令和２年２月１６日

[流れ星]

　　　　第38２回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：１月19日〜２月16日＞

［規則性のある極限値］

過去に購読していた「初等数学」の第40号2000年9月号の中で、仁平政一さんの原稿を参考にして、作問しました。

2020年に因んだ問題の応募解答は別のフャイルにしました。

http://ryugen3.sakura.ne.jp/kadai12/kadai382b.htm

ここをご覧ください。

NO1「早起きのおじさん」 01/20 15時17分　受信 更新 2/16

382解答　早起きのおじさん

問題1

または、

問題2

または、

とおくと、

右辺は、

ここで、

よって、

問題3

問題4

とおくと、

右辺は、

ここで、

よって、

問題5

とおくと、

右辺は、

ここで、

よって、

問題6

とおくと、

右辺は、

ここで、

よって、

NO2「スモークマン」 01/25 17時44分　受信 更新 2/16

(1)

n(n+1)/(2n^2)=n^2/(2n^2)+1/(2n^2)

so…1/2

(2)

Σk(k+1)＝Σk^2+Σk

=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2

or

(1/n)^2+(2/n)^2+…+(n/n)^2<?<(n/(n+1))^2*{(2/(n+1)}^2+(3/(n+1))^2+…+(n+1)/(n+1))^2}

∫[0,1]x^2 dx<?<∫[0,1]x^2 dx

so…1/3

(3)

∫[0,1]√x*dx=[x^(3/2)/(1/2+1)]=2/3

(4)

(1/n)+(2/n)+…+(n/n)<?<((n+1)/n)*{2/(n+1)+3/(n+1)+…+(n+1)/(n+1)}

∫[0,1]xdx<?<(n+1)/n*∫[0,1]xdx

so…1/2

(5)

(1/n)^(p+1)+(2/n)^(p+1)+…+(n/n)^(p+1)<?<(n/(n+1))^(p+1)*{(2/(n+1))^(p+1)+(3/(n+1))^(p+1)+…+((n+1)/(n+1))^(p+1)}

so…

∫[0,1]x^(p+1) dx<?<∫[0,1]x^(p+1) dx

so…

1/(p+2)

(6)

(1/n)^(p+1)/2+(2/n)^(p+1)/2+…+(n/n)^(p+1)/2<?<((n+1)/n)^(p+1)/2*{(2/(n+1))^(p+1)/2+(3/(n+1))^(p+1)/2+…+((n+1)/(n+1))^(p+1)/2}

so…

∫[0,1] x^(p+1)/2 dx

=2/(p+3)

NO3「浜田明巳」 02/10 10時02分　受信 更新 2/16

問題１
　　(１＋２＋３＋・・・＋ｎ)／ｎ^２
　　　＝{１／２・ｎ(ｎ＋１)}／ｎ^２
　　　＝１／２・(１＋１／ｎ)
　　　→１／２（ｎ→∞）

問題２
　　{１・２＋２・３＋３・４＋・・・＋ｎ・(ｎ＋１)}／ｎ^３
　　　＝１／ｎ^３・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ(ｋ＋１)
　　　＝１／ｎ^３・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ^２＋ｋ)
　　　＝１／ｎ^３・{１／６・ｎ(ｎ＋１)(２ｎ＋１)＋１／２・ｎ(ｎ＋１)}
　　　＝１／６・(１＋１／ｎ)(２＋１／ｎ)＋１／２・(１／ｎ＋１／ｎ^２)
　　　→１／３（ｎ→∞）

問題３
　　lim_ｎ→∞(√１＋√２＋√３＋・・・＋√ｎ)／(ｎ√ｎ)
　　　＝lim_ｎ→∞{(１／ｎ)^１／２＋(２／ｎ)^１／２＋(３／ｎ)^１／２＋・・・＋(ｎ／ｎ)^１／２}／ｎ
　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^１／２
　　　＝∫_{０≦ｘ≦１}ｘ^１／２ｄｘ
　　　＝２／３・[ｘ^３／２]_{０≦ｘ≦１}
　　　＝２／３

問題４
　ｋ＞０のとき，ｋ^２＜ｋ(ｋ＋１)＜(ｋ＋１)^２より，
　　ｋ＜{ｋ(ｋ＋１)}^１／２＜ｋ＋１
　ｋ＝１，２，３，・・・，ｎを代入し，辺々を加えると，
　　１／２・ｎ(ｎ＋１)＜Σ_{１≦ｋ≦ｎ}{ｋ(ｋ＋１)}^１／２＜１／２・ｎ(ｎ＋１)＋ｎ＝１／２・ｎ(ｎ＋３)
　ｎ^２＞０から，
　　１／２・(１＋１／ｎ)＜１／ｎ^２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}{ｋ(ｋ＋１)}^１／２＜１／２・(１＋３／ｎ)
　ｎ→∞とすると，最左辺，最右辺は共に１／２に収束するので，はさみうちの原理より，
　　lim_ｎ→∞１／ｎ^２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}{ｋ(ｋ＋１)}^１／２＝１／２

