平成１７年８月１３日

[流れ星]

　　　　　第１５８回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：７月２４日〜８月１４日

［不思議な平方根］

皆さん、今年の大学入試を眺めていたら、東京大学で、こんな問題がでていました。これを問題にします。

　

問題１：３以上９９９９以下の奇数で、ａ^２−ａが１００００で割り切れるものをすべて求めよ。

　

　そこで、こんな問題を考えました。一部当方に表現上の曖昧さがありましたので以下のように訂正します。

（記述：平成１７年７月２４日午後９時半）

問題２：整数Ｎにおいて、正の平方根√Ｎが１桁の整数になり、Ｎの下１桁と同じになるＮを求めよ。

問題３：整数Ｎにおいて、正の平方根√Ｎが２桁の整数になり、Ｎの下２桁と同じになるＮを求めよ。

問題４：整数Ｎにおいて、正の平方根√Ｎが３桁の整数になり、Ｎの下３桁と同じになるＮを求めよ。

問題５：整数Ｎにおいて、正の平方根√Ｎが４桁の整数になり、Ｎの下４桁と同じになるＮを求めよ。

　参考：　この整数Ｎを覚えていて、生徒が持っている計算機の画面に入力をします。下１，２、３，４桁を変えなでように画面のボタンをワンタッチで

操作してください。どのボタンを操作したら良いでしょうか。

ＮＯ１「H7K」 7/24　13時47分受信 更新8/13
　　注：≡を==で略記しています．
問題1.
16 * 625 = 10000 , a^2-a = a(a-1), 16と625，aとa-1はそれぞれ互いに素であるから
I. 16|a, 625|a-1
II. 625|a, 16|a-1
のどちらかしかない．aは奇数なので，IIの場合しかない．
a = 625k と書ける．625 == 1 (mod 16)より，a-1 == k-1 == 0 (mod 16)...(*)
3 <= a <= 9999 より，kは1以上15以下．この下で(*)を満たすのは k=1 の場合のみ．
よって，求めるaは625．実際，625^2 - 625 = 390000．
（I.の場合では，a = 625k + 1 と書ける．よって a == k+1 (mod 16)だから，k == -1(mod 16)．
　よって，a = 10000p - 624.）

問題2以降では，√Nが整数であるという仮定の下で解く．すると，N=m^2, m>=1と書ける．
問題2.
10 | m(m-1), 100 not| m(m-1)であるmを見つける．問題1と同様に，前半の式を満たすmは
I. 2|m, 5|m-1 のとき：m = 5n + 1 と書ける．これが偶数であるためにはnが奇数が必要十分．よって，m = 10p + 6となる．
II. 5|m, 2|m-1 のとき：m = 5n と書ける．これが奇数であるためにはnが奇数が必要十分．よって，m = 10p + 5となる．
よって，10 | m(m-1)を満たすmは，10p+5, 10p+6．
一方，後半の式を満たさないmは
I. 4|m, 25|m-1 のとき：m = 25n + 1 と書ける．これが4の倍数であるためには n == -1 (mod 4) が必要十分．よって，m = 100p - 24 となる．
II. 25|m, 4|m-1 のとき：m = 25n と書ける．これがmod 4で1であるためには n == 1 (mod 4) が必要十分．よって，m = 100p + 25 となる．
よって，100 not| m(m-1)を満たさないmは，100p - 24, 100p+25．
以上より，両方の条件を満たすmは，mod 100で
5 15 35 45 55 65 75 85 95 -4 -14 -34 -44 -54 -64 -74 -84 -94
のいずれかと合同になる数である．求めるNは，これらのmの平方である．


問題3.
1000 not| m(m-1) を満たさないmを見つける．
I. 8|m, 125|m-1 のとき：
m = 125n + 1 と書ける．125 == 5 (mod 8)より，m == 5n + 1 (mod 8)．これが==0となるには n == -5 (mod 8) が必要十分．よって，m = 125(8p-5) + 1 = 1000p - 624.
II. 125|m, 8|m-1 のとき：
m = 125n と書ける．125 == 5 (mod 8)より，m-1 == 5n - 1 (mod 8)．これが==0となるには n == 5 (mod 8) が必要十分．よって，m = 125(8p+5) = 1000p + 625.
よって，問題2とあわせると，求めるmは，mod 1000で
25 125 225 325 425 525 725 825 925 -24 -124 -224 -324 -424 -524 -724 -824 -924
のいずれかと合同になる数である．

