令和２年２月２３日

[流れ星]

　　　　第382回数学的な応募解答

　　　　＜解答募集期間：１月19日〜２月16日＞

［2020年の問題］

「ジョーカー」さんから、前回、西暦2020年に因んだ問題が寄せられました。

NO1「早起きのおじさん」 01/23 18時28分　受信 更新 2/23

2020年に因んだ問題　解答　早起きのおじさん

●先ず、準備をします。

無理関数を整関数に展開します。

とすると、

･･･

よって、

さて、

とします。

　　･･･

よって、

すると、

●44×44=1936、45×45=2025です。

(1)

小数部分を調べます。

なので、小数部分は、

黄色の部分の小数に、青の部分の小数は大きな影響を与えないので、答えは、2019です。

(2)

の小数部分は、です。

一方

の小数部分は、です。

以上から、の小数部分の方が大きいです。

(3)

2重根号は、次のように外します。

　（このときの大小は逆でも）

です。

さて、

2020と2021は、そんなに変わらないので、積がとなる等しい2数を小さめに見積もると、

44・2020です

和は、2×44・2020＝88・2020(＞4・2020) なので実数の範囲では外せません。

(4)

場所を表すのに、1の位から(何)桁目で表すことにします。

掛け算の復習をします。

次の桁に繰り上がる場合は、｛1、2、3｝の3通りです。

●元の数の(2020)桁のところは、繰上りがないので｛1、2｝のどちらかです。

・元の数の(2020)は、1ではありません。

　1だとすると、答えの(2020)は、｛4、5、6、7｝のどれかです。

　4のとき、元の数の(1)が4となり、4×4＝16、で不適です。

　5のとき、元の数の(1)が5となり、5×4＝20、で不適です。

　6のとき、元の数の(1)が6となり、6×4＝24、で不適です。

　7のとき、元の数の(1)が7となり、7×4＝28、で不適です。

　以上からです。

・元の数の(2020)は、2です。

　2のとき、答えの(2020)は、｛8、9｝のどれかです。

　8のとき、元の数の(1)が8となり、8×4＝32、で適します。

　9のとき、元の数の(1)が9となり、9×4＝36、で不適です。

■元の数の(2020)は、2です。

●元の数の(2019)は、繰上りがないので｛1、2｝のどちらかです。

・2ではありません。

　2だとすると、答えの(2019)は、｛8、9｝のどれかです。

　8のとき、元の数の(2)が8となり、8×4＋3＝35、で不適です。

　9のとき、元の数の(2)が9となり、9×4＋3＝39、で不適です。

・元の数の(2019)は、1です。

　1のとき、答えの(2019)は、｛4、5、6、7｝のどれかです。

　4のとき、元の数の(2)が4となり、4×4＋3＝19、で不適です。

　5のとき、元の数の(2)が5となり、5×4＋3＝23、で不適です。

　6のとき、元の数の(2)が6となり、6×4＋3＝27、で適します。

　7のとき、元の数の(2)が7となり、7×4＋3＝31、で適します。

■元の数の(2019)は、1です。

●元の数の(2018)は、3繰り上がりがあるので｛7、8、9｝のどれかです。

・7だとすると、答えの(2018)は、下から３繰り上がりがあって｛1｝です。

　1のとき、元の数の(3)が1となり、1×4＋3＝7、で適します。

　

　・このとき、元の(2017)は3繰り上がるので｛7、8、9｝のどれかです。

7だとすると、答えの(2017)は、下から３繰り上がりの場合も入れて｛8、9、0、1｝です。

　　8のとき、元の数の(4)が8となり、8×4＝32、で不適です。

　　9のとき、元の数の(4)が9となり、9×4＝36、で不適です。

　　0のとき、元の数の(4)が0となり、0×4＝0、で不適です。

　　1のとき、元の数の(4)が1となり、1×4＝4、で不適です。

　　

8だとすると、答えの(2017)は、下から３繰り上がりの場合も入れて｛2、3、4、5｝です。

　 2のとき、元の数の(4)が2となり、2×4＝8、で適します。

　　3のとき、元の数の(4)が3となり、3×4＝12、で不適です。

　　4のとき、元の数の(4)が4となり、4×4＝16、で不適です。

　　5のとき、元の数の(4)が5となり、5×4＝20、で不適です。

　

これをみると、答えは「2178」が同じなので、2020÷4＝505 回繰り返す数です。

　　

