3＝19、で不適です。

　5のとき、元の数の(2)が5となり、5×4＋3＝23、で不適です。

　6のとき、元の数の(2)が6となり、6×4＋3＝27、で適します。

　7のとき、元の数の(2)が7となり、7×4＋3＝31、で適します。

■元の数の(2019)は、1です。

●元の数の(2018)は、3繰り上がりがあるので｛7、8、9｝のどれかです。

・7だとすると、答えの(2018)は、下から３繰り上がりがあって｛1｝です。

　1のとき、元の数の(3)が1となり、1×4＋3＝7、で適します。

　

　・このとき、元の(2017)は3繰り上がるので｛7、8、9｝のどれかです。

7だとすると、答えの(2017)は、下から３繰り上がりの場合も入れて｛8、9、0、1｝です。

　　8のとき、元の数の(4)が8となり、8×4＝32、で不適です。

　　9のとき、元の数の(4)が9となり、9×4＝36、で不適です。

　　0のとき、元の数の(4)が0となり、0×4＝0、で不適です。

　　1のとき、元の数の(4)が1となり、1×4＝4、で不適です。

　　

8だとすると、答えの(2017)は、下から３繰り上がりの場合も入れて｛2、3、4、5｝です。

　 2のとき、元の数の(4)が2となり、2×4＝8、で適します。

　　3のとき、元の数の(4)が3となり、3×4＝12、で不適です。

　　4のとき、元の数の(4)が4となり、4×4＝16、で不適です。

　　5のとき、元の数の(4)が5となり、5×4＝20、で不適です。

　

これをみると、答えは「2178」が同じなので、2020÷4＝505 回繰り返す数です。

　　

9だとすると、答えの(2017)は、下から３繰り上がりの場合も入れて｛6、7、8、9｝です。

　 6のとき、元の数の(4)が6となり、6×4＝24、で不適です。

　　7のとき、元の数の(4)が7となり、7×4＝28、で不適です。

　　8のとき、元の数の(4)が8となり、8×4＝32、で不適です。

　　9のとき、元の数の(4)が9となり、9×4＝36、で不適です。

・8だとすると、答えの(2018)は、下から３繰り上がりの場合も入れて｛2、3、4、5｝です。

　2のとき、元の数の(3)が2となり、2×4＋3＝11、で不適です。

　3のとき、元の数の(3)が3となり、3×4＋3＝15、で不適です。

　4のとき、元の数の(3)が4となり、4×4＋3＝19、で不適です。

　5のとき、元の数の(3)が5となり、5×4＋3＝23、で不適です。

・9だとすると、答えの(2018)は、下から３繰り上がりの場合も入れて｛6、7、8、9｝です。

　6のとき、元の数の(3)が6となり、6×4＋3＝27、で不適です。

　7のとき、元の数の(3)が7となり、7×4＋3＝31、で不適です。

　8のとき、元の数の(3)が8となり、8×4＋3＝35、で不適です。

　9のとき、元の数の(3)が9となり、9×4＋3＝39、で適します。

答えは、(2020)が2、(2019)が1、(2)が7、(1)が8で、なかの2016桁がすべて9の数です。

　

二つのパターンがあるようです。

(5)

のように、2数の奇数乗の和は因数分解できます。

2021＝47×43です。

さて、これらの数を2行に並べます。

1行目は小さい順に、2行目は大きい順に並べます。

そして、上下の2数を加えます。

例えば、2列目は、

どの列も、47を因数にもつので、余りは0です。

NO2「スモークマン」 01/25 17時44分　受信 更新 2/16

(1)

n(n+1)/(2n^2)=n^2/(2n^2)+1/(2n^2)

so…1/2

(2)

Σk(k+1)＝Σk^2+Σk

=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

or

(1/n)^2+(2/n)^2+…+(n/n)^2<?<(n/(n+1))^2*{(2/(n+1)}^2+(3/(n+1))^2+…+(n+1)/(n+1))^2}

∫[0,1]x^2 dx<?<∫[0,1]x^2 dx

so…1/3

(3)

∫[0,1]√x*dx=[x^(3/2)/(1/2+1)]=2/3

(4)

