平成１５年６月１５日
[流れ星]
第１２０回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：５月２５日〜６月１５日＞
［ピラミッド問題２］
太郎さんは、また、「中尾」さんから、次のような類題をもらいました。皆さん！考えてください。
＜中尾さんのコメント＞前回のLucasのピラミッド問題に関連して、もうひとつの類題を解いてみました。
"ピラミッド型に積んだ球の個数が三角数になる場合を求めよ。"
Lucasのピラミッド問題は解が２個でしたが、こちらの問題は解が４個です。
[問題]
同じ大きさの球をピラミッド形に（月見だんごのように、最上部に1個、
次の段に4個、3段目に9個というように）積み上げたものを、平面上に並べ
直すと正三角形に(1列目に1個、2列目に2個、3列目に3個というように)なった。
球は全部で何個あるか？
NO１ 「H7K」さん
5/26: 19時48分 受信更新6/15
とりあえず，n=1,5,6を見つけましたが，
この問題を楕円関数の整点問題には持ち込みたくありません，
絶対初等的に(以下略).
NO２ 「Kashiwagi」さん
5/27: 07時41分 受信更新6/15
今回の問題はずるいのですが、Ｅｘｃｅｌｌを使用して解きました。数学的にはどの様に解くのですか？お教え頂けると幸甚でございます。
＜水の流れ：コメント＞ 実は 「Kashiwagi」さんは、１から６６１まで調べてありましたが、紙面の関係で１００までにしてあります。
NO３ 「toru」さん 5/27: 09時26分 受信更新6/15
第１２０回問題解答？
前回の解答を参考にすると、m(m+1)(2m+1)/6= n(n+1)/2 の正整数解をもとめればよい。
X=6m+3,Y=18n+9とおくと X^3-9X+81=Y^2 、X、Yは正整数であるからこの楕円曲線の整点をもとめれば十分、
てな感じに進むのだと思いますが、その後のところは勉強不足で、私の理解を超えておりました。
というわけで、とりあえず、エクセルでもって sqrt（X^3-9X+81）（X=6m+3、m=1,2,3,-----）をバーっとm=1000,まで計算してみましたら、整数になるのが、m=1,5,6,85
それぞれY=27,189,243,11619から
n=1,10,13,645で題意を満たし、球の数は1,55,91,208335の４通りが求まりました。
答は４つあると書いてあったので、これでＯＫなのでしょう。もちろん５つ以上ないことを示してないので、
不十分な解答なのは重々承知しておりますが、できるかどうかわからない（多分できない）ものにさらに時間をかける気力なく（イケマセンネ！）、答だけ送っておきます。また楕円曲線なるものを勉強したら再度挑戦してみようかと思います。（いつのことになるやら）
NO４ 「浜田」さん 6/07: 13時35分 受信更新6/15
多桁計算が簡単に出来るＵＢＡＳＩＣで解きました．ピラミッドが１０００００段以下での答は次の４通り．
球１個，ピラミッド１段，正三角形の辺１個
球５５個，ピラミッド５段，正三角形の辺１０個
球９１個，ピラミッド６段，正三角形の辺１３個
球２０８３３５個，ピラミッド８５段，正三角形の辺６４５個
10 'asave "120.ub"
20 MAX=100000
30 Kotae=0
40 Wa1=0:Wa2=0
50 M=1
60 for N=1 to MAX
70 Wa1+=N*N
80 Owari=0
90 while Owari=0
100 Wa2+=M
110 if Wa1=Wa2 then Kotae+=1:print
"球:";Wa1;"個, ピラミッド:";N;"段, 正三角形の辺:";M:Owari=1
120 if Wa1<Wa2 then Owari=1
130 M+=1
140 wend
150 next N
160 print "段数が";MAX;"以下での答は，以上の";Kotae;"通りです．"
170 end
NO５ 「三角定規」さん 6/11: 21時37分 受信更新6/15
第120回解答送ります。
私もエクセルで解を捜すことができただけです。応募された皆
様の解法を勉強させていただきます。
NO６ 「UnderBird」さん
6/13: 13時58分 受信更新6/15
1^3+2^3+3^3+・・・+n^3=1^2+2^2+3^2+・・・+k^2 を満たす自然数n,kを求めればよい。
今回もexcelにより4組の解を求めるしか思いつきませんでした。
n(n+1)(2n+1)/6=k(k+1)/2より
k=(-3±sqrt(24n^3+36n^2+12n+9))/6
これをif関数とint関数でn=1から2000まで調べて見つけました。
(n,k,k(k+1)/2)=(1,1,1),(5,10,55),(6,13,91),(85,645,208335)
NO７ 「中川幸一」さん
6/15: 23時33分 受信更新6/24
