平成１５年１２月２８日
[流れ星]
第１２９回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：１２月７日～１２月２８日＞
［整数三角形］
今回は、「中尾」さんからの出題で、「３辺の長さが整数の三角形」に関するものです。
問題１.：３辺の長さa,b,cが全て整数である三角形で、底辺aが高さhの５倍に等しいものをいくつか求めなさい。（＜水の流れ：１個でも構いません＞）
問題２：３辺の長さa,b,cが全て整数である三角形で、底辺aが高さhの６倍に等しいものをいくつか求めなさい。（＜水の流れ：１個でも構いません＞）
問題３：３辺の長さa,b,cが全て整数である三角形で、底辺aが高さhの２倍に等しいものは存在しないことを証明しなさい。
ただし、相似な(または合同な)三角形は同一と見なします。
No1「kasama」 12/15: 23時49分 受信 更新12/28
私も師走に入ってからいろいろと忙しく、仕事の空き時間で、問題を考える時間が難しくなりました。土日を利用して問題に取り組んでみました。
全部できていませんが、経過をご報告致します。
【第129回】
①第１問、第２問
条件を満たす三角形を以下の通り見つけました。ただ、論理的に見つけたのではなく直感に近い形で発見しました。
第１問の三角形の１つ・・・辺の長さ600、241、409
第2問の三角形の１つ・・・辺の長さ120、101、29
②第3問（仕掛中）
完成していませんが、条件を満たす三角形の辺の長さの間には、
2*a^4 - 2*(b^2 + c^2)*a^2 + (b^2 - c^2)^2 = 0 （a＞b＞c）
の関係があることはわかりました。b=cの場合は明らかに、そのような三角形は存在しませんが、b＞cの場合、どう証明するのを考えています。
No2出題者の「中尾」 さん 12/02: 23時26分 受信 更新12/28
[解答]
△ABCの３辺の長さa,b,cを有理数、底辺aをn、高さhを１とする。
AからBCに下した垂線の足をHとし, BH=u, HC=vとする。
ただし、簡単のため、
∠ABC > π/2の場合は、BH=-u (u<0)
∠ACB > π/2の場合は、HC=-v (v<0)
とする。このとき、
u+v=n
b^2=u^2+1
c^2=v^2+1
である。
x=u-v
y=4bc
とすると、
2u=n+x
2v=n-x
より、
y^2=16b^2c^2
=(4u^2+4)(4v^2+4)
=((n+x)^2+4)((n-x)^2+4)
=x^4-2(n^2-4)x^2+(n^2+4)^2
を得る。点(x,y)は曲線
C_n:y^2=x^4-2(n^2-4)x^2+(n^2+4)^2
の自明でない(y!=0である)有理点である。
曲線C_nは双有理変換
x=(n^2+4)(X+4)/Y,
y=(n^2+4){2X^3+(n^2+20)X^2+8(n^2+8)X+16(n^2+4)-Y^2}/Y^2 ;
X=(n^2+4)(y+n^2+4-x^2)/{2x^2},
Y=(n^2+4){(n^2+4)(y^2+n^2+4)-(n^2-4)x^2}/{2x^2} ;
により、楕円曲線
E_n: Y^2=X^3+(n^2+8)X^2+4(n^2+4)X
に有理同型である。
n>0なので、E_nのねじれ点群E_n(Q)_{tors}は、
Z/2ZxZ/2Z={(0,0),(-4,0),(-n^2-4,0),O}
である。
n=5のとき、E_5: Y^2=X^3+33X^2+116X
のMordell-Weil群E_5(Q)は、rank=1で、その基底は(-9,30)である。
E_5の有理点からC_5の有理点を計算して、題意を満たす(n,b,c)を探すと、
(5, 241/120, 409/120),
(5, 16354950889/2152746960, 5858756089/2152746960),
(5, 15224080676149012091689/13756901884302741868440,
63765406834896547107361/13756901884302741868440),
(5, 24218187327122647056442140614568372561841/4468251181812602388323869082371370448480, 4701093187965500335736065885533838399441/4468251181812602388323869082371370448480),
(5,188505117184298045766443476808536487676309408915680510143752001/155003203560506231309765165551107549384742417766438341246176600,
895804429223810234900835181391095219906663545142679754041146249/155003203560506231309765165551107549384742417766438341246176600),
.....