9だとすると、答えの(2017)は、下から３繰り上がりの場合も入れて｛6、7、8、9｝です。

　 6のとき、元の数の(4)が6となり、6×4＝24、で不適です。

　　7のとき、元の数の(4)が7となり、7×4＝28、で不適です。

　　8のとき、元の数の(4)が8となり、8×4＝32、で不適です。

　　9のとき、元の数の(4)が9となり、9×4＝36、で不適です。

・8だとすると、答えの(2018)は、下から３繰り上がりの場合も入れて｛2、3、4、5｝です。

　2のとき、元の数の(3)が2となり、2×4＋3＝11、で不適です。

　3のとき、元の数の(3)が3となり、3×4＋3＝15、で不適です。

　4のとき、元の数の(3)が4となり、4×4＋3＝19、で不適です。

　5のとき、元の数の(3)が5となり、5×4＋3＝23、で不適です。

・9だとすると、答えの(2018)は、下から３繰り上がりの場合も入れて｛6、7、8、9｝です。

　6のとき、元の数の(3)が6となり、6×4＋3＝27、で不適です。

　7のとき、元の数の(3)が7となり、7×4＋3＝31、で不適です。

　8のとき、元の数の(3)が8となり、8×4＋3＝35、で不適です。

　9のとき、元の数の(3)が9となり、9×4＋3＝39、で適します。

答えは、(2020)が2、(2019)が1、(2)が7、(1)が8で、なかの2016桁がすべて9の数です。

　

二つのパターンがあるようです。

(5)

のように、2数の奇数乗の和は因数分解できます。

2021＝47×43です。

さて、これらの数を2行に並べます。

1行目は小さい順に、2行目は大きい順に並べます。

そして、上下の2数を加えます。

例えば、2列目は、

どの列も、47を因数にもつので、余りは0です。

「早起きのおじさん」 03/20 23時50分　受信 更新 3/21

2020年に因んだ問題(4)について　早起きのおじさん

解を求められたのではありませんが、考え方を書きます。

●右の計算のように、4をかけて並びが逆になる数をパターン

ということにします。

パターンは中央に9を入れてもやはりパターンです。

パターンの並んでいる数字の個数を長さということにします。

パターン2178の長さは4、

パターン2199978の長さは7です。

同じ長さのパターンの間に

0を入れてもパターンになります。

パターンに0をいくつかつなげたものをブロックということにします。

21780、21978000、･･･などがブロックです。

ブロックの数字の個数もやはり、長さということにします。

同じパターンに、右に0をつなげたもの、左に0をつなげたものをつなげてもパターンです。

例えば、21780と02178をつなげて、2178002178としたものは、パターンです。

●2020桁は計算が大変なので、32桁で具体的にみてみます。

〇パターンが1個のときは、2199･･･9978の1通りです。

21と78の中に、28個の9が並びます。

〇パターンが2個のときは、2199･･7800･･･｜･･･002199･･78 の形をしています。

｜は中央を表しています。

中央の左と右では、同じパターンで0が右につくブロックと左につくブロックがつながっています。

左右対称なので、左の16桁で考えます。

長さ16のブロックの種類を数えます。

8の位置を考えると、13通りあります。

ブロックが何通りあるかは、長さから3を引けば求まります。

〇パターンが3個のときは、 (2199･･7800･･)(2199･･｜･･9978)(･･･002199･･78)の形をしています。

長さkのブロックが2個、長さ2nのブロックが1個です。

nは、2から12の値をとります。（kの最小値は4です）

kの長さは、16−nです。

よって、長さkのブロックの種類は、16−n−3＝13−n

〇パターンが4個のときは、(2199･･7800･･)(2199･･78)｜(2199･･78)(･･･002199･･78)の形をしています。

中央から左で考えます。

1番目のブロックの長さがnとすると、2番目のブロックの長さは16−nです。

nは、4から12の値をとります。

1番目のブロックの種類はn−3通り、2番目のブロックの種類は16−n−3＝13−n通りです。

〇パターンが5個のときは、

(2199･･7800･･)(2199･･7800･･)(2199･･｜･･9978)(･･002199･･78)(･･･002199･･78)の形をしています。