問題4．
上と問題1の（）をあわせると，
求めるmは，mod 10000で
1625 2625 3625 4625 5625 6625 7625 8625 9625 -1624 -2624 -3624 -4624 -5624 -6624 -7624 -8624 -9624
のいずれかと合同になる数である．

問題5.
ここまでくると明らかに予想が立つが，地道に解く
100000 not| m(m-1) を満たさないmを見つける．
I. 32|m, 3125|m-1 のとき：
m = 3125n + 1 と書ける．3125 == 21 (mod 32)より，m == 21n + 1 (mod 32)．
これが==0となるには n == 3 (mod 32) が必要十分．よって，m = 3125(32p'+3) + 1 = 100000p' + 9376 = 100000p - 90624.
II. 3125|m, 32|m-1 のとき：
m = 3125n と書ける．m-1 == 21n - 1(mod 8)．これは n == -3 (mod 8) が必要十分．よって，m = 3125(32p'-3) = 100000p' - 9375 = 100000p + 90625.
よって，求めるmは
求めるmは，mod 100000で
625 10625 20625 30625 40625 50625 60625 70625 80625 -624 -10624 -20624 -30624 -40624 -50624 -60624 -70624 -80624
のいずれかと合同になる数である．

＜水の流れ：上のような解答が寄せられたから、問題文を修正しました。問題の意図を表現できなかったことをお詫びします。ご迷惑をおかけしました。＞

「H7K」 7/24　22時47分受信 更新8/13
前回と同様に，√N =: m とします．
問題2. これは全検索でもいける．m = 1, 5, 6 より，N = 1, 25, 36.

問題3.
100 | m(m-1)であるmを見つける．問題1と同様に2つに分けられる．
I. 4|m, 25|m-1 のとき：m = 25n + 1 と書ける．これが4の倍数であるためには n == -1 (mod 4) が必要十分．よって，m = 100p - 24 となる．
II. 25|m, 4|m-1 のとき：m = 25n と書ける．これがmod 4で1であるためには n == 1 (mod 4) が必要十分．よって，m = 100p + 25 となる．
10 <= m < 100 より，m = 25, 76(=100-24). よって N = 625, 5776.

問題4．
1000 | m(m-1) であるmを見つける．
I. 8|m, 125|m-1 のとき：
m = 125n + 1 と書ける．125 == 5 (mod 8)より，m == 5n + 1 (mod 8)．これが==0となるには n == -5 (mod 8) が必要十分．よって，m = 125(8p-5) + 1 = 1000p - 624.
II. 125|m, 8|m-1 のとき：
m = 125n と書ける．125 == 5 (mod 8)より，m-1 == 5n - 1 (mod 8)．これが==0となるには n == 5 (mod 8) が必要十分．よって，m = 125(8p+5) = 1000p + 625.
100<= m < 1000 より，m = 625, 376. N = 390625, 141376.

問題5.
問題1での考察から，1 < m < 10000 では，m = 625, 9376．よって，N = 9376^2 = 87909376のみ．

「参考」：いまいち問題の意味がわかりません．「ワンタッチで」というのは，電卓のボタンを1つだけ押す，という意味なのでしょうか？

＜水の流れ：数字を入力した後、１だけボタンをさわるということです＞

ＮＯ２「uchinyan」7/26　13時57分受信 更新8/13
　＜コメント：全体的に、ちょっと、以下の解答は荒い感じがしており、大きな抜けがあるかもしれません。が、一応送ります。
なお、念のために、内容は同じですが、テキストファイルを添付しておきます。＞
第１５８回数学的な応募問題への解答
問題1：
題意より、3 <= a <= 9999 < 10000 の奇数で、M を整数として、
a^2 - a = 10000 * M
a * (a - 1) = 2^4 * 5^4 * M
まず、a と a - 1 とは互いに素です。
また、a は奇数、a の範囲を考えると、m, n を整数、M = m * n として、
a = 5^4 * m
a - 1 = 2^4 * n
とおけます。そこで、
5^4 * m = 2^4 * n = 1
625 * m - 16 * n = 1
これは、m, n に関して解くことができて、k を整数として、
m = 16 * k + 1, n = 625 * k + 39
したがって、
a = 625 * 16 * k + 625 = 10000 * k + 625
そこで、3 <= a <= 9999 より、a = 625。
(感想)
何か妙に易しい気がします。勘違いがあるかも。