(1/n)+(2/n)+…+(n/n)<?<((n+1)/n)*{2/(n+1)+3/(n+1)+…+(n+1)/(n+1)}

∫[0,1]xdx<?<(n+1)/n*∫[0,1]xdx

so…1/2

(5)

(1/n)^(p+1)+(2/n)^(p+1)+…+(n/n)^(p+1)<?<(n/(n+1))^(p+1)*{(2/(n+1))^(p+1)+(3/(n+1))^(p+1)+…+((n+1)/(n+1))^(p+1)}

so…

∫[0,1]x^(p+1) dx<?<∫[0,1]x^(p+1) dx

so…

1/(p+2)

(6)

(1/n)^(p+1)/2+(2/n)^(p+1)/2+…+(n/n)^(p+1)/2<?<((n+1)/n)^(p+1)/2*{(2/(n+1))^(p+1)/2+(3/(n+1))^(p+1)/2+…+((n+1)/(n+1))^(p+1)/2}

so…

∫[0,1] x^(p+1)/2 dx

=2/(p+3)

(1)

明らかに、

-1<√2019-√2020<0

2019<√(2019*2020)<2020

√(2019*2020)-2019=√2019*(√2020-√2019)

so…√2019*(√2020-√2019)-(√2020-√2019)= (√2020-√2019)(√2019-1)>0

つまり、√(2019*2020)の小数部分よりも、√2020-√2019の少数部分の方が小さいので、結局、与式の整数部分は2019

 (2)

8<√80<9

√80=9-r(80)・・・実際は(1-r(80))が√80の小数部分

44^2=1936<√2020<45^2=2025

so…

√2020=45-r(2020)

80*5^2=2000

so…

r(2020)>5*r(80)

so…

r(2020)>r(80)

so…

√80の小数の方が大きい

(3)

√2020*√(2*√2020+2021)

=√2020*(√2020+1)

=2020+√2020

と外せる。

(4)

2020=4*5*101

桁上がりがないので…

2?...?8 になるものを探すと…

21978

So…これが404回繰り返されるもの

(5)

2021=47*43

so…

(2021-1)^2019≡2020^2019≡-1^2019

(2021-2)^2019≡2019^2019≡-2^2019

…

(2021-1010)^2019≡1011^2019≡-1010^2019

から、与式≡0 (mod 47)

「スモークマン」 01/31 21時40分　受信 更新 2/16

2020年に因んだ問題

(3)再考…

(4)は友人からのものです…

(3)与式=√{(2020+√2020)+√2020(2020+√2020)}

　　　=√{(2020+√2020)*(√2020+1)}

　　　=(2020+√2020)/(2020)^(1/4)

=(2020)^(3/4)+(2020)^(1/4)

 (4)　X00……………00X　とする

　　X*4　がXと

逆順になっていれば条件を満たす。

　　Xが1、2、3桁ではなし　4桁では2178　5桁では21978　でOK

　（21780000……00002178）

　もちろんこれらが繰り返したり混在していてもOKで、そのほか

5万とあると思いますが。

NO3「浜田明巳」 02/10 10時02分　受信 更新 2/16

問題１
　　(１＋２＋３＋・・・＋ｎ)／ｎ^２
　　　＝{１／２・ｎ(ｎ＋１)}／ｎ^２
　　　＝１／２・(１＋１／ｎ)
　　　→１／２（ｎ→∞）

問題２
　　{１・２＋２・３＋３・４＋・・・＋ｎ・(ｎ＋１)}／ｎ^３
　　　＝１／ｎ^３・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ(ｋ＋１)
　　　＝１／ｎ^３・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ^２＋ｋ)
　　　＝１／ｎ^３・{１／６・ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)＋１／２・ｎ(ｎ＋１)}
　　　＝１／６・(１＋１／ｎ)(２＋１／ｎ)＋１／２・(１／ｎ＋１／ｎ^２)
　　　→１／３（ｎ→∞）

