平成１５年３月１日
[流れ星]
第１１４回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：２月１６日〜３月１日＞
［垂足三角形］
太郎さんは、２月１日に名城大学の薬学部を受験した生徒から、次のような問題をもらいました。
この問題は 第１０８回の応募問題「最大・最小となる点」と類似していると連想しました。
ＮＯ１「H7K」さん 2/15: 20時44分 受信 更新3/1
では，早速...
(三角形の文字をデルタで表記しています)
(1) ΔABC=sqr(3)/4=(x+y+z)/2
ゆえに x+y+z=sqr(3)/2.
(2) (z+y)*sqr(3)/2*((z/2-y/2)*y/(y+z)+y/2+x)/2=sqr(3)/4*(yz/2-y^2/2+yz/2+y^2/2+xz+xy)=sqr(3)/4*(xy+yz+zx).
(3)xy+yz+zx=xy+(x+y)(sqr(3)/2-x-y)=(x+y)(sqr(3)/2)-x^2-xy-y^2
=(x+y)(sqr(3)/2)-x^2-xy-y^2....(*)
これをxで微分すると，sqr(3)/2-2x-yとなるので，yを固定したとき，最大になるのはx=-y/2+sqr(3)/4のとき．
同様に，xを固定したとき，最大になるのはy=-x/2+sqr(3)/4のとき．
よって，(*)が最大値をとるのはx=x/4+sqr(3)/8,y=y/4+sqr(3)/8，即ちx=y=z=sqr(3)/6のときで，
このとき(*)は1/4をとる．よって，T=sqr(3)/4*(xy+yz+zx)<=1/4*sqr(3)/4=1/4*S，
4T<=S．(但し，x=y=z=sqr(3)/6のときのみ，等号成立．)
ＮＯ２「UnderBird」 2/17: 10時48分 受信 更新3/1
ＮＯ３「toru」さん 2/18: 18時55分 受信 更新3/1
ＮＯ４「Kashiwagi」さん 2/20: 08時16分 受信 更新3/1
ＮＯ５「udonko」さん 2/21: 00時52分 受信 更新3/1
ＮＯ６「中川幸一」さん 2/21: 22時31分 受信 更新3/1
ＮＯ7「午年のうりぼう」さん 2/28: 23時59分 受信 更新3/2