問題2：〜 問題5：
p = 1, 2, 3, 4, ... として、以下では、問題(p+1)：が対応するとします。
さらに、sqrt(N) = a、ただし a は整数、とし、M を整数とすると、問題1と同様にして、
N = a^2
a^2 - a = 10^p * M
a * (a - 1) = 2^p * 5^p * M
10^(p-1) <= a < 10^p
になります。一般に、a と a - 1 とは互いに素です。
ただし、p = 1 の場合は、a = 0, 1 も排除していないので、N = 0, 1 も解になります。
それ以外は、問題1と同様ですが、今回は a が偶数でもいいことに注意して、
a = 5^p * m and a - 1 = 2^p * n, or a = 2^p * n and a - 1 = 5^p * mとおけます。そこで、
5^p * m - 2^p * n = 1, or 5^p * m - 2^p * n = -1
これは、一般に p のままでは難しいですが、原理的には、m, n に関して解くことができます。
k を整数として．．．
* p = 1, 問題2, の場合：
m = 2 * k + 1 and n = 5 * k + 2, or m = 2 * k + 1 and n = 5 * k + 3
したがって、
a = 10 * k + 5 or a = 10 * k + 6
これから、a の範囲の制限より、a = 5, 6 になり、N = 25, 36 になります。
結局、N = 0, 1, 25, 36 です。
* p = 2, 問題3, の場合：
m = 4 * k + 1 and n = 25 * k + 6, or m = 4 * k + 3 and n = 25 * k + 19
したがって、
a = 100 * k + 25 or a = 100 * k + 76
これから、a の範囲の制限より、a = 25, 76 になり、N = 625, 5776 になります。
* p = 3, 問題4, の場合：
m = 8 * k + 5 and n = 125 * k + 78, or m = 8 * k + 3 and n = 125 * k + 47
したがって、
a = 1000 * k + 625 or a = 1000 * k + 376
これから、a の範囲の制限より、a = 625, 376 になり、N = 390625, 141376 になります。
* p = 4, 問題5, の場合：
m = 16 * k + 1 and n = 625 * k + 39, or m = 16 * k + 15 and n = 625 * k
+ 586
したがって、
a = 10000 * k + 625 or a = 10000 * k + 9376
これから、a の範囲の制限より、a = 9376 になり、N = 87909376 になります。

参考：
ごめんなさい。題意がよく分からないのですが．．．
例えば、電卓で、N = 390625 を入れて、√演算のキーを押せば、下の桁が変わらない数が順番に現れます。
なお、問題5から分かるように、
N^2 - N = a^4 - a^2 = a * (a + 1) * (a^2 - a) = 10000 * K
なので、625^(2^n) 又は (9376)^(2^n) は、すべて、下4桁が「0625」又は「9276」になります。
特に、625^(2^n) なる数の√を順番にとっていくと、625 以下の場合でも、
下4桁、下3桁、下2桁、下1桁、は変わりません。

＜水の流れ：ａが５桁、６桁、７桁、８桁、９桁までチャレンジを。>

「uchinyan」7/29　11時16分受信 更新8/13

＜水の流れ：ａが５桁、６桁、７桁、８桁、９桁までチャレンジを。>
これに関して、より計算が簡単な別解を思いつきました。以下を、解答に追加してください。

第１５８回数学的な応募問題への解答への追加

(考察)
問題2〜問題5は、問題1に基づいて解答しました。

出現する二元一次不定方程式は、解法が知られているので、具体的な数字が与えられれば、常に解くことができます。
しかし、一般に p のままで解けるのかどうかはよく分からないし、数が大きくなると、必ずしも容易ではありません。
むしろ、問題2〜問題5だけならば、次のように考える方が自然かも知れません。
明らかに、
下4桁が同じ -> 下3桁が同じ -> 下2桁が同じ -> 下1桁が同じなので、下2桁が同じ場合は、下1桁が同じ場合を限定したもので、下1桁が同じ場合から、構成することができます。他の場合も同様に、桁数が一つ少ない場合から構成できます。
次に、その方向の別解を示します。