問題３
　　lim_ｎ→∞(√１＋√２＋√３＋・・・＋√ｎ)／(ｎ√ｎ)
　　　＝lim_ｎ→∞{(１／ｎ)^１／２＋(２／ｎ)^１／２＋(３／ｎ)^１／２＋・・・＋(ｎ／ｎ)^１／２}／ｎ
　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^１／２
　　　＝∫_{０≦ｘ≦１}ｘ^１／２ｄｘ
　　　＝２／３・[ｘ^３／２]_{０≦ｘ≦１}
　　　＝２／３

問題４
　ｋ＞０のとき，ｋ^２＜ｋ(ｋ＋１)＜(ｋ＋１)^２より，
　　ｋ＜{ｋ(ｋ＋１)}^１／２＜ｋ＋１
　ｋ＝１，２，３，・・・，ｎを代入し，辺々を加えると，
　　１／２・ｎ(ｎ＋１)＜Σ_{１≦ｋ≦ｎ}{ｋ(ｋ＋１)}^１／２＜１／２・ｎ(ｎ＋１)＋ｎ＝１／２・ｎ(ｎ＋３)
　ｎ^２＞０から，
　　１／２・(１＋１／ｎ)＜１／ｎ^２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}{ｋ(ｋ＋１)}^１／２＜１／２・(１＋３／ｎ)
　ｎ→∞とすると，最左辺，最右辺は共に１／２に収束するので，はさみうちの原理より，
　　lim_ｎ→∞１／ｎ^２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}{ｋ(ｋ＋１)}^１／２＝１／２

　尚，問題１〜４の式の分母の次数は，それぞれ，
　　２，３，３／２，２
となり，答の逆数となっている．

問題５
　ａ_１〜ａ_ｐを定数として，
　　ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)＝ｋ^ｐ＋１＋ａ_１ｋ^ｐ＋ａ_２ｋ^ｐ−１＋・・・＋ａ_ｐｋ
とすると，
　　１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)
　　　＝１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ^ｐ＋１＋ａ_１ｋ^ｐ＋ａ_２ｋ^ｐ−１＋・・・＋ａ_ｐｋ)
　　　＝１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^ｐ＋１＋ａ_１・１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^ｐ＋ａ_２・１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^ｐ−１
　　　　　＋・・・＋ａ_ｐ・１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ
　ここで，１≦ｍ≦ｐ，ｍは整数とすると，
　　lim_ｎ→∞１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^ｍ
　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ^{ｐ＋１−ｍ}・１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^ｍ
　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ^{ｐ＋１−ｍ}・lim_ｎ→∞１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^ｍ
　　　＝０・∫_{０≦ｘ≦１}ｘ^ｍｄｘ
　　　＝０
　　∴lim_ｎ→∞１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)
　　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ^ｐ＋１＋ａ_１ｋ^ｐ＋ａ_２ｋ^ｐ−１＋・・・＋ａ_ｐｋ)
　　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^ｐ＋１＋ａ_１・０＋ａ_２・０＋・・・＋ａ_ｐ・０
　　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^ｐ＋１
　　　　＝∫_{０≦ｘ≦１}ｘ^ｐ＋１ｄｘ
　　　　＝１／(ｐ＋２)・[ｘ^ｐ＋２]_{０≦ｘ≦１}
　　　　＝１／(ｐ＋２)
（確かに分母の指数が，答の逆数となっている）