長さkのブロックが2個、長さmのブロックが2個、長さ2nのブロックが1個です。

nは、2から8の値をとります。（k、mの最小値は4です）

1番目のブロックの長さをkとすると、kは4から16−n−4＝12−nの値をとります。

2番目のブロックの長さは16−k−n＝16−k−nです。

中央のブロックの長さは、nです。

1番目のブロックの種類はk−3通りです。

2番目のブロックの種類は16−k−n−3＝13−k−n通りです。

〇パターンが6個のときは、

(2199･･7800･･)(2199･･78)(2199･･78)｜(2199･･78)(2199･･78)(･･･002199･･78)の形をしています。

中央から左で考えます。

1番目のブロックの長さをkとすると、kは4から8の値をとります。

2番目のブロックの長さをmとすると、mは4から16−k−4＝12−kの値をとります。

3番目のブロックはの長さは、16−k−mです。

1番目のブロックの種類はk−3通りです。

それぞれに対して、2番目のブロックの種類はm−3通り、

3番目のブロックは16−k−m−3=13−k−m通りです。

〇以下はやっていません。

●このように計算はだんだん面倒になっていきます。

これらの計算をまとめて扱うような方法は見当がつきません。

＜水の流れ：随分と多大な時間を費やされたことに感謝申し上げます。応募者あってのサイトです。ありがたいことです。3月21日記＞

NO2「スモークマン」 01/25 17時44分　受信 更新 2/23

(1)

明らかに、

-1<√2019-√2020<0

2019<√(2019*2020)<2020

√(2019*2020)-2019=√2019*(√2020-√2019)

so…√2019*(√2020-√2019)-(√2020-√2019)= (√2020-√2019)(√2019-1)>0

つまり、√(2019*2020)の小数部分よりも、√2020-√2019の少数部分の方が小さいので、結局、与式の整数部分は2019

 (2)

8<√80<9

√80=9-r(80)・・・実際は(1-r(80))が√80の小数部分

44^2=1936<√2020<45^2=2025

so…

√2020=45-r(2020)

80*5^2=2000

so…

r(2020)>5*r(80)

so…

r(2020)>r(80)

so…

√80の小数の方が大きい

(3)

√2020*√(2*√2020+2021)

=√2020*(√2020+1)

=2020+√2020

と外せる。

(4)

2020=4*5*101

桁上がりがないので…

2?...?8 になるものを探すと…

21978

So…これが404回繰り返されるもの

(5)

2021=47*43

so…

(2021-1)^2019≡2020^2019≡-1^2019

(2021-2)^2019≡2019^2019≡-2^2019

…

(2021-1010)^2019≡1011^2019≡-1010^2019

から、与式≡0 (mod 47)

「スモークマン」 01/31 21時40分　受信 更新 2/16

2020年に因んだ問題

(3)再考…

(4)は友人からのものです…

(3)与式=√{(2020+√2020)+√2020(2020+√2020)}

　　　=√{(2020+√2020)*(√2020+1)}

　　　=(2020+√2020)/(2020)^(1/4)

=(2020)^(3/4)+(2020)^(1/4)

 (4)　X00……………00X　とする

　　X*4　がXと

逆順になっていれば条件を満たす。

　　Xが1、2、3桁ではなし　4桁では2178　5桁では21978　でOK

　（21780000……00002178）

　もちろんこれらが繰り返したり混在していてもOKで、そのほか

5万とあると思いますが。

NO3「浜田明巳」 02/10 10時02分　受信 更新 2/23

２０２０年問題
（１）１９３６＝４４^２＜２０１９＜２０２０＜２０２５＝４５^２より，
　　４４＜√２０１９＜√２０２０＜４５
　２０１９^２＜２０１９・２０２０＜２０２０^２より，２０１９＜(２０１９・２０２０)^１／２＜２０２０
　√２０１９，√２０２０，(２０１９・２０２０)^１／２の小数部分をそれぞれａ，ｂ，ｃとすると，
　　√２０１９＝４４＋ａ，√２０２０＝４４＋ｂ，(２０１９・２０２０)^１／２＝２０１９＋ｃ，
　　０＜ａ＜ｂ＜１，０＜ｃ＜１
　　∴√２０１９−√２０２０＋(２０１９・２０２０)^１／２＝(４４＋ａ)−(４４＋ｂ)＋(２０１９＋ｃ)
　　　　＝２０１９＋(ａ−ｂ＋ｃ)・・・(1)
　ここで，
　　ａ−ｂ＋ｃ＝(√２０１９−４４)−(√２０２０−４４)＋{(２０１９・２０２０)^１／２−２０１９}
　　　＝(√２０１９−√２０２０)＋√２０１９・(√２０２０−√２０１９)
　　　＝(√２０２０−√２０１９)(√２０１９−１)＞０
　　１−(ａ−ｂ＋ｃ)＝１＋(√２０１９−√２０２０)(√２０１９−１)
　　　＝１＋２０１９−(√２０２０＋１)√２０１９＋√２０２０
　　　＝√２０２０・(√２０２０＋１)−(√２０２０＋１)√２０１９
　　　＝(√２０２０−√２０１９)(√２０２０＋１)＞０
　　∴０＜ａ−ｂ＋ｃ＜１
　(1)より，与式の整数部分は，２０１９である．

