平成１７年５月１５日
[流れ星]
第１５４回数学的な応募問題解答
＜解答募集期間：４月１７日～５月１７日
［ピックの公式］
皆さん、多角形の面積を求める素晴らしい公式を紹介します。ここでは、手順にしたがって、証明していきます。
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公式：すべての頂点が格子点にある多角形が、内部にａ個の格子点をもち、周上にｂ個の格子点をもつとき、その面積は |
手順１：格子の線上に４辺がある長方形のとき、ピックの公式を証明せよ。
手順２：格子の線上に直角をはさむ２辺がある直角三角形のとき、ピックの公式を証明せよ。
手順３：多角形Ａが２つの多角形Ｂ，Ｃに分割されるとき（その１）
多角形Ｂ，Ｃに対してピックの公式が成り立つならばＡに対しても成り立つことを証明せよ。
手順４：多角形Ａが２つの多角形Ｂ，Ｃに分割されるとき（その１）
多角形Ａ，Ｂに対してピックの公式が成り立つならばＣに対しても成り立つことを証明せよ。
手順５：格子点上に頂点をもつ一般の三角形のとき、三角形の頂点を通り、４辺が格子線上にある図のような長方形を考える。
この図を利用して、ピックの公式を証明せよ。（文章表現になる）
点順６：格子点を結んでできる一般の多角形のとき、ピックの公式を証明せよ。（文章表現になる）
＜問題の出典：中高一貫数学コース「数学Ⅰをたのしむ」志賀浩二著 岩波書店＞
ＮＯ１ 「cbc」 4/20: 22時37分受信 更新5/15
ＮＯ２「Toru」 4/21:
14時41分受信 更新5/15
第１５４回 ピックの定理の解答を送ります。
とても美しい証明で結果も美しく、確かにすばらしい定理だと思います。手順２を手順３、４の後ろにもってくれば、この結果が使えるので、
更にすっきりとした証明になるかとも思いましたが、手順３を考える予行演習として手順２があるとすれば、
より解答者に配慮した親切な出題なのだなと思い直しました。
手順１ 長方形の辺の長さを x,y とすると a=(x-1)(y-1), b=2(x+y)
a+(b/2)-1=xy となってこの時、公式はなりたつ。
手順２ 直角を挟む２辺をx,y 斜辺上（端を含まず）の格子点の数をαとすると
a=（(x-1)(y-1)-α）／2, b=x+y+1+α
a+(b/2)-1=xy/2 となってこの時も公式は成り立つ。
手順３ 多角形Aの内部の格子点の数a(A), 周上の格子点の数b(A)などとあらわす。
B、Cの共通部分でAの内部になる格子点（すなわち分割線上の点でA内部になる点）の数をβとして
a(A)=a(B)+a(C)+β, b(A)= b(B)+b(C)-2β-2より
a(A)+(b(A)/2)-1= a(B)+(b(B)/2)-1+ a(C)+(b(C)/2)-1 となってB、Cで成り立てばA
でも公式は成り立つ。
手順４ 手順３と同じ記号を用いて、
a(C)+(b(C)/2)-1=a(A)+(b(A)/2)-1-( a(B)+(b(B)/2)-1) より A,Bで成り立てばCで
も公式は成り立つ。
手順５ 手順１より長方形では公式が成り立ち、手順２よりS,T,Uそれぞれでも公式が成り立つから、手順４より長方形から、S,T,Uの部分を順に除くと考えれば、任意の格子三角形で公式は成り立つ。
手順６ 一般の多角形は、有限個の三角形に分割できるので、手順５および手順３をくり返し用いれば、この時も公式は成り立つ。
ＮＯ３「kashiwagi」4/22: 08時28分受信
更新5/15
お世話になります。今回の問題は本当に興味深い、綺麗な関係ですね。初めて知りました。
今後何かに使えそうですね。しかも、証明の手順が理に適っており、本当に一歩々納得しな がら、楽しみながら手順６まで辿り着き、一般の多角形での証明が完成致しました。昔は論理 的証明は毛嫌いしていたのですが、この年になり数学の論証の美しさに感動させられました。
154回解答
手順１．
横にM個、縦にN個の格子点を持つ長方形VWXYを考える。するとその面積Aは、A=（M-1）（N-1）である。
ところで外周の格子点数b＝２（M+N）-４＝２（M+N-2）、内部の格子点数a＝MN－２（M+N-2）である。そこでa＋（b/2）-1を計算すると、
MN－２（M+N-2）+（M+N-2）-1=（M-1）（N-1）=A
因ってピックの公式が証明された。
手順２．
上記長方形の頂点Yよりひとつ下（X方向）の格子点ZとU,Yの三点よりなる直角三角形を考えると、その面積Bは、B＝（M-1）/2
である。
この直角三角形の外周の格子点数b＝M+1,内部格子点数a＝０であるから、a＋（b/2）-1を計算すると、（M-1）/2＝Bとなる。
因ってピックの公式が証明された。
手順３．
上記長方形のうち、直角三角形UYZ以外の多角形UVXZの面積をCとすると
C＝（M-1）（N-1）-（M-1）/2=（M-1）（N-3/2）/2、外周の格子点数b＝２（M+N-2）-（M-1）、
内部格子点数a＝MN－２（M+N-2）であるから、a＋（b/2）-1を計算すると、（M-1）（N-3/2）/2＝Cとなる。
因ってピックの公式が証明された。即ち、Bについては手順２で証明されているのでBとCについてピックの公式が成り立つ。