問題６
　ｐ＝０のとき，問題３と同問題となり，２／３
　ｐ＞０のとき，問題５と同様に，
　　ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)＝ｋ^ｐ＋１＋ａ_１ｋ^ｐ＋ａ_２ｋ^ｐ−１＋・・・＋ａ_ｐｋ
とする．
　ａ＞０，ｂ＞０のとき，(ａ＋ｂ)^１／２＜√ａ＋√ｂであり，ａ_ｉ＞０（１≦ｉ≦ｐ）であるから，
　　ｋ^{(ｐ＋１)／２}＜{ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)}^１／２
　　　　　　　　　　　　　　＜ｋ^{(ｐ＋１)／２}＋√ａ_１・ｋ^ｐ／２＋√ａ_２・ｋ^{(ｐ−１)／２}＋・・・＋√ａ_ｐ・ｋ^１／２・・・(1)
　ここで，
　　lim_ｎ→∞１／ｎ^{(ｐ＋３)／２}・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^{(ｐ＋１)／２}
　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^{(ｐ＋１)／２}
　　　＝∫_{０≦ｘ≦１}ｘ^{(ｐ＋１)／２}ｄｘ
　　　＝２／(ｐ＋３)・[ｘ^{(ｐ＋３)／２}]_{０≦ｘ≦１}
　　　＝２／(ｐ＋３)
　　lim_ｎ→∞１／ｎ^{(ｐ＋３)／２}・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}{ｋ^{(ｐ＋１)／２}＋√ａ_１・ｋ^ｐ／２＋√ａ_２・ｋ^{(ｐ−１)／２}＋・・・＋√ａ_ｐ・ｋ^１／２}
　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^{(ｐ＋１)／２}
　　　　　＋√ａ_１・lim_ｎ→∞１／ｎ^１／２・１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^ｐ／２
　　　　　＋√ａ_２・lim_ｎ→∞１／ｎ・１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^{(ｐ−１)／２}
　　　　　＋・・・
　　　　　＋√ａ_ｐ・lim_ｎ→∞１／ｎ^ｐ／２・１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^１／２
　　　＝２／(ｐ＋３)＋√ａ_１・０＋√ａ_２・０＋・・・＋√ａ_ｐ・０
　　　＝２／(ｐ＋３)
　(1)より，はさみうちの原理から，
　　lim_ｎ→∞１／ｎ^{(ｐ＋３)／２}・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}{ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)}^１／２＝２／(ｐ＋３)
　これは，ｐ＝０の場合も含む．
（分母の指数が，答の逆数となっている）

２０２０年問題
（１）１９３６＝４４^２＜２０１９＜２０２０＜２０２５＝４５^２より，
　　４４＜√２０１９＜√２０２０＜４５
　２０１９^２＜２０１９・２０２０＜２０２０^２より，２０１９＜(２０１９・２０２０)^１／２＜２０２０
　√２０１９，√２０２０，(２０１９・２０２０)^１／２の小数部分をそれぞれａ，ｂ，ｃとすると，
　　√２０１９＝４４＋ａ，√２０２０＝４４＋ｂ，(２０１９・２０２０)^１／２＝２０１９＋ｃ，
　　０＜ａ＜ｂ＜１，０＜ｃ＜１
　　∴√２０１９−√２０２０＋(２０１９・２０２０)^１／２＝(４４＋ａ)−(４４＋ｂ)＋(２０１９＋ｃ)
　　　　＝２０１９＋(ａ−ｂ＋ｃ)・・・(1)
　ここで，
　　ａ−ｂ＋ｃ＝(√２０１９−４４)−(√２０２０−４４)＋{(２０１９・２０２０)^１／２−２０１９}
　　　＝(√２０１９−√２０２０)＋√２０１９・(√２０２０−√２０１９)
　　　＝(√２０２０−√２０１９)(√２０１９−１)＞０
　　１−(ａ−ｂ＋ｃ)＝１＋(√２０１９−√２０２０)(√２０１９−１)
　　　＝１＋２０１９−(√２０２０＋１)√２０１９＋√２０２０
　　　＝√２０２０・(√２０２０＋１)−(√２０２０＋１)√２０１９
　　　＝(√２０２０−√２０１９)(√２０２０＋１)＞０
　　∴０＜ａ−ｂ＋ｃ＜１
　(1)より，与式の整数部分は，２０１９である．

（２）１９３６＜２０２０＜２０２５より，４４＜√２０２０＜４５
　６４＝８^２＜８０＜８１＝９^２より，８＜√８０＜９
　√２０２０，√８０の小数部分をそれぞれａ，ｂとすると，
　　√２０２０＝４４＋ａ，√８０＝８＋ｂ，０＜ａ＜１，０＜ｂ＜１
　　∴ａ＝√２０２０−４４，ｂ＝√８０−８
　　∴ａ−ｂ＝(√２０２０−４４)−(√８０−８)＝２√５０５−４√５−３６
　　　　＝２{√５０５−２(√５＋９)}・・・(1)
　ここで，
　　(√５０５)^２−{２(√５＋９)}^２＝５０５−４(５＋１８√５＋８１)
　　　＝１６１−７２√５＝√２５９２１−√２５９２０＞０
　　∴(√５０５)^２＞{２(√５＋９)}^２
　　∴√５０５＞２(√５＋９)
　(1)より，ａ−ｂ＝２{√５０５−２(√５＋９)}＞０
　　∴ａ＞ｂ
　故に√２０２０の小数部分の方が大きい．