(問題2：〜問題5：の別解)
問題2：
sqrt(N) = a, ただし a は 0 <= a < 10 なる整数、なので、
実際に N = a^2 を計算すると、
a = 0, 1, 5, 6, N = 0, 1, 25, 36
が解となることが分かります。
これらの a, N を以下の議論の便宜上、a(1), N(1) と書くことにします。
つまり、
a(1) = 0, 1, 5, 6, N(1) = 0, 1, 25, 36です。
問題(p+1)：ただし、p = 2, 3, 4, ...
この場合の a, N を、a(p), N(p) と書くことにします。
つまり、問題p：の解が、a(p-1), N(p-1) になります。したがって、
・a(p-1) は(p-1)桁の整数で、N(p-1) = a(p-1)^2
・N(p-1) の下(p-1)桁は a(p-1) に等しい。
　つまり、M(p-1) を整数として、
　N(p-1) - a(p-1) = 10^(p-1) * M(p-1)が成立しているとします。
さて、同様なことを、N(p), a(p) について考えます。つまり、
a(p) は 10^(p-1) <= a(p) < 10^p で、下p桁が N(p) = a(p)^2
と同じ整数を考えます。
先ほどの(考察)から、下p桁が同じになるためには、少なくとも下(p-1)桁が同じでなければなりませんが、
それは、下(p-1)桁に関しては、a(p-1) です。
そこで、k = 1 〜 9 の整数として、
a(p) = 10^(p-1) * k + a(p-1)と書けます。そこで、
 N(p) = a(p)^2 = {10^(p-1) * k + a(p-1)}^2
= 10^(2p-2) + 10^(p-1) * 2 * k * a(p-1) + a(p-1)^2
N(p) - a(p)
= {10^(2p-2) * k^2 + 10^(p-1) * 2 * k * a(p-1) + a(p-1)^2}
- {10^(p-1) * k + a(p-1)}
ここで、
a(p-1)^2 - a(p) = N(p-1) - a(p-1) = 10^(p-1) * M(p-1)
より、M(p) を整数として、
N(p) - a(p)
= 10^(2p-2) * k^2 + 10^(p-1) * {(2 * a(p-1) - 1) * k + M(p-1)}
= 10^p * M(p)
今は、p >= 2 なので、2p-2 >= p で、最初の項は 10^p 以上です。
そこで、第2項の {} の中の下1桁が 0 でなければなりません。
これは、次の合同方程式に他なりません。
(2 * a(p-1) - 1) * k + M(p-1) ≡ 0 (mod 10)
今求めたいのは k ですが、a(p-1) は問題p：から分かっているし、
M(p-1) は a(p-1)^2 を 10^(p-1) で割った商なので計算できます。
k = 1 〜 9 の整数なので、(解がない場合も含めて)解くことが可能です。実際に計算してみます。
* p = 2, 問題3, の場合：
a(1) = 0, 1, 5, 6 に対して、M(1) = 0, 0, 2, 3 になり、
k = 0, 0, 2, 7 ですが、k not= 0 なので、
a(2) = 25, 76, N(2) = 625, 5776
* p = 3, 問題4, の場合：
a(2) = 25, 76 に対して、M(2) = 6, 57 になり、
k = 6, 3 で、
a(3) = 625, 376, N(3) = 390625, 141376
* p = 4, 問題5, の場合：
a(3) = 625, 376 に対して、M(3) = 390, 141 になり、
k = 0, 9 ですが、k not= 0 なので、
a(4) = 9376, N(4) = 87909376となって、解が再現できます。

(問題1：の別解)
問題1：は、問題5：の、a が奇数、a 自体は4桁以下であってよい、という特殊な場合になっています。
したがって、a = 625 (k = 0 の場合) となります。