のようになる。これらと相似で３辺の長さが整数になる三角形(a,b,c)を計算す
ると、
(600, 241, 409),
(10763734800, 16354950889, 5858756089),
(68784509421513709342200, 15224080676149012091689, 63765406834896547107361),
(22341255909063011941619345411856852242400, 24218187327122647056442140614568372561841,
4701093187965500335736065885533838399441),
(775016017802531156548825827755537746923712088832191706230883000, 188505117184298045766443476808536487676309408915680510143752001,
895804429223810234900835181391095219906663545142679754041146249),
....
を得る。
参考文献
[1]Allan J.MacLeod, "A simple practical heigher descent for large height
rational points on certain elliptic curves", July 15, 2002.
No３出題者の「中尾」 さん 12/06: 22時02分 受信 更新12/28
n=1,...,30について、３辺の長さが整数で、底辺の長さが高さのn倍に等しい三角形をいくつか計算してみました。
結果は次のようになりました。
n=1,2,3,4,7,10,11,12,16,24,25,27,28,30の場合は、解なし。
n=5,6,8,9,13,14,15,17,18,19,20,21,22,23,26,29の場合は、解あり。
n=6の場合は、最小解[a,b,c]が小さいので、小さい解をもつ問題を出題するなら、こちらの方が良いかもしれません。
あるいは、n=2の場合に解がないことを証明しなさい、という問題も面白いと思います。
楕円曲線E_n
三角形の３辺
n [0,a_2,0,a_4,0] rank(E_n(Q))
E_n(Q)の基底 [a,b,c]
---- ---------------- ------------ ------------
-------------------
1 [0, 9, 0, 20, 0] 0
-- --
2 [0, 12, 0, 32, 0]
0
-- --
3 [0, 17, 0, 52, 0]
0
-- --
4 [0, 24, 0, 80, 0]
0
-- --
5 [0, 33, 0, 116, 0]
1 [-9 : 30 : 1]
[600, 241,409],[10763734800, 16354950889, 5858756089],...
6 [0, 44, 0, 160, 0] 1
[-8 : 32 : 1] [120, 29,101],[27415440, 27772729, 4569289],...
7 [0, 57, 0, 212, 0]
0
-- --
8 [0, 72, 0, 272, 0]
1 [-36 : 192 : 1] [120, 113,17],[23974080,
5547169, 19537249],...
9 [0, 89, 0, 340, 0]
1 [-5 : 20 : 1]
[9360, 1769,10841],[2193892307923680, 335564764696849],...
10 [0, 108, 0, 416, 0]
0
-- --
11 [0, 129, 0, 500, 0]
0
-- --
12 [0, 152, 0, 592, 0]
0
-- --
13 [0, 177, 0, 692, 0]
1 [-121 : 858 : 1] [291720,
315121,31849],[986435564564501697360, 827765313659746079929,179031046508032125289],...
14 [0, 204, 0, 800, 0]
1 [-20 : 240 : 1] [2184,
685,1525],[3102786960, 3874500361, 796811929],...
15 [0, 233, 0, 916, 0]
1 [-49 : 630 : 1] [10920,
8297,2753],[1399306337629200, 184391575222969, 1561148767833769],...
16 [0, 264, 0, 1040, 0]
0
-- --
17 [0, 297, 0, 1172, 0] 1
[11236 : 245973 : 64] [116433779280,8405427241,
111771268729],[11670441288604186032511890990181342444475040,
9569225044530597073751214140775621146980849, 2233967780403995054623788795320612578673809],...
18 [0, 332, 0, 1312, 0] 1
[-200 : 2240 : 1] [6254640,6532649, 439289],
[121912996594096227283152480, 96186506119044368085563761,
26834058234370029973355281],...
19 [0, 369, 0, 1460, 0] 1 [31680 : 675120
: 1331] [45798405066480, 32279148533449, 13821198008281],
[379625543589728572904666977237492035627972880961288160 86182251259758751530022455146839302807111409456623409,
463890202432451443335875107166868472678484477836703569],
20 [0, 408, 0, 1616, 0]
1 [-324 : 2880 : 1]
[46800, 54781, 8269],[1328412804494162400, 1323626120375260129,
66733491312342529],...