（３）(２０２０＋２０２０＋√２０２０＋２０２０√２０２０)^１／２
　　　　＝{√２０２０・(２√２０２０＋１＋２０２０)}^１／２
　　　　＝２０２０^１／４・{(√２０２０＋１)^２}^１／２
　　　　＝２０２０^１／４・(√２０２０＋１)
　　　　＝２０２０^３／４＋２０２０^１／４
　故に二重根号を外すことができる．

（４）２桁の数の場合で計算する．
　４(１０ａ＋ｂ)＝１０ｂ＋ａ（ａ，ｂは整数，１≦ａ≦９，１≦ｂ≦９）とすると，
　　３９ａ＝６ｂ
　　∴１３ａ＝２ｂ・・・(1)
　１３，２は互いに素なので，ｂは１３の倍数．
　これは１≦ｂ≦９に矛盾する．

　４桁の数の場合で計算する．
　　４(１０００ａ＋１００ｂ＋１０ｃ＋ｄ)＝１０００ｄ＋１００ｃ＋１０ｂ＋ａ，
　　ａ，ｂ，ｃ，ｄは整数，１≦ａ≦９，０≦ｂ≦９，０≦ｃ≦９，１≦ｄ≦９
とすると，
　　３９９９ａ＋３９０ｂ＝６０ｃ＋９９６ｄ
　　∴１３３３ａ＝２０ｃ＋３３２ｄ−１３０ｂ＝２(１０ｃ＋１６６ｄ−６５ｂ)・・・(2)
　１３３３，２は互いに素なので，ａは２の倍数．
　ｃ≦９，ｄ≦９，−ｂ≦０から，
　　１３３３ａ＝２(１０ｃ＋１６６ｄ−６５ｂ)≦２(１０・９＋１６６・９−６５・０)＝３１６８
　　∴ａ≦３１６８／１３３３＝２＋５０２／１３３３
　以上より，ａ＝２
　(2)より，１３３３＝１０ｃ＋１６６ｄ−６５ｂ・・・(3)
　　∴６５ｂ＝２(５ｃ＋８３ｄ)−１３３３
　故に６５ｂは奇数であり，ｂは奇数である．
　(3)より，
　　６５ｂ＝１０ｃ＋１６６ｄ−１３３３≦１０・９＋１６６・９−１３３３＝２５１
　　∴ｂ≦２５１／６５＝３＋５６／６５
　以上より，ｂ＝１，３
i). ｂ＝１のとき，(3)より，１３９８＝１０ｃ＋１６６ｄ
　　∴６９９＝５ｃ＋８３ｄ・・・(4)
　　∴５ｃ≡４−３ｄ≡０（mod ５）
　　∴ｄ＝３，８
　５ｃ＝６９９−８３ｄ≦５・９＝４５より，
　　ｄ≧６５４／８３＝７＋５３／８３
　　∴ｄ≧８
　以上より，ｄ＝８
　(4)より，５ｃ＝６９９−８３・８＝３５
　　∴ｃ＝７
　故に４桁の整数は，２１７８
　故に２０２０桁の整数では，この２１７８を，この順で５０５回繰り返せばよい．
ii). ｂ＝３のとき，(3)より，１５２８＝１０ｃ＋１６６ｄ
　　∴７６４＝５ｃ＋８３ｄ・・・(4)
　　∴５ｃ≡４−３ｄ≡０（mod ５）
　　∴ｄ＝３，８
　５ｃ＝７６４−８３ｄ≦４５より，ｄ≧７１９／８３＝８＋５５／８３
　これはｄ＝３，８に矛盾する．

　また，この２１７８を利用して，
　　２１９７８，２１９９７８，２１９９９７８，・・・
も，この性質を持っていることが分かる．
　故に，２１の次に，９を２０１６回繰り返して，最後に７８を付けた数も答である．

