平成１６年２月１日
[流れ星]
第１３２回数学的な応募問題解答NO3
＜解答募集期間：１月１１日～１月３１日＞
［フィボナッチ数］
１２０２年、イタリアに住んでいたフィボナッチは当時の代数学と整数論の知識を総合した内容の「算盤の書」という名の本をラテン語で出版しました。これは１０進法を用いて学習するヨーローパで最初の本の１冊となりました。
フィボナッチは当時の風習であった数学競技会（難しい問題を最高・最速で解く公開競技）に参加しました。フィボナッチの問題を解く手法はみんなを驚かせました。フィボナッチの名声は、数学グループを同行してローマ帝国のピザを訪れたフリードリッチⅡ世皇帝にまでとどろきフィボナッチとの公開試合が催されました。試合に出題された問題の一つは次に示す問題です。
「平方に５を加えても、平方から５を引いても完全平方となる数を見つけよ」
ただし、このような数は分数で、整数ではありません。また、フィボナッチは１つ数を見つけましたが、他にもありそうです。
＜問題出典：「数学センス」コルディムスキー 著 鈴木敏則 訳 （丸善株式会社）＞
NO1「H7K」 1/11: 17時11分 受信 更新2/1
NO2「kiyo」 1/11: 20時48分 受信 更新2/1
NO3「中尾」 1/11: 22時49分 受信 更新2/1
＜水の流れ：NO１からNO3までは解答ＮＯ１に載せさせて頂きます＞
NO4「中川幸一」 1/11: 23時41分 受信 更新2/1
NO5「toru」 1/15: 11時03分 受信 更新2/1
NO6「kasama」 1/15: 18時24分 受信 更新2/1
NO7「中尾」 1/15: 22時57分 受信 更新2/1
NO8「kasama」 1/20: 20時03分 受信 更新2/1
NO９「kiyo」 1/21: 01時09分 受信 更新2/1
NO10「森原」 1/22: 21時58分 受信 更新2/1
NO11「三角定規」 1/25: 00時29分 受信 更新2/1
＜水の流れ：NO4からNO11までは解答ＮＯ２に載せさせて頂きます＞
NO12「kashiwagi」1/26: 08時00分 受信
更新2/1
132回解答
求める数をXとすると、題意より
X2＋５＝A２ ・・・・①
X2－５＝Ｂ２ ・・・・②
①－②より
A２－Ｂ２ ＝10
（Ａ＋Ｂ）（Ａ－Ｂ）＝10
ここでＡ＋Ｂ、Ａ－Ｂ各々が整数の場合を考えると、
Ａ＋Ｂ＝10
Ａ－Ｂ＝１
ないし、
Ａ＋Ｂ＝５
Ａ－Ｂ＝２
が成立する。
これよりA、Bを求め、Xを計算すると、
X＝±√101／２
X＝±√29／２ となる。
Ａ＋Ｂ、Ａ－Ｂ各々が整数で無い場合は分かりません。
＜水の流れ：答えが無理数ですね。これは予想外です。問題文は数としか書いておきませんでしたが・・・、時は１２２５年の数学競技会の問題です。このころ無理数って知っていたのかな？＞
「kashiwagi」1/29: 08時22分 受信 更新2/1
私も、もし、整数ならどうなのかと思い計算してみると 無理数がでたわけで・・・。勝算も理論もあった訳ではございません。私自身 驚きました。ガウスよりずっと早い時代であるフイボナッチの頃は無理数はあり ませんし・・・。
「kashiwagi」1/29: 11時20分 受信 更新2/1
お世話になります。面白いことに気づきましたので送信させて頂きます。
先般送付させて頂いたA２－B２＝１０の解でA－Ｂ＝５／２，Ａ＋Ｂ＝４と してA＝１３／４，Ｂ＝３／４を求め、
Xを計算すると、X＝±√８９／４となり ます。このように考えると、無限に解が存在するのではないでしょうか？
NO13「kiyo」 1/28: 19時41分 受信 更新2/1
いつもお世話になっています。（kiyo）です。
漸化式を見つけました。十進ベーシック（1000桁モ－ド）で５個まで求めました。
( 41 / 12 )^2+5=( 49 / 12 )^2
( 41 / 12 )^2-5=( 31 / 12 )^2
( 3344161 / 1494696 )^2+5=( 4728001 / 1494696 )^2
( 3344161 / 1494696 )^2-5=( 113279 / 1494696 )^2
( 249850594047271558364480641 / 5354229862821602092291248 )^2+5=(
250137278774864229623059201 / 5354229862821602092291248 )^2
( 249850594047271558364480641 / 5354229862821602092291248 )^2-5=(
249563579992463717493803519 / 5354229862821602092291248 )^2
(
3896941041458487485320832722469963686366256264486004169772710584821176712668
535259971051251201565099266561 /
1670194394775642548048193336921975164752695709788244035197217022822590701478
08848039273138602363503527584 )^2+5=(
3914795900991590624465264315322159582677229072432966937735388495529033628971
288541170127075160953800576001 /
1670194394775642548048193336921975164752695709788244035197217022822590701478
08848039273138602363503527584 )^2
(
3896941041458487485320832722469963686366256264486004169772710584821176712668
535259971051251201565099266561 /
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08848039273138602363503527584 )^2-5=(
3879003997779141543494334729212494409541643481203682190099361528773630968811
107453857812241981709854955521 /
1670194394775642548048193336921975164752695709788244035197217022822590701478
08848039273138602363503527584 )^2
(
2306385900107065399516526913217656497973179787190051970914544749940231133165
5689664596249369522404273350805071134892983933326897542507670619071857136811
4565832606037337885928582148352474750670120752040879724475690861404690501755
2234706751485584665851625492712128207696072742993044553133431060188827967861
5913980749455732140064857557214030830926226936119781473555725664834229973892
0538361329361569876924074413836967285770241 /
1976742978471886685842808505628342578557539876573497523191449528026272409711
9223236553294311630565215390269665248942922978356332780412188755004235077262
8358155066591054455802316499365790805229080314889468284628879961976785217226
5493899968079782534252612120966944071585060189278038037963940868393654801178
6316379398615750442050564981848672414014688547764279613609774414409259731125
380750385761077840796163600017039055654208 )^2+5=(
2348359333739105087285003643370928971550540836470525750847847874250891189507
0804267346502294176006196105467225006771526221715013165206191709430697478276
7719322960140021120200140601938142843134010669102433315043051589991078631970
3277261188958114244680179467970265815677592832634515610493446212894393641019
3414195487604411472001173776737345977254815752220252599579175607264649266407
4148455864317490242860054591924899696947201 /