次にAであるがすでに手順１でピックの公式が成り立つことは証明されている。
因ってAを二分割したB、Cでピックの公式が成り立てばAでも成り立つことが証明された。
手順４．
手順１，２より長方形Aと直角三角形Bについてピックの公式が成立している。残りCについても手順３で証明した。因って、元々のAと二分割された片方Bでピックの公式が成立すれば二分割された残りのCでもピックの公式が成立することが証明された。
手順５．
手順１よりこの長方形についてはピックの公式が成立する。又、これを二分割した直角三角形Sについても手順２により成立している。
すると手順４より残りの台形についても成立する。
次に台形を直角三角形Tと四角形に分割する。するとTについては手順２よりピックの公式が成立するので、
手順４より四角形についても成立する。又、この四角形を直角三角形Uと証明すべき一般の三角形に分割する。
Uについては手順２よりピックの公式が成立するので、手順４より残りの一般の三角形についてもピックの公式が成立する。
手順６．
多角形は必ず何個かの三角形に分割される。これら全ての三角形について手順２及び５よりピックの公式が成立する。
すると最初の二個の三角形で手順３よりピックの公式が成立、この図形と次の三角形のあいだにも手順３よりピックの公式が成立する。
この様に手順３を繰り返し適用していけば多角形に対しピックの公式が成立する。
ＮＯ４「kasama」 4/28 16時12分受信 更新5/15
こんにちは、(kasama)です。いつも楽しい問題を出題して頂きありがとうございます。
格子上に描かれた多角形の面積が綺麗な形で表現できるのですね。
いろいろと調べている過程で、『頂点以外に内部にも辺上にも格子点のない三角形の面積は1/2』ということもわかりまして、とても不思議な気がしました。
【手順１】
初歩的なやり方ですが、下図のように、面積1の格子と格子点に番号を付けます。
で、次のように関連付けします。
A1⇔P1,A2⇔P2,･･･,Aa⇔Pa
B1⇔Q1,B2⇔Q2,･･･,Bb/2-1⇔Qb/2-1
関連付けられた格子点の個数a+b/2-1が面積なので、ピックの公式は成立します。
【手順２】
上記の長方形に対角線(水色)をひき、直角三角形を作ります。
そして、長方形の内部の格子点数=a、周上の格子点数=b、対角線上にある格子点数=p個とします。
すると、手順１より長方形の面積Sは
S=a+b/2-1
です。ここで、直角三角形について
S1/2=内部の格子点数+周上の格子点数/2-1={a-(p-2)}/2+(b/2+p-1)/2-1=a/2+b/4-1/2
⇒2･S1/2=a+b/2-1=S
なので、上記のS1/2は三角形の面積を表しています。よって、ピックの公式は成立します。
【手順３】
多角形A、B、Cの面積、格子点数を
|
多角形 |
面積 |
格子点数 |
|
|
内部 |
周上 |
||
|
A |
－ |
aA |
bA |
|
B |
SB |
aB |
bB |
|
C |
SC |
aC |
bC |
とします。ただし、多角形B、Cがp個の格子点を共有しているとすると、
aA=aB+aC+p-2
bA=bB+bC-2p+2
ですが、SA=aA+bA/2-1と定義すると、
SA=aB+aC+p-2+(bB+bC-2p+2)/2-1=(aB+bB/2+1)+(aC+bC/2+1)
ここで、仮定により、多角形B、Cにはピックの公式は成立するので、
SB=aB+bB/2-1
SC=aC+bC/2-1
ですから、SA=SB+SCとなり、SA=aA+bA/2 -1は多角形Aの面積を表していることになります。
よって、ピックの公式は成立します。
【手順４】
多角形A、B、Cの面積、格子点数を
|
多角形 |
面積 |
格子点数 |
|
|
内部 |
周上 |
||
|
A |
SA |
aA |
bA |
|
B |
SB |
aB |
bB |
|
C |
－ |
aC |
bC |
とします。ただし、多角形A、Bがp個の格子点を共有しているとすると、
aC=aA-aB-p+2
bC=bA-bB+2p-2
ですが、SC=aC+bC/2-1と定義すると、
SC=aA-aB-p+2+(bA-bB+2p-2)/2-1=(aA+bA/2+1)-(aB+bB/2+1)
ここで、仮定により、多角形A、Bにはピックの公式は成立するので、
SA=aA+bA/2-1
SB=aB+bB/2-1
ですから、SC=SA-SBとなり、SC=aC+bC/2 -1は多角形Cの面積を表していることになります。
よって、ピックの公式は成立します。
【手順５】
手順１より長方形にピックの公式は成り立ちます。手順２より直角三角形S、T、Uにピックの公式は成り立ちます。手順４より長方形からSを除いた多角形にもピックの公式は成り立ちます。この多角形からT、Uを除いた三角形にもピックの定理が成り立ちます。よって、一般の三角形にピックの公式は成り立ちます。
【手順６】
直感的に、多角形の頂点を適当に結べば、いくつかの三角形に分割できるので、ピックの公式は成り立ちます。
ＮＯ5「中川幸一」5/19:
04時19分受信 更新5/21
「解答」です。
＜水の流れ：コメント＞
