平成１５年５月２５日
[流れ星]
第１１９回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：５月６日〜５月２５日＞
［複雑な不定積分］
ＮＯ１「toru」さん 5/06: 14時12分 受信更新5/25
問題１ x=tanθ(-π/2≦θ≦π/2)とするとdx=1/(cosθ)^2, 1/(1+x^2)=(cosθ)^2
より ∫1/(1+x^2)dx =∫dθ=θ+C=tan-1
x+C
問題２ ∫1/(1-x^2)dx=∫(1/(1+x)+1/(1-x))/2dx= 1/2 log｜(1+x)/(1-x)｜+C
問題３ x=sinθ(-π/2≦θ≦π/2)とするとdx=cosθdθ 1/√(1-x^2)=1/cosθより
∫1/√(1-x^2)dx=∫dθ=θ+C=sin-1 x+C
問題４ t=x+√(1+x^2)とするとt>0で、t+1/t=2√(1+x^2), 2dx= (1+1/t^2)dtから
∫1/√(1+x^2)dx =∫(1/t )dt=log
t+C=log(x+√(1+x^2))+C
問題５ (x√(1-x^2))’=√(1-x^2)-x^2/√(1-x^2)=2√(1-x^2)-1/√(1-x^2)、よっ
て
∫√(1-x^2)dx=1/2(x√(1-x^2)+∫1/√(1-x^2)dx)=1/2(x√(1-x^2)+ sin-1 x)+C
問題６
(x√(1+x^2))’=√(1+x^2)+x^2/√(1+x^2)=2√(1+x^2)-1/√(1+x^2)、
よっ
て
∫√(1+x^2)dx=1/2(x√(1+x^2)+∫1/√(1+x^2)dx)=1/2(x√(1+x^2)+log(x+√(1+x^2)))+C
問題４はカンニングしました。
MACを使っているせいかところどころ文字化けする
ようですが、善意に解読して下さいますように。 ペンネーム Toru
ところで問題６３について
ベキ級数（1+x+x^2+x^3+------）は収束半径｜x｜<1 内では絶対収束するので、この
積については分配律が成り立つとしてよく、（1+x+x^2+x^3+------）^nはn個のカッ
コ内からそれぞれx＾m (m=0,1,2,----------)のどれかを選んでかけたもののあらゆ
る組み合わせの和としてよい。あるカッコからx^mを選んだ時は、そこからm個選んだ
ものと考えれば、x＾kの係数はn個から重複を許して、k個を選ぶ重複組み合わせで
nＨk=n+k-1Ｃk=(n+k-1)!／(n-1)!k!
｜x｜<1で1+x+x^2+x^3+------=1/(1-x)、（1+x+x^2+x^3+----）^n=(1-x)^(-n)=F(x)
とすると、これは同じ範囲で（？）マクローリン展開できて、x＾kの係数は
F(k) (0)／k！=n(n+1)------(n+k-1)／k! 、 (F(k) はFのk回微分です)
分配律が成り立つだの、マクローリン展開できるだののところは「解析概論」なんぞ
を引っぱりだして、この機会にちょこっと勉強しました。
ＮＯ２「浜田」さん 5/07: 17時50分 受信更新5/25
グラフ作成ソフトＧＲＡＰＥＳを使って解いてみました．
ｆ'(ｘ)＝lim(h->0) {ｆ(ｘ＋ｈ)−ｆ(ｘ)}／ｈ から，ｈ≒０のとき，
ｆ'(ｘ)≒{ｆ(ｘ＋ｈ)−ｆ(ｘ)}／ｈ
∴ｆ(ｘ＋ｈ)≒ｆ(ｘ)＋ｆ'(ｘ)ｈ
ｆ(ｘ)の不定積分の１つをＦ(ｘ)とすると，
Ｆ(ｘ＋ｈ)≒Ｆ(ｘ)＋ｆ(ｘ)ｈ
Ｆ(０)＝０，ｈ＝０.０５として，
(1) ｆ(ｘ)＝１／(１＋ｘ^2)
(2) ｆ(ｘ)＝１／(１−ｘ^2)
(3) ｆ(ｘ)＝１／sqr(１−ｘ^2)
(4) ｆ(ｘ)＝１／sqr(１＋ｘ^2)
(5) ｆ(ｘ)＝sqr(１−ｘ^2)
(6) ｆ(ｘ)＝sqr(１＋ｘ^2)
とすると，答のＦ(ｘ)のグラフが表示されます．
∫dx/(1+x^2)=?
# //Clickで作図開始
# clraimg
# k:=.05
# a:=0
# b:=0
# c:=0
# draw
# for a:=k to 5 step k
# b:=b+f(a)*k
# draw
# next
# b:=0
# for a:=-k to -5 step -k
# b:=b+f(a)*(-k)
# draw
# next
# c:=1
# draw
# ---
ＮＯ３「Kashiwagi」さん 5/10: 19時20分 受信更新5/25
問題を見つけトライ致しました。問４と６が問題ですね。これらの積分は大学の教養課程で解いておりましたので思い出しながら解きましたが、問４は中々思い出さず、数時間かかりました。
問４が解ければ、６は利用することと部分積分を使うことを記憶しておりま
したので何とか解けました。しかし、この様な技巧でしか解けないのでしょうか？高校生には少々酷な問題ですね。それとも今時の高校生は簡単に解くのでしょうか？
ＮＯ４「三角定規」さん 5/11: 12時51分 受信更新5/25
第119回解答送ります。
４半世紀ぶりに受験生になった気分です。よく忘れないでいるもんだな〜と、我ながら驚いています。世界史の人名や年号などはあらかた忘れているのですけどね〜、やはり気合いの入れ方が違っていたのかしら！？
ＮＯ５「UnderBird」さん 5/11: 17時26分 受信更新5/25
お願いします。
個人的に好きな定積分の問題があるのですが、
今、どこにメモしたか忘れてしまい検索中です。もし見つけたら後日紹介させていた
だきます。
（たいした問題ではないのですが、なぜか気になるものでしたので・・・）
ＮＯ６「中川幸一」さん 5/23: 21時22分 受信更新5/25
今回も結構ギリギリになってしまいました。
迷惑をかけてすみません。