(別解の考察)
この解法のよいところは、p >= 5 に対しても計算が容易な点です。ただし一点注意が必要です。
それは、k = 0 となって捨てた解が復活する可能性がある点です。
k についての合同方程式で、k の係数は必ず奇数ですが、M(p-1) は 10 の倍数になることが可能で、このときに、k = 0 になります。
しかし、M(p-1) が 0 でない限り、桁が上がったときに、
M(p-1) が再び 10 の倍数ではないようになって、k not= 0 の解が得られるからです。
実際、p = 4 の場合、a(3) = 625, M(3) = 390 で k = 0 ですが、
p = 5 の場合、a(4) = a(3) = 625, M(4) = 39 で、k = 9 となり、
a(5) = 90625, N(5) = 8212890625 が解になります。
また、
・mod 10 なので、係数は、下1桁を考えれば十分。
・結局、下1桁が 5 の系列と 6 の系列になるので、
　k の係数は、5 の系列では -1、6 の系列では 1。という簡便法が使えます。
これらの点に注意して計算を続けると．．．
* p = 5 の場合：
a(4) = 0625, 9376, M(4) = 39, 8790,
k = 9, 0,
a(5) = 90625, N(5) = 8212890625
* p = 6 の場合：
a(5) = 90625, 09376, M(5) = 82128, 879,
k = 8, 1,
a(6) = 890625, 109376,
N(6) = 793212890625, 11963109376
* p = 7 の場合：
a(6) = 890625, 109376, M(6) = 783212, 11963,
k = 2, 7,
a(7) = 2890625, 7109376,
N(7) = 8355712890625, 50543227109376
* p = 8 の場合：
a(7) = 2890625, 7109376, M(7) = 835571, 5054322,
k = 1, 8,
a(8) = 12890625, 87109376,
N(8) = 166168212890625, 7588043387109376
* p = 9 の場合：
a(8) = 12890625, 87109376, M(8) = 1661682, 75880433,
k = 2, 7,
a(9) = 212890625, 787109376,
N(9) = 45322418212890625, 619541169787109376
* p = 10 の場合：
a(9) = 212890625, 787109376, M(9) = 45322418, 619541169,
k = 8, 1,
a(10) = 8212890625, 1787109376,
N(10) = 67451572418212890625, 3193759921787109376
などとなります。
なお、この解法は明らかにアルゴリズム化されているので、容易にプログラムを組めます。
十進BASICの1000桁モードで目一杯計算した下500桁一致の場合、次のとおりになります。
a(500) =
66323172405515756102352543994999345608083801190741
53006005605574481870969278509977591805007541642852
77081620113502468060581632761716767652609375280568
44214486193960499834472806721906670417240094234466
19781242669078753594461669850806463613716638404902
92193418819095816595244778618461409128782984384317
03248173428886572737663146519104988029447960814673
76050395719689371467180137561905546299681476426390
39530073191081698029385098900621665095808638110005
57423423230896109004106619977392256259918212890625
N(500) =
43987631979317666458157832072984920010916560433577
51916537254333883752943299265225731654080605025458
18078863594838280442717533777344401954976485615597
32694228621941083733290882507281468223287049342938
40978923903626806949005495191367346635912088053613
27518961830414829054363777551512197048714076858282
04692661430726000408797508158967612246917767479377
12044858141260560681592205371470782930337729494475
98044905062527441387882070808261281492982844107008
41372984481011877231143939742578511354491176183978
(以下が a(500) と一致)
66323172405515756102352543994999345608083801190741
53006005605574481870969278509977591805007541642852
77081620113502468060581632761716767652609375280568
44214486193960499834472806721906670417240094234466
19781242669078753594461669850806463613716638404902
92193418819095816595244778618461409128782984384317
03248173428886572737663146519104988029447960814673
76050395719689371467180137561905546299681476426390
39530073191081698029385098900621665095808638110005
57423423230896109004106619977392256259918212890625
or
a(500) =
33676827594484243897647456005000654391916198809258
46993994394425518129030721490022408194992458357147
22918379886497531939418367238283232347390624719431
55785513806039500165527193278093329582759905765533
80218757330921246405538330149193536386283361595097
07806581180904183404755221381538590871217015615682
96751826571113427262336853480895011970552039185326
23949604280310628532819862438094453700318523573609
60469926808918301970614901099378334904191361889994
42576576769103890995893380022607743740081787109376
N(500) =
11341287168286154253452744082986228794748958052094
45904526043184920011004742245270548044065521739752
63915623367833344321554268253910866649757735054460
44265256234020084064345269063468127388806860874006
01416438565469299760082155489754419408478811243807
43132124192223195863874220314589378791148108089647
98196314572952854933471215120757636188021845850029
59944066701881817747231930247659690330974776641695
18984758680364045329111873007017951301365567886997
26526138019219659222930699787793998834654750402729
(以下が a(500) と一致)
33676827594484243897647456005000654391916198809258
46993994394425518129030721490022408194992458357147
22918379886497531939418367238283232347390624719431
55785513806039500165527193278093329582759905765533
80218757330921246405538330149193536386283361595097
07806581180904183404755221381538590871217015615682
96751826571113427262336853480895011970552039185326
23949604280310628532819862438094453700318523573609
60469926808918301970614901099378334904191361889994
42576576769103890995893380022607743740081787109376　　　　以上　

ＮＯ３「cbc」　　 7/26: 17時01分受信 更新8/13

　

「cbc」　　 7/26: 18時38分受信 更新8/13
VBAで８桁まで調べてみました。9桁はオーバーフローで駄目でした。　N=8の場合も先に送った解法がおおむね利用できます。でき次第メールにて送信いたします。

プログラム

Sub example()

 Dim st As Currency
 Dim ed As Currency
 Dim N As Currency
 Dim M As Currency

  st = 1000000
  ed = 10000000
  N = st

LP:
  M = N * (N - 1)
  If N = ed - 1 Then GoTo LF
     If M / ed - Int(M / ed) = 0 Then
       Debug.Print N; N * N
     End If