21 [0, 449, 0, 1780, 0] 1 [-125 :
2200 : 1] [121265760, 112752209, 10409969], [14794720810392116418692000253120,
1167572755316636045893632472801,
13881540004580080404719114203681],...
22 [0, 492, 0, 1952, 0] 1 [-200 :
3360 : 1] [11651640,11532109, 545749],[835113361625825952930340080,
300163776632474933570433721,
538698603464021032708637641],...
23 [0, 537, 0, 2132, 0] 1 [9984 :
301600 : 27]
???????
24 [0, 584, 0, 2320, 0]
0
-- --
25 [0, 633, 0, 2516, 0]
0
-- --
26 [0, 684, 0, 2720, 0] 1 [-40
: 960 : 1] [15600, 5641,10009],[3859613000224800, 5654150911242289,
1798724912017489],...
27 [0, 737, 0, 2932, 0]
0
-- --
28 [0, 792, 0, 3152, 0]
0
-- --
29 [0, 849, 0, 3380, 0] 2 [-13
: 312 : 1], [-729 : 7830 : 1]
[737760, 31681,719329],[412064257777120320, 335396785055745169,
78269171337328849],...
30 [0, 908, 0, 3616, 0]
0
-- --果は次のようになりました。
No４出題者の「中尾」 さん 12/07: 14時42分 受信 更新12/28
n=5,6の場合の有理三角形を10個づつ計算してみました。
n=6の場合の有理三角形[a,b,c]
[120, 29, 101],
[27415440, 27772729, 4569289],
[12952017180018840, 7931145035825621, 20696623998383789],
[95232826373294265219379127520,42214513782471622240925854321, 58317318869475756772974310801],
[984722124297657920208938962173585566112575400,1210042736052666922315926674069618060356759949,
269798055405744032388233516857514558053971701],
[59987397459285306274902451439706943194643656152406454232910252720,
12466627277959543187921142510354961414911343257433440271096423849,
68171584461853041981796754561684712203071290417645274730596375129],
[14941044388269291692579458119819865160543110624731546390494072551030630817731256091572040,
10414048338124319673672489482322542603632358891529923207184685938123846337719446380059461,
5433338361699949096932444702087914449360760230999366648949060600795445357656391543616829],
[3985331725489978003966196663360076867649746175859828184804339110845024722228907122929129270281954636284163207517760,
8360482791292095826766904553587174028719601081669156149079600078327515881355362338075095515663878805285741770740961,
4399157828039987175265326289864121955494283501295473293354944428736554894597902347072223756727586477949803927890721],
[37140145839588546150030985022582558980307902995509076800734441483050718071074027393257154586227024940964850655646907871777337104447899060900734920,
6535054992182038941657001829022408937485623644467869352860957715845493033911836485454617691726823725830873796893572197175650203676094945553066749,
35587262606638970066222094051205399467814583423717038199851149564886421453556142415352851287414669964226167513040565199928924089319708546649900421],
[454250489041104208424675899957100917086906726914569274854151577839269288916509215615008100408030230223848861395678638545886493364030415070482774363972527971780476608180092698250800,
410753632614562186245655043535925153273873571663779574243070019606797007836844283391443200151240740113956641427678194880882156234848369982444917150183750174793548467844959742669849,
91024594937825603194226346373152022947790463893973724833028621129270230310093885836279382007049767754119289184240077514824416466767320373427115275247142813098861192940312107420649],
......
n=5の場合の有理三角形[a,b,c]
[600, 241, 409],
[10763734800, 16354950889, 5858756089],
[68784509421513709342200, 15224080676149012091689, 63765406834896547107361],
[22341255909063011941619345411856852242400,24218187327122647056442140614568372561841, 4701093187965500335736065885533838399441],
[775016017802531156548825827755537746923712088832191706230883000,
188505117184298045766443476808536487676309408915680510143752001,
895804429223810234900835181391095219906663545142679754041146249],
[3722178060103758513481646180599129601055700276779317384184738079533725681061176449601156400,
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No５「中川幸一」さん さん 12/28: 23時10分 受信 更新12/29 No６＜水の流れ ：今回は小さな数字に答えがなくて苦労されたと思います。＞