　以上より，
　　２１７８を，この順で５０５回繰り返した２０２０桁の整数
　　２１の次に，９を２０１６回繰り返して，最後に７８を付けた２０２０桁の整数
が答である．

「浜田明巳」 02/10 10時20分　受信 更新 2/16

２０２０年問題（４）（別解）
　８桁の場合をVBSCRIPTのプログラムで解いてみる．
dim a(9)
a(0)=0:a(9)=""
call saiki(1,a)
msgbox a(9)
'
sub saiki(n,a())
if n=1 or n=8 then
a(n)=1
else
a(n)=0
end if
while a(n)<=9
if n<8 then
call saiki(n+1,a)
else
call check(a)
end if
a(n)=a(n)+1
wend
end sub
sub check(a())
dim b(8),c(8)
for j=1 to 8
b(j)=a(j)*4:c(j)=a(8+1-j)
next
for j=1 to (8-1)
b(j+1)=b(j+1)+b(j)\10:b(j)=b(j) mod 10
next
dame=0
for j=1 to 8
if b(j)>
dame=1
end if
next
if dame=0 then
a(0)=a(0)+1
if a(0)>1 then a(9)=a(9)&chr(13)
for j=8 to 1 step -1
a(9)=a(9)&a(j)
next
end if
end sub


　この結果より，４桁の数２１７８，８桁の数２１７８２１７８が，この性質を有し，２１９９９９７８もこの性質を有することが分かる．
　以上により

，
　　２１７８を，この順で５０５回繰り返した２０２０桁の整数
　　２１の次に，９を２０１６回繰り返して，最後に７８を付けた２０２０桁の整数
が答である．

「浜田明巳」 02/12 10時17分　受信 更新 2/16

「浜田明巳」 02/17 08時57分　受信 更新 2/17

２０２０年問題（５）

　以下mod ４７で計算する．

　　１２０１９＋２２０１９＋３２０１９＋・・・＋２０２０２０１９

　　　＝{(４７・０＋１)２０１９＋(４７・０＋２)２０１９＋(４７・０＋３)２０１９＋・・・＋(４７・０＋４６)２０１９}

　　　　　＋{(４７・１＋１)２０１９＋(４７・１＋２)２０１９＋(４７・１＋３)２０１９＋・・・＋(４７・１＋４６)２０１９}

　　　　　＋{(４７・２＋１)２０１９＋(４７・２＋２)２０１９＋(４７・２＋３)２０１９＋・・・＋(４７・２＋４６)２０１９}

　　　　　＋・・・

　　　　　＋{(４７・４２＋１)２０１９＋(４７・４２＋２)２０１９＋(４７・４２＋３)２０１９＋・・・＋(４７・４２＋４６)２０１９}

　　　≡４３(１２０１９＋２２０１９＋３２０１９＋・・・＋４６２０１９)

　　　≡４３[(１２０１９＋２２０１９＋３２０１９＋・・・＋２３２０１９)

　　　　　＋{(−２３)２０１９＋(−２２)２０１９＋(−２１)２０１９＋・・・＋(−１)２０１９}]

　　　＝４３{(１２０１９＋２２０１９＋３２０１９＋・・・＋２３２０１９)−(２３２０１９＋２２２０１９＋２１２０１９＋・・・＋１２０１９)}

　　　＝４３・０＝０・・・（答）

NO3「ジョーカー」 02/12 17時42分　受信 更新 2/16

NO4「三角定規」　　　　 02/15 10時59分　受信 更新 2/16

NO5「水の流れ」　　　　 02/22 17時　 更新 2/122

皆さんからの解答に衷心より深くお礼を申し上げます。

さて、問題１から問題４までは、無限級数の極限値と定積分の公式を用いる解答も想定していました。そこで、一般の場合が問題５と問題６です。

こちらの予定していた解答は問題5に関しては「ジョーカー」や「三角定規」と同じで一般の連続する自然数の積の和の式を利用して求める解法です。

問題６に関しては、仁平政一さんが、さらに一般の場合を考えて投稿されていますので、この解答を載せておきます。

　

NO3「ジョーカー」 02/22 10時47分　受信 更新 2/23

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。