　尚，問題１〜４の式の分母の次数は，それぞれ，
　　２，３，３／２，２
となり，答の逆数となっている．

問題５
　ａ_１〜ａ_ｐを定数として，
　　ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)＝ｋ^ｐ＋１＋ａ_１ｋ^ｐ＋ａ_２ｋ^ｐ−１＋・・・＋ａ_ｐｋ
とすると，
　　１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)
　　　＝１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ^ｐ＋１＋ａ_１ｋ^ｐ＋ａ_２ｋ^ｐ−１＋・・・＋ａ_ｐｋ)
　　　＝１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^ｐ＋１＋ａ_１・１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^ｐ＋ａ_２・１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^ｐ−１
　　　　　＋・・・＋ａ_ｐ・１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ
　ここで，１≦ｍ≦ｐ，ｍは整数とすると，
　　lim_ｎ→∞１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^ｍ
　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ^{ｐ＋１−ｍ}・１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^ｍ
　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ^{ｐ＋１−ｍ}・lim_ｎ→∞１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^ｍ
　　　＝０・∫_{０≦ｘ≦１}ｘ^ｍｄｘ
　　　＝０
　　∴lim_ｎ→∞１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)
　　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ^ｐ＋１＋ａ_１ｋ^ｐ＋ａ_２ｋ^ｐ−１＋・・・＋ａ_ｐｋ)
　　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ^ｐ＋２・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^ｐ＋１＋ａ_１・０＋ａ_２・０＋・・・＋ａ_ｐ・０
　　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^ｐ＋１
　　　　＝∫_{０≦ｘ≦１}ｘ^ｐ＋１ｄｘ
　　　　＝１／(ｐ＋２)・[ｘ^ｐ＋２]_{０≦ｘ≦１}
　　　　＝１／(ｐ＋２)
（確かに分母の指数が，答の逆数となっている）

問題６
　ｐ＝０のとき，問題３と同問題となり，２／３
　ｐ＞０のとき，問題５と同様に，
　　ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)＝ｋ^ｐ＋１＋ａ_１ｋ^ｐ＋ａ_２ｋ^ｐ−１＋・・・＋ａ_ｐｋ
とする．
　ａ＞０，ｂ＞０のとき，(ａ＋ｂ)^１／２＜√ａ＋√ｂであり，ａ_ｉ＞０（１≦ｉ≦ｐ）であるから，
　　ｋ^{(ｐ＋１)／２}＜{ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)}^１／２
　　　　　　　　　　　　　　＜ｋ^{(ｐ＋１)／２}＋√ａ_１・ｋ^ｐ／２＋√ａ_２・ｋ^{(ｐ−１)／２}＋・・・＋√ａ_ｐ・ｋ^１／２・・・(1)
　ここで，
　　lim_ｎ→∞１／ｎ^{(ｐ＋３)／２}・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}ｋ^{(ｐ＋１)／２}
　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^{(ｐ＋１)／２}
　　　＝∫_{０≦ｘ≦１}ｘ^{(ｐ＋１)／２}ｄｘ
　　　＝２／(ｐ＋３)・[ｘ^{(ｐ＋３)／２}]_{０≦ｘ≦１}
　　　＝２／(ｐ＋３)
　　lim_ｎ→∞１／ｎ^{(ｐ＋３)／２}・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}{ｋ^{(ｐ＋１)／２}＋√ａ_１・ｋ^ｐ／２＋√ａ_２・ｋ^{(ｐ−１)／２}＋・・・＋√ａ_ｐ・ｋ^１／２}
　　　＝lim_ｎ→∞１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^{(ｐ＋１)／２}
　　　　　＋√ａ_１・lim_ｎ→∞１／ｎ^１／２・１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^ｐ／２
　　　　　＋√ａ_２・lim_ｎ→∞１／ｎ・１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^{(ｐ−１)／２}
　　　　　＋・・・
　　　　　＋√ａ_ｐ・lim_ｎ→∞１／ｎ^ｐ／２・１／ｎ・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}(ｋ／ｎ)^１／２
　　　＝２／(ｐ＋３)＋√ａ_１・０＋√ａ_２・０＋・・・＋√ａ_ｐ・０
　　　＝２／(ｐ＋３)
　(1)より，はさみうちの原理から，
　　lim_ｎ→∞１／ｎ^{(ｐ＋３)／２}・Σ_{１≦ｋ≦ｎ}{ｋ(ｋ＋１)(ｋ＋２)・・・(ｋ＋ｐ)}^１／２＝２／(ｐ＋３)
　これは，ｐ＝０の場合も含む．
（分母の指数が，答の逆数となっている）

NO3「ジョーカー」 02/12 17時42分　受信 更新 2/16

NO4「三角定規」　　　　 02/15 10時59分　受信 更新 2/16

NO5「水の流れ」　　　　 02/22 17時　 更新 2/122

皆さんからの解答に衷心より深くお礼を申し上げます。

さて、問題１から問題４までは、無限級数の極限値と定積分の公式を用いる解答も想定していました。そこで、一般の場合が問題５と問題６です。

こちらの予定していた解答は問題5に関しては「ジョーカー」や「三角定規」と同じで一般の連続する自然数の積の和の式を利用して求める解法です。

問題６に関しては、仁平政一さんが、さらに一般の場合を考えて投稿されていますので、この解答を載せておきます。

　

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。