     N = N + 1
     GoTo LP
LF:
End Sub

以下は変数ｓｔとedを変えた時の実行結果です。

 ５桁の場合
 90625  8212890625 

６桁の場合
 109376  11963109376
 890625  793212890625 

７桁の場合
 2890625  8355712890625
 7109376  50543227109376 

８桁の倍
 12890625  166168212890625

ｃｂｃ

ＮＯ４「Toru」　　7/27 13時54分受信 更新8/13
　問題１
a(a-1)≡0 (mod10^4)  aは3≦a≦9999 の奇数で、(a,a-1)=1に注意すると
a≡0 (mod 5^4), a-1≡0 (mod 2^4) 　
a=625t=16s+1とすれば、t+16(39t-s)=1 よりt=1,s=39はこれを満たす。よって、
625(t-1)=16(s-39)より(t-1)/16=(s-39)/625=k としてt=16k+1 s=625k+39、よって、
a=625t=10^4 k+625  すなわちa≡625 (mod 10^4)、上記範囲ではa=625　のみ

問題２
a=√Nとすると　a^2-a≡0 (mod 10)  a=1,2,-----,9
a(a-1)≡0 (mod 2) は常になりたつので、 a(a-1)≡0 (mod5)
の解を求めればよいが、これを満たすのは、a≡0,1 (mod5)で上記の範囲ではa=1,5,6
よって　N=1,25,36

問題３　b=√N とすると　b^2-b≡0 (mod 10^2)  10≦b≦99
b(b-1)≡0 (mod 10^2)  (b,b-1)=1に注意し、
また上記範囲では　b or b-1≡0 (mod 10^2)とはならないので、
b≡0 (mod 5^2),b-1≡0 (mod 2^2)  or  b≡0(mod2^2), b-1≡0(mod5^2)
b=25t　or 　25t+1 (t=1,3)を４で割って試してみれば、
b=25,76,  N=625, 5776

問題４　c=√Nとして　c^2-c≡0 (mod 10^3)  100≦c≦999
問題３と同様に　(c,c-1)=1などから
c≡0 (mod 5^3) ,c-1≡(mod 2^3)  or  c≡0(mod2^3), c-1≡0(mod5^3)
125t　or 　125t+1 （t=1,3,5,7）を８で割って試してみると、
c=376,625 　N=141376,390625

問題５　d=√Nとして　d^2-d≡0 (mod 10^4) 1000≦d≦9999
問題３と同様に
d≡0 (mod 5^4),d-1≡0 (mod 2^4)  or  d≡0(mod2^4), d-1≡0(mod5^4)
第１式は問題１と同じでd≡625　(mod 10^4)（4けたにならず不適）
第２式は　d=625t+1=16s とすれば、t+16(39t-s)=-1 からt=-1,s=-39が一つの解で、
(t+1)/16=(s+39)/625=k とすれば　t=16k-1,s=625k-39 これからd=10^4 k-624 ,k＝
１が題意を満たし、d=9376, N=87909376

連立１次合同方程式　
m1,m2,----,mk　が２つずつ互いに素　a1,a2,-----,akは任意の整数の時
x≡a1 (mod m1), x≡a2 (mod m2), -----, x≡ak (mod mk)
を満足させるxはM=m1m2---mk  を法にして一つ定まる。これは中国の剰余定理という
のだそうです。これを使えば、たとえば問題１の答が法10000で一通りに定まることがすぐに分かります。

＜コメント＊このあたりも「初等整数論講議」に詳しく乗っていました。＞

＜水の流れ：　この発展がありまして、ｅが５桁　ｆが６桁　ｇが７桁　ｈが８桁も時間があれば見つけておいてください＞

「Toru」　　7/30 10時35分受信 更新8/13
下の桁から順に求めずとも、
大きい方の数字を求めてしまえば、一挙に解決するので、
とりあえず８桁の場合を考えると、４桁の場合と同様に
h≡0(mod 5^8),h≡1(mod 2^8) or h≡1(mod5^8) , h≡0(mod 2^8)
これらはmod10^8でそれぞれ１つの解をもち
5^8 x=2^8 y±1 の整数解から求めらる。

これは、例えば「初等整数論講議」の連分数のところの方法によれば、
5^8=2^8x1525+225
2^8=225x1+31
225=31x7+8
31=8x3+7
8=7x1+1
7=1x7
から　x=±[1,7,3,1]=±33  y=±[1525,1,7,3,1]=±50354 が１つの解で
これからh=5^8x33=12890625 or  h=10^8-5^8x33+1=87109376

これから明らかに　e=90625
                  f=890625,109376
                  g=2890625,7109376

ＮＯ５「kashiwagi」7/29 8時24分受信 更新8/13
158回解答

問1.