1976742978471886685842808505628342578557539876573497523191449528026272409711
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(
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5689664596249369522404273350805071134892983933326897542507670619071857136811
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0538361329361569876924074413836967285770241 /
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380750385761077840796163600017039055654208 )^2-5=(
2263634307936196429608249438731032028736335667329238990550814794730843742170
8777444516703526261370068232951076204358806477137130140702525281028841066274
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8293114894810661291718919469331055349137006793779876240099818615462574955233
8612304846141772378653913564869143019404263378715984942885745629626348262914
9044717889542328474909975184600214551879681 /
1976742978471886685842808505628342578557539876573497523191449528026272409711
9223236553294311630565215390269665248942922978356332780412188755004235077262
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380750385761077840796163600017039055654208 )^2
「kiyo」 1/28: 23時05分
受信 更新2/1
いつもお世話になっています。清川（kiyo）です。
十進べ－シックによるプログラムです。
1000桁モードで実行します。
出力されたDATA文を有理数モードで検算しました。
REM (A,B)=1
REM (A/B)^2+5=(C/B)^2
REM (A/B)^2-5=(D/B)^2
REM A^2=100*M^4+N^4
REM Mは偶数 Nは奇数
REM B=2*M*N
REM C^2=A^2+5*B^2
REM D^2=A^2-5*B^2
REM (B^2,C^2)=1-->(B,C)=1
REM (B^2,D^2)=1-->(B,D)=1
REM 2 3
REM 41 12
REM 49 31
REM 492 1519
REM 3344161 1494696
REM 4728001 113279
REM 4998504070056 535583225279
REM 249850594047271558364480641 5354229862821602092291248
REM 250137278774864229623059201 249563579992463717493803519
REM 133775751189161858824782767322253868196963922972996862425154780628025960494103124595187870600793999128319
REM
3896941041458487485320832722469963686366256264486004169772710584821176712668535259971051251201565099266561
167019439477564254804819333692197516475269570978824403519721702282259070147808848039273138602363503527584
REM
3914795900991590624465264315322159582677229072432966937735388495529033628971288541170127075160953800576001
3879003997779141543494334729212494409541643481203682190099361528773630968811107453857812241981709854955521
REM
65086490842151206606924535663975361488529674917404485410586253688098081128511678389876139219899205297507753547086702546875846011199027492754437910452808679533688878936918672307237515408216452909293605463231862415185508950435776416452368987605185978501000941150281883683275782426827378425316828754021995075037653287216081762976764719591221858100715348626614197424631004360551106218468165704357670147483677321794094035051521
REM
2306385900107065399516526913217656497973179787190051970914544749940231133165
5689664596249369522404273350805071134892983933326897542507670619071857136811
4565832606037337885928582148352474750670120752040879724475690861404690501755
2234706751485584665851625492712128207696072742993044553133431060188827967861
5913980749455732140064857557214030830926226936119781473555725664834229973892
0538361329361569876924074413836967285770241
1976742978471886685842808505628342578557539876573497523191449528026272409711
9223236553294311630565215390269665248942922978356332780412188755004235077262
8358155066591054455802316499365790805229080314889468284628879961976785217226
5493899968079782534252612120966944071585060189278038037963940868393654801178
6316379398615750442050564981848672414014688547764279613609774414409259731125
380750385761077840796163600017039055654208
REM
2348359333739105087285003643370928971550540836470525750847847874250891189507
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7719322960140021120200140601938142843134010669102433315043051589991078631970
3277261188958114244680179467970265815677592832634515610493446212894393641019
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4148455864317490242860054591924899696947201
2263634307936196429608249438731032028736335667329238990550814794730843742170
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9044717889542328474909975184600214551879681
DIM M(5)
DIM N(5)
DIM A(5)
DIM B(5)
DIM C(5)
DIM D(5)
LET M(1)=2
LET N(1)=3
LET A(1)=41
LET B(1)=12
LET C(1)=49
LET D(1)=31
FOR I=2 TO 5
LET
M(I)=2*M(I-1)*N(I-1)*A(I-1) !