（２）１９３６＜２０２０＜２０２５より，４４＜√２０２０＜４５
　６４＝８^２＜８０＜８１＝９^２より，８＜√８０＜９
　√２０２０，√８０の小数部分をそれぞれａ，ｂとすると，
　　√２０２０＝４４＋ａ，√８０＝８＋ｂ，０＜ａ＜１，０＜ｂ＜１
　　∴ａ＝√２０２０−４４，ｂ＝√８０−８
　　∴ａ−ｂ＝(√２０２０−４４)−(√８０−８)＝２√５０５−４√５−３６
　　　　＝２{√５０５−２(√５＋９)}・・・(1)
　ここで，
　　(√５０５)^２−{２(√５＋９)}^２＝５０５−４(５＋１８√５＋８１)
　　　＝１６１−７２√５＝√２５９２１−√２５９２０＞０
　　∴(√５０５)^２＞{２(√５＋９)}^２
　　∴√５０５＞２(√５＋９)
　(1)より，ａ−ｂ＝２{√５０５−２(√５＋９)}＞０
　　∴ａ＞ｂ
　故に√２０２０の小数部分の方が大きい．

（３）(２０２０＋２０２０＋√２０２０＋２０２０√２０２０)^１／２
　　　　＝{√２０２０・(２√２０２０＋１＋２０２０)}^１／２
　　　　＝２０２０^１／４・{(√２０２０＋１)^２}^１／２
　　　　＝２０２０^１／４・(√２０２０＋１)
　　　　＝２０２０^３／４＋２０２０^１／４
　故に二重根号を外すことができる．

（４）２桁の数の場合で計算する．
　４(１０ａ＋ｂ)＝１０ｂ＋ａ（ａ，ｂは整数，１≦ａ≦９，１≦ｂ≦９）とすると，
　　３９ａ＝６ｂ
　　∴１３ａ＝２ｂ・・・(1)
　１３，２は互いに素なので，ｂは１３の倍数．
　これは１≦ｂ≦９に矛盾する．

　４桁の数の場合で計算する．
　　４(１０００ａ＋１００ｂ＋１０ｃ＋ｄ)＝１０００ｄ＋１００ｃ＋１０ｂ＋ａ，
　　ａ，ｂ，ｃ，ｄは整数，１≦ａ≦９，０≦ｂ≦９，０≦ｃ≦９，１≦ｄ≦９
とすると，
　　３９９９ａ＋３９０ｂ＝６０ｃ＋９９６ｄ
　　∴１３３３ａ＝２０ｃ＋３３２ｄ−１３０ｂ＝２(１０ｃ＋１６６ｄ−６５ｂ)・・・(2)
　１３３３，２は互いに素なので，ａは２の倍数．
　ｃ≦９，ｄ≦９，−ｂ≦０から，
　　１３３３ａ＝２(１０ｃ＋１６６ｄ−６５ｂ)≦２(１０・９＋１６６・９−６５・０)＝３１６８
　　∴ａ≦３１６８／１３３３＝２＋５０２／１３３３
　以上より，ａ＝２
　(2)より，１３３３＝１０ｃ＋１６６ｄ−６５ｂ・・・(3)
　　∴６５ｂ＝２(５ｃ＋８３ｄ)−１３３３
　故に６５ｂは奇数であり，ｂは奇数である．
　(3)より，
　　６５ｂ＝１０ｃ＋１６６ｄ−１３３３≦１０・９＋１６６・９−１３３３＝２５１
　　∴ｂ≦２５１／６５＝３＋５６／６５
　以上より，ｂ＝１，３
i). ｂ＝１のとき，(3)より，１３９８＝１０ｃ＋１６６ｄ
　　∴６９９＝５ｃ＋８３ｄ・・・(4)
　　∴５ｃ≡４−３ｄ≡０（mod ５）
　　∴ｄ＝３，８
　５ｃ＝６９９−８３ｄ≦５・９＝４５より，
　　ｄ≧６５４／８３＝７＋５３／８３
　　∴ｄ≧８
　以上より，ｄ＝８
　(4)より，５ｃ＝６９９−８３・８＝３５
　　∴ｃ＝７
　故に４桁の整数は，２１７８
　故に２０２０桁の整数では，この２１７８を，この順で５０５回繰り返せばよい．
ii). ｂ＝３のとき，(3)より，１５２８＝１０ｃ＋１６６ｄ
　　∴７６４＝５ｃ＋８３ｄ・・・(4)
　　∴５ｃ≡４−３ｄ≡０（mod ５）
　　∴ｄ＝３，８
　５ｃ＝７６４−８３ｄ≦４５より，ｄ≧７１９／８３＝８＋５５／８３
　これはｄ＝３，８に矛盾する．

