平成１６年２月２１日
[流れ星]
第１３４回数学的な応募問題
＜解答募集期間：２月２１日〜３月１３日＞
［正ｎ面体］
太郎さんは今まで考えていなかったことがあります。それは３次元空間では正ｎ面体といわれているものは
ｎ＝４，６，８，１２、２０の５個があります。それでは、このほかにあるのでしょうか、それとも５個の限るのでしょうか、考えてみます。最初に、オイラーの多面体定理を示します。
「１つの多面体の頂点の個数をＶ、辺（稜または線）の個数をＥ 、面の個数をＦとすると、
Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２ が成り立つ。
各正多面体の頂点・辺・面の個数を書き上げてみると、次の表のようになる。
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Ｖ |
Ｅ |
Ｆ |
Ｖ−Ｅ＋Ｆ |
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正４面体 |
４ |
６ |
４ |
２ |
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正６面体 |
８ |
１２ |
６ |
２ |
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正８面体 |
６ |
１２ |
８ |
２ |
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正１２面体 |
２０ |
３０ |
１２ |
２ |
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正２０面体 |
１２ |
３０ |
２０ |
２ |
次に、必要な事実があります。
「事実１」：１つの頂点に集まる面の数は３以上である。
「事実２」：１つの頂点に集まる角の大きさは、３６０゜未満である。
ここで、問題です。３次元空間では正ｎ面体は何個あるでしょうか。
「３次元空間では正ｎ面体は何種類あるでしょうか。」に修正します。（22日記入）
皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。
待っています。