M(I)=B(I-1)*A(I-1)
LET N(I)=ABS(100*M(I-1)^4-N(I-1)^4)
LET A(I)=SQR(100*M(I)^4+N(I)^4)
LET B(I)=2*M(I)*N(I)
LET C(I)=SQR(A(I)^2+5*B(I)^2)
LET D(I)=SQR(A(I)^2-5*B(I)^2)
NEXT I
FOR I=1 TO 5
PRINT M(I);N(I)
PRINT A(I);B(I)
PRINT C(I);D(I)
PRINT
NEXT I
FOR I=1 TO 5
PRINT "DATA ";A(I)
PRINT "DATA ";B(I)
PRINT "DATA ";C(I)
PRINT "DATA ";D(I)
PRINT
NEXT I
END
NO14「中尾」 1/17: 16時０７分 受信 更新2/1
今回の問題と合同数5との関係(本質的に等価であること)について、記述しました。参考まで。
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合同数5について
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第１３２回数学的な応募問題(Fibonacci数)は、5が合同数であることを示すことに帰着できる。
一般に、正整数nが合同数であるとは、３辺の長さが有理数の直角三角形で、その面積がnであるものが存在することと定義する。
□をある有理数の平方数とする(各□は同一とは限らない)。
今回の応募問題は、以下を満たす有理数xを求めれば良い。
x^2+5=□, -------- (1)
x^2-5=□ -------- (2)
先に提出した解答では、楕円曲線E: Y^2=X^3+100Xの有理点(X,Y)でX=□なるものを求めることに帰着した。
楕円曲線Eと楕円曲線
E_5: y^2=x^3-25x
は、２つの2-isogeny
φ_1:E→E_5,
φ_2:E_5→E,
φ_1(X,Y)=({Y^2}/{4X^2},{Y(100-X^2)}/{8X^2}),
φ_2(x,y)=({y^2}/{x^2},{-y(25+x^2)}/{x^2}),
φ_1 o φ_2=[2]_{E_5}, (E_5上の2倍写像)
φ_2 o φ_1=[2]_{E_5}, (E上の2倍写像)
で、有理点を互いに写し合う。
後で示すように、E_5に自明でない(y!=0)有理点(x,y)があるので、5は合同数である。
ここでは、(1),(2)より、直接E_5の有理点を求めることに帰着する。
U=x^2とすると、U,U+5,U-5はいずれも有理数の平方数であるので、それらの積 U(U+5)(U-5)=U^3-25U も有理数の平方数V^2である。
E_5: V^2=U^3-25U
よって、(U,V)は楕円曲線E_5の有理点であり、かつ、Uは平方数である。
楕円曲線E_5のねじれ点群tors(E_5(Q))は、
Z/2Z×Z/2Z={(0,0),(5,0),(-5,0),O}
である。rank(E_5(Q))=1であり、その生成元は、P(-4,6)である。
E_5の有理点R(x,y)に対して、Rのx座標をx(R)とする。
このとき、簡単な計算で、
x((x,y)+(-4,6))={-4(3x+2y)^2}/{4y^2},
x([2](x,y))={(x+25)^2}/{4y^2},
x((x,y)+(0,0))={-25}/{x},
x((x,y)+(5,0))={5(x+5)}/{x-5},
x((x,y)+(-5,0))={-5(x-5)}/{x+5}
となる。よって、nを整数とするとき、
x([2n](-4,6))=□, (ただし、n!=0)
x([2n+1](-4,6))=-□ であることが直ちに分かる。
これより、x(R)=□となるE_5の有理点は[2n](-4,6) (ただし、n!=0)に限る。
(1),(2)を満たす有理数xを求めることは、各正整数nに対して、
E_5の有理点[2n](-4,6)のx座標の平方根を計算することに帰着できた。