題意よりa（a-1）=10000Kと書ける。ところで10000を2数の積に分解し、少なくとも奇数が１つ含まれるものを考えると、5×2000、16×625及び80×125の3種類しかないことが分かる。因ってaは5,125及び625が候補となる。そこで確かめると、5と125では下4桁に０が4個連ならない事が分かる。625の場合は625×624＝390000となり条件を満足する。

尚、aのとりうる値の範囲からKは10000以下であるから先程の5,125及び625の二乗も候補数であるが、aが9999より小さいとの条件より不適である。因って求めるものは625唯一である。

問2.

平方根が一桁であるから求めるNは大きくとも99以下の整数である。ところで平方根1,5,6の基数は1,25及び36であり題意を満たす。因って求める数は1、25、36である。

問3.

求める平方根をA×10＋Bとおくと、基数は2乗したものだからA²×100＋2AB×10＋B²となる。即ち、B＝B²　となる整数Bを求めればよい。因って、B＝0,1,5,6となる。そこでBを5としてみるとB²＝25、2AB＝A×100即ち、10の桁の値は2である。因って求めるものは25²＝625となる。B=6の場合にも同様の計算をして76²＝5776を得る。

　因って、求める数は625と5776である。

　以下は同様の仮定で同様な計算を繰り返し行いますので省略し、解答のみ記述致します。

問4.　　 376²＝141376　　625＾2＝390625　

問5.　　9376²＝87909376

ＮＯ６「浜田明巳」8/03 11時29分受信 更新8/13
　　いつものようにエクセルのマクロで解いた．
問題１．625
問題２．1,25,36
問題３．625,5776
問題４．141376,390625
問題５．87909376

　計算機（電卓）を使ってワンタッチで求めよ，との事であるが，Ｎの入力後に１回のキー操作（ワンタッチ）では，何も出来なかった．考えられる唯一それに近い方法は，次のものである．
　　MC（メモリー・クリア）
　　Ｎの入力
　　M+（メモリー・プラス）
　　√（ルート・キー）
　　−（マイナス・キー）
　　MR（メモリー・リコール）
　　＝（イコール・キー）
　この計算結果が１０，１００，１０００，１００００の倍数になる事を確認する．

（プログラム）（コピーする際は，全角の空白を縮小の空白に置き直して下さい）
Option Explicit
Sub Macro1()
　　Sheets("Sheet1").Select
　　Dim a As Long
　　Dim kotae(5) As Integer
　　Dim n As Long
　　Dim sqrN As Long
　　Dim j As Integer
　　For j = 1 To 5
　　　kotae(j) = 0
　　Next j
　　Range("A1").Select
　　For a = 3 To 9999 Step 2
　　　If (a * a - a) Mod 10000 = 0 Then
　　　　kotae(1) = kotae(1) + 1
　　　　Cells(1, kotae(1)).Value = a
　　　End If
　　Next a
　　'
　　For sqrN = 1 To 9999
　　　n = sqrN * sqrN
　　　If sqrN <= 9 And n Mod 10 = sqrN Then
　　　　kotae(2) = kotae(2) + 1
　　　　Cells(2, kotae(2)).Value = n
　　　ElseIf 10 <= sqrN And sqrN <= 99 And n Mod 100 = sqrN Then
　　　　kotae(3) = kotae(3) + 1
　　　　Cells(3, kotae(3)).Value = n
　　　ElseIf 100 <= sqrN And sqrN <= 999 And n Mod 1000 = sqrN Then
　　　　kotae(4) = kotae(4) + 1
　　　　Cells(4, kotae(4)).Value = n
　　　ElseIf 1000 <= sqrN And n Mod 10000 = sqrN Then
　　　　kotae(5) = kotae(5) + 1
　　　　Cells(5, kotae(5)).Value = n
　　　End If
　　Next sqrN
End Sub

ＮＯ７「kasama」　8/03 11時47分受信 更新8/13

「kasama」　8/04 14時14分受信 更新8/13

「kasama」　8/04 15時34分受信 更新8/13

「kasama」　8/05 17時25分受信 更新8/13

＜水の流れ：最後の解答を載せておきます＞

【問題１】
aを奇数とすれば、a²-a=a(a-1)なのでa-1は偶数です。そして、aとa-1は連続しています。10000=2⁴×5⁴ですが、aとa-1の双方に素因数5が含まれていれば、2つ数の差は5の倍数になるので、どちらか片方に素因数5⁴が含まれています。5⁴=625=奇数なのでaは625の倍数、a-1は偶数なので2⁴=16の倍数です。つまり、aは625の倍数で16の倍数+1です。625=16×39+1なので、a=625が1つの答えですが、LCM(625,16)=10000なので625の次は10625です。よって、　a=625 ･･･(答)