　また，この２１７８を利用して，
　　２１９７８，２１９９７８，２１９９９７８，・・・
も，この性質を持っていることが分かる．
　故に，２１の次に，９を２０１６回繰り返して，最後に７８を付けた数も答である．

　以上より，
　　２１７８を，この順で５０５回繰り返した２０２０桁の整数
　　２１の次に，９を２０１６回繰り返して，最後に７８を付けた２０２０桁の整数
が答である．

「浜田明巳」 02/10 10時20分　受信 更新 2/16

２０２０年問題（４）（別解）
　８桁の場合をVBSCRIPTのプログラムで解いてみる．
dim a(9)
a(0)=0:a(9)=""
call saiki(1,a)
msgbox a(9)
'
sub saiki(n,a())
if n=1 or n=8 then
a(n)=1
else
a(n)=0
end if
while a(n)<=9
if n<8 then
call saiki(n+1,a)
else
call check(a)
end if
a(n)=a(n)+1
wend
end sub
sub check(a())
dim b(8),c(8)
for j=1 to 8
b(j)=a(j)*4:c(j)=a(8+1-j)
next
for j=1 to (8-1)
b(j+1)=b(j+1)+b(j)\10:b(j)=b(j) mod 10
next
dame=0
for j=1 to 8
if b(j)>
dame=1
end if
next
if dame=0 then
a(0)=a(0)+1
if a(0)>1 then a(9)=a(9)&chr(13)
for j=8 to 1 step -1
a(9)=a(9)&a(j)
next
end if
end sub


　この結果より，４桁の数２１７８，８桁の数２１７８２１７８が，この性質を有し，２１９９９９７８もこの性質を有することが分かる．
　以上により

，
　　２１７８を，この順で５０５回繰り返した２０２０桁の整数
　　２１の次に，９を２０１６回繰り返して，最後に７８を付けた２０２０桁の整数
が答である．

「浜田明巳」 02/12 10時17分　受信 更新 2/16

「浜田明巳」 02/17 08時57分　受信 更新 2/23

２０２０年問題（５）

　以下mod ４７で計算する．

　　１２０１９＋２２０１９＋３２０１９＋・・・＋２０２０２０１９

　　　＝{(４７・０＋１)２０１９＋(４７・０＋２)２０１９＋(４７・０＋３)２０１９＋・・・＋(４７・０＋４６)２０１９}

　　　　　＋{(４７・１＋１)２０１９＋(４７・１＋２)２０１９＋(４７・１＋３)２０１９＋・・・＋(４７・１＋４６)２０１９}

　　　　　＋{(４７・２＋１)２０１９＋(４７・２＋２)２０１９＋(４７・２＋３)２０１９＋・・・＋(４７・２＋４６)２０１９}

　　　　　＋・・・

　　　　　＋{(４７・４２＋１)２０１９＋(４７・４２＋２)２０１９＋(４７・４２＋３)２０１９＋・・・＋(４７・４２＋４６)２０１９}

　　　≡４３(１２０１９＋２２０１９＋３２０１９＋・・・＋４６２０１９)

　　　≡４３[(１２０１９＋２２０１９＋３２０１９＋・・・＋２３２０１９)

　　　　　＋{(−２３)２０１９＋(−２２)２０１９＋(−２１)２０１９＋・・・＋(−１)２０１９}]

　　　＝４３{(１２０１９＋２２０１９＋３２０１９＋・・・＋２３２０１９)−(２３２０１９＋２２２０１９＋２１２０１９＋・・・＋１２０１９)}

　　　＝４３・０＝０・・・（答）

NO3「ジョーカー」 02/12 17時42分　受信 更新 2/23

NO3「ジョーカー」 02/22 10時47分　受信 更新 2/23

皆さん、問題や質問に答えてください。一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。