平成１７年２月１３日

[流れ星]

　　　　　第１５１回数学的な応募問題

　　　　　　＜解答募集期間：２月１３日〜３月６日＞
［規則性の発見］

皆さんは、「コラッツ・角谷予想」をご存じでしょうか。現在のところ未解決のようです。これは次のことです。
「ある２以上の整数についての操作で、
　（１）その整数が偶数なら２で割る。
　（２）その整数が奇数なら３倍して１を加えて２で割る
　を繰り返して行うと、必ず４→２→１に達する」　という問題です。

では、次のように操作を変えて考えます。
「ある与えられた２以上の整数から始めて、次の操作を行う。
　（１）その整数が偶数なら２で割る。
　（２）その整数が奇数なら１を加える。
　（３）その整数が１になるまで、（１）、（２）を繰り返す。
　例：１３→１４→７→８→４→２→１　

ここで、問題です。一般に２以上の整数ａ_ｎが上の操作で
　ａ_ｎ→ａ_ｎ−１→・・・→ａ_２→ａ_１→１
となったとき、整数ａ_ｎは「操作数」ｎを持つという。
　例１：「操作数」３の整数　８→４→２→１　　、　３→４→２→１
　例２：「操作数」６の整数　１３→１４→７→８→４→２→１　

このとき、次の問を考えてください。

問１：「操作数」１の整数、「操作数」２の整数を見つけてください。
問２：「操作数」ｎを持つ整数の個数をｆ（ｎ）としたとき、ｆ（３），ｆ（４），ｆ（５），ｆ（６）を求めてください。
問３：ｆ（ｎ＋２）をｆ（ｎ＋１）とｆ（ｎ）との間に成り立つ漸化式を予想してください。
問４：問３の予想を証明してください。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。
待っています。