【問題２】
数が少ないので、√Nが1桁となるようなNをすべて書き出すと、
　1²=1,2²=4,3²=9,4²=16,5²=25,6²=36,7²=49,8²=64,9²=81
ですが、この中で下1桁と同じになるのは　　1,25,36 ･･･(答)

【問題３】
まず、問題２の結果より、題意を満足するようなNの下1桁は1、5、6のどれかです。√N=10a+b(a≠0)とすると、Nの下2桁と等しいので、10a+b≡(10a+b)²(mod10²)⇒10a+b-b²-20ab≡0(mod10²)となり、bで場合分けして、
・b=1･･･10a≡0(mod10²)⇒解なし
・b=5･･･90a+20≡0(mod10²)⇒a=2⇒√N=25⇒N=625
・b=6･･･10a+30≡0(mod10²)⇒a=7⇒√N=76⇒N=5776
よって、
　625,5776 ･･･(答)

【問題４】
同様に、√N=100a+10b+c(a≠0)とすると、100a+10b+c≡(100a+10b+c)²(mod10³)⇒100a-200ac+10b-100b²-20bc+c-c²≡0(mod10³)なので、
・c=1･･･100a+10b+100b²≡0(mod10³)⇒2桁目に着目して、b=0⇒a=0⇒解なし
・c=5･･･100b²+900a+90b+20≡0(mod10³)⇒2桁目に着目して、9b+2≡0(mod10)⇒b=2⇒900a+600≡0(mod10)⇒3桁目に着目して、9a+6≡0(mod10)⇒a=6⇒√N=625⇒390625
・c=6･･･100b²+100a+110b+30≡0(mod10³)⇒2桁目に着目して、b+3≡0(mod10)⇒b=7⇒100a+700≡0(mod10)⇒3桁目に着目して、a+7≡0(mod10)⇒a=3⇒√N=376⇒N=141376
よって、
　141376,390625 ･･･(答)

【問題５】
同様に、√N=1000a+100b+10c+d(a≠0)とすると、1000a+100b+10c+d≡(1000a+100b+10c+d)²(mod10⁴)⇒1000a+100b+10c-100c²+d-d²-2000ad-2000bc-200bd-20cd≡0(mod10⁴)なので、
・d=1･･･1000a+100b+10c+100c²+2000bc≡0(mod10⁴)⇒2桁目に着目して、c=0(mod10)⇒c=0⇒1000a+100b≡0(mod10⁴)⇒b=0、a=0⇒解なし
・d=5･･･9000a+900b+90c+100c²+2000bc+20≡0(mod10⁴)⇒2桁目に着目して、9c+2≡0(mod10)⇒c=2⇒9000a+4900b+600≡0(mod10⁴)⇒3桁目に着目して、9b+6≡0(mod10)⇒b=6、a=0⇒解なし
・d=6･･･1000a+1100b+110c+100c²+2000bc+30≡0(mod10⁴)⇒2桁目に着目して、c+3≡0(mod10)⇒c=7⇒1000a+5100b+5700≡0(mod10⁴)⇒3桁目に着目して、b+7≡0(mod10)⇒b=3、a=9⇒√N=9376⇒N=87909376
よって、
　87909376 ･･･(答)

【プログラム】
参考までに、簡単なプログラムで答えを検証してみました。
・問題１のプログラム
Test01()=
{
    local(a);
    a = 3;
    while (a <= 9999,
        if ((a^2-a) % 10000 == 0, print(a));
        a += 2;
    );
}
・問題２〜４のプログラム
Test02(k)=
{
    local(n);
    for(n=10^(k-1),10^k-1,
        if (n == n^2 % 10^k, print(n^2));
    );
}

＜コメント：【参考：√キー押下で下n桁が変わらない】の理由は現在考え中です。わかったら来週提出します。＞

ＮＯ８「中川幸一」8/09: 23時11分受信 更新8/13　

＜コメント：一応一般化させて解いてみました。また, 今回の問題は, 1 - Automorphic Number として知られています。＞

「解答」です。

皆さん、答えがわかったら、一部でも構いませんから、解答とペンネームを添えて、メールで送ってください。待っています。