第１４４回数学的な応募問題［３本のくじ］
ｎ個の整数１，２，３，・・・，ｎが書いてあるくじがあります．この中から３本のくじを引くとき，次のようなくじの引く方は何通りあるか．（ただし，ｎ≧７とする）
問題１：３本のくじに書いてある数字のうち，どの２つの数の差も０以上となる場合．この場合は，くじを１本引いたあと，このくじを元に戻してください．
問題２：３本のくじに書いてある数字のうち，どの２つの数の差も１以上となる場合．
問題３：３本のくじに書いてある数字のうち，どの２つの数の差も２以上となる場合．
問題４：３本のくじに書いてある数字のうち，どの２つの数の差も３以上となる場合．
いつものようにコンピュータのプログラムで解いてみました．今回はグラフ作成ソフトGRAPESです．当然数学的には推論に穴がある解き方なのですが，数値解析という立場に立てば，何とか許されるでしょう．
ｎ本のときのそれぞれの答をｆ(ｎ)とする．
問題１：差（差の絶対値）が０以上になるのは必然なので，次のスクリプトでそれぞれのｎの場合（１≦ｎ≦１２）のｆ(ｎ)を計算した．
#
for a:=1 to n
# for b:=1 to n
# for c:=1 to n
# 答:=答+1
# draw
#
next c
# next b
# next
a
これにより，
f(1)=1,f(2)=8,f(3)=27,f(4)=64,f(5)=125,f(6)=216,f(7)=343,f(8)=512,f(9)=729,f(10)=1000,f(11)=1331,f(12)=1728
となるので，ｆ(ｎ)＝ｎ３となる．
関数式を求める際には，path関数（複数個の点を通る曲線のグラフを求める），cof関数（項の係数を求める）を使用している．
尚この場合ｎ≧０で十分である．
スクリプト実行中のアニメは大変興味深いものがあった．
問題２：次のスクリプトでｆ(ｎ)を計算した．取り出したくじは元に戻さないので，条件abs(a-b)>=sやabs(a-c)>=s，abs(b-c)>=s（s:=1）は必要ないのだが，これ以降の問題と同じスクリプトにする為に付けた．
#
s:=1
# for a:=1 to n
# for b:=1 to n
# if abs(a-b)>=s then
# for
c:=1 to n
# if abs(a-c)>=s and abs(b-c)>=s then
# 答:=答+1
#
draw
# endif
# next c
# endif
# next b
# next
a
これにより，
f(3)=6,f(4)=24,f(5)=60,f(6)=120,f(7)=210,f(8)=336,f(9)=504,f(10)=720,f(11)=990,f(12)=1320,f(13)=1716
となるので，ｆ(ｎ)＝ｎ３−３ｎ２＋２ｎ＝ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)となる．
尚この場合ｎ≧０で十分である．
ちなみにこの答は，元に戻さずに差が０以上である場合の答にもなっている．
問題３：問題２と同様なスクリプトでｆ(ｎ)を計算した．s:=2と変えただけである．これにより，
f(3)=0,f(4)=0,f(5)=6,f(6)=24,f(7)=60,f(8)=120,f(9)=210,f(10)=336,f(11)=504,f(12)=720,f(13)=990
となるので，ｆ(ｎ)＝ｎ３−９ｎ２＋２６ｎ−２４＝(ｎ−２)(ｎ−３)(ｎ−４)となる．
尚この場合ｎ≧２で十分である．
問題４：問題２のスクリプトでs:=3と変えただけである．これにより，
f(4)=0,f(5)=0,f(6)=0,f(7)=6,f(8)=24,f(9)=60,f(10)=120,f(11)=210,f(12)=336,f(13)=504
となるので，ｆ(ｎ)＝ｎ３−１５ｎ２＋７４ｎ−１２０＝(ｎ−４)(ｎ−５)(ｎ−６)となる．
尚この場合ｎ≧４で十分である．
さらに，差が４以上になる場合，s:=4として，
f(6)=0,f(7)=0,f(8)=0,f(9)=6,f(10)=24,f(11)=60,f(12)=120,f(13)=210,f(14)=336,f(15)=504
となるので，ｆ(ｎ)＝ｎ３−２１ｎ２＋１４６ｎ−３３６＝(ｎ−６)(ｎ−７)(ｎ−８)となる．
尚この場合ｎ≧６で十分である．
差が５以上になる場合，s:=5として，
f(8)=0,f(9)=0,f(10)=0,f(11)=6,f(12)=24,f(13)=60,f(14)=120,f(15)=210
となるので，ｆ(ｎ)＝ｎ３−２７ｎ２＋２４２ｎ−７２０＝(ｎ−８)(ｎ−９)(ｎ−１０)となる．
尚この場合ｎ≧８で十分である．
以上の事から，差がｓ以上のとき（ｓ≧１），
ｆ(ｎ)＝{ｎ−(２ｓ−２)}{ｎ−(２ｓ−１)}(ｎ−２ｓ)（ｎ≧２ｓ−２）
となる．
ちなみに４本のくじを引く場合は，
ｇ(ｎ)＝ｎ４−６ｎ３＋１１ｎ２−６ｎ＝ｎ(ｎ−１)(ｎ−２)(ｎ−３)（差が０以上，１以上，ｎ≧０）
ｇ(ｎ)＝ｎ４−１８ｎ３＋１１９ｎ２−３４２ｎ＋３６０＝(ｎ−３)(ｎ−４)(ｎ−５)(ｎ−６)（差が２以上，ｎ≧３）
ｇ(ｎ)＝ｎ４−３０ｎ３＋３３５ｎ２−１６５０ｎ＋３０２４＝(ｎ−６)(ｎ−７)(ｎ−８)(ｎ−９)（差が３以上，ｎ≧６）
ｇ(ｎ)＝ｎ４−４２ｎ３＋６５９ｎ２−４５７８ｎ＋１１８８０＝(ｎ−９)(ｎ−１０)(ｎ−１１)(ｎ−１２)（差が４以上，ｎ≧９）
・・・
となるので，
ｇ(ｎ)＝{ｎ−(３ｓ−３)}{ｎ−(３ｓ−２)}{ｎ−（３ｓ−１)}(ｎ−３ｓ)（差がｓ以上，ｎ≧３ｓ−３）
となる．
蛇足の疑問なのですが，何故問題１で元に戻すようにしているのでしょうか．問題２以降と形をそろえる意味で，戻さないようにしてもよかったのでは．その方が場合分けが面倒くさくはなるのですが，興味深い問題になったかも知れません．
またｎの条件も，場合の数を正の数にするという観点に立てばｎ≧７でよいのですが，問題４までではｎ≧４でも十分です．
毎回応募している訳でもないのに，厚かましい事を書いて申し訳ありません．