令和５年８月１３日

[流れ星]

　　第430回数学的な連続応募問題

　　　　＜解答募集期間：８月13日〜９月17日＞

［双心四角形］

　「双心四角形」とは外接円と内接円を持つ四角形をいう。

問題　

四辺の長さがＡＢ＝ａ，ＢＣ＝ｂ，ＣＤ＝ｃ，ＤＡ＝ｄである双心四角形とき, 次の設問の答えをａ，ｂ，ｃ，ｄで表せ。

また,（７）を証明せよ。

（１）ＡＣ＝e，ＢＤ＝ｆとして,e,ｆの値をそれぞれ求めよ。

（２）e×ｆの値を求めよ。

（３）四角形ＡＢＣＤの面積Ｓを求めよ。

（４）対角線ＡＣ，ＢＤのなす角θのsinθの値を求めよ。

（５）四角形ＡＢＣＤの内接円Ｉの半径ｒを求めよ。

（６）四角形ＡＢＣＤの外接円Ｏの半径Ｒを求めよ。

（７）（ｅｆ）^２＝４ｒ^２（ｅｆ＋４Ｒ^２）を証明せよ。

　出典　上の（７）は「聖なる数学・算額」森北出版　深川」英俊著

　　寛政７（1795年）年に掲げた善光寺の算額の2番目から

　　　

追加問題１（出題者は「ジョーカー」）

　第427回からの「確率等」の問題シリーズの４問目です。

　

　第１番から第ｎ番までの番号のついたｎ個の袋がある。一般に第ｋ番目の袋にはｋ個の赤球と（ｎ―ｋ）個の白球が入れてある。

（１）第ｋ番目の袋から無作為に１球ずつ５回球を取り出す。ただし, １回ごとに球を袋に戻すものとする。このとき , 赤球が4回 , 白球が１回出る確率を求めよ。

（２）ｎ個の袋のうちの１袋を無作為に選んで , その袋から１球ずつ5回球を取り出す。ただし , １個ごとに球をその袋に戻すものとする。このとき , 赤球が４個 , 白球が1回でる確率はｎが極めて大きいときどのような値に近いか。



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