kadai78

平成１７年９月２５日

[流れ星]

　　　　　第160回数学的な応募問題解答

　　　　　　＜解答募集期間：９月４日～９月２５日

［２桁の自然数］

皆さん、今回は今年度行われた「皇學館大学」の入試問題です。

　２桁の正の整数10a＋ｂがある。この整数の十の位の数aと一の位の数ｂとの和a+bと、もとの２桁の整数との積はａ^３＋ｂ^３に等しい。このとき、次の問に答えよ。

（１）aとｂの間の関係式を求めよ。

（２）aとｂの大小関係を調べよ。

（３）もとの２桁の整数を求めよ。

ＮＯ１「uchinyan」9/04　14時09分受信更新9/25

第160回数学的な応募問題への解答

(1)
題意より、a, b は、9 >= a >= 1, 9 >= b >= 0、となる整数。

すると、
(10a + b)(a + b) = a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
a + b > 0 なので、
10a + b = a^2 - ab + b^2
a^2 - (b + 10) * a + (b^2 - b) = 0

(2)
a^2 - (b + 10) * a + (b^2 - b) = 0
(a - 10)(a - b) - 10b + (b^2 - b) = 0
(a - 10)(a - b) + (b^2 - 11b) = 0
(10 - a)(a - b) = - b(11 - b)
10 - a > 0, b >= 0, 11 - b > 0 なので、
a - b <= 0
a <= b
これでもいいと思いますが．．．
b = 0 とすると、a = 0 or 10 となって題意を満たさないので、
9 >= b >= 1 > 0 です。これを使うと、
a < b

(3)
a^2 - (b + 10) * a + (b^2 - b) = 0 より、
a の二次方程式と思うと、その解の判別式を D として、
D = (b + 10)^2 - 4 * (b^2 - b) = - 3 * b^2 + 24 * b + 100
= - 3 * (b - 4)^2 + 148
a = 1/2 * {(b + 10) - sqrt(D)}, or 1/2 * {(b + 10) + sqrt(D)}
a, b ともに整数なので、D >= 0 で、sqrt は開平できる必要があります。
まず、D の最後の式より、1 <= b <= 9 では、常に、D > 0 になります。
次に、1 <= a < b の条件より、2 <= b <= 9 の各 b について調べていくと、
b = 7, D = 121 = 11^2, a = 3
b = 8, D = 100 = 10^2, a = 4
となり、答えは、37 と 48 です。

(感想)
うーむ、何かあっさり、といった感じですが、勘違いしてるのかな？まぁ、標準的な入試問題、といったところでしょうか。

ＮＯ２「中川幸一」9/04: 18時13分受信更新9/25

「解答」です。

ＮＯ３「cbc」　　 9/07 09時10分受信更新9/25

ＮＯ４「浜田明巳」9/08 13時51分受信更新9/25

　(1) 条件から，
　　(ａ＋ｂ)(１０ａ＋ｂ)＝ａ^3＋ｂ^3＝(ａ＋ｂ)(ａ^2－ａｂ＋ｂ^2)
　ａ＋ｂ＞０なので，両辺をａ＋ｂで割ると，
　　１０ａ＋ｂ＝ａ^2－ａｂ＋ｂ^2………(答)
(2) (1)から，
　　１０ａ－ａ^2＝ｂ^2－ａｂ－ｂ
　　∴ａ(１０－ａ)＝ｂ(ｂ－ａ－１)
　１≦ａ≦９から，ａ(１０－ａ)＞０
　　∴ｂ(ｂ－ａ－１)＞０
　ｂ≧０であるから，
　　ｂ＞０　かつ　ｂ－ａ－１＞０
　　∴ｂ＞ａ＋１＞ａ
　　∴ａ＜ｂ………(答)
(3) エクセルのマクロで，２通りに解いた．
　まず，条件１０ａ＋ｂ＝ａ^2－ａｂ＋ｂ^2，１≦ａ≦９，０≦ｂ≦９の元，シラミつぶしにａ，ｂを求めるやり方．
Option Explicit
Sub Macro1()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    Dim a As Integer
    Dim b As Integer
    For a = 1 To 9
      For b = 0 To 9
        '(a+b)*(10*a+b)=a^3+b^3=(a+b)*(a^2-a*b+b^2)
        If 10 * a + b = a * a - a * b + b * b Then
          Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
          Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = 10 * a + b
        End If
      Next b
    Next a
End Sub

　そして，１≦ａ≦９の元，ｂ^2－(ａ＋１)ｂ＋(ａ^2－１０ａ)＝０と変形し，これをｂの２次方程式と考えてｂをａで表し，ｂが０≦ｂ≦９の整数となる場合を求めるやり方．
Sub Macro2()
    Sheets("Sheet1").Select
    Cells(1, 1).Value = 0
    Range("A1").Select
    Dim a As Integer
    Dim b As Integer
    Dim D As Integer
    Dim sqrD As Integer
    Dim j As Integer
    For a = 1 To 9
      '(a+b)*(10*a+b)=a^3+b^3=(a+b)*(a^2-a*b+b^2) -> 10*a+b=a^2-a*b+b^2 -> b^2-(a+1)*b+(a^2-10*a)=0
      D = (a + 1) * (a + 1) - 4 * 1 * (a * a - 10 * a)
      If D >= 0 Then
        sqrD = Int(Sqr(D))
        If sqrD * sqrD = D Then
          For j = (D > 0) - (D = 0) To 1 Step 2
            b = Int(((a + 1) + j * sqrD) / 2)
            If 0 <= b And b < 10 And 10 * a + b = a * a - a * b + b * b Then
              Cells(1, 1).Value = Cells(1, 1).Value + 1
              Cells(Cells(1, 1).Value, 2).Value = 10 * a + b
            End If
          Next j
        End If
      End If
    Next a
End Sub

　いずれの場合も，答は３７，４８となる．

ＮＯ５「Toru」　　9/09 11時11分受信更新9/25

　第１６０回解答をおくります。２元２次不定方程式の問題で、２次体の整数論などにつながっていく、興味深いところです
（とえらそうに言ってみましたが、まだしっかり理解していません）入試問題も背景まである程度さぐると、違った興味がわいてくると思われますが、
現場ではそこまではとても無理でしょうか。

(1) (a+b)(10a+b)=a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) ,a=1,2,3,-----,9 b=0,1,2,------,9
よりa+b>0　で両辺をa+bで割れば　10a+b=a^2-ab+b^2

(2) (10-a)a=b(b-a-1)と変型すると左辺は正、だからb>0かつb-a-1>0
すなわちb>a

(3) (2)よりさらに0<a<b-1≦8より a=1,2,---,7 　b^2-(a+1)b+a(a-10)=0 としてbに
ついての２次方程式と考えて判別式D=(a+1)^2-4a(a-10) =-3a^2+42a+1に
a=1,2,-----,7を代入すると40,73,100,121,136,145,148 これが平方数であることが
必要で、a=3,4、a=3の時b(b-4)=21よりb=7,a=4の時b(b-5)=24よりb=8
でこれらは題意を満たす。
答え　37,48

もともとa、 bを取りうる数字は限られていますから、いろいろ考えずに、しらみつ
ぶしに走ってしまいました。

（おまけ）　a+b=0 の場合は除いて、
a^2-ab+b^2-10a-b=0 （a,b：整数）と条件を弱めて考えてみました。
a=x+7,b=y+4 とすると
x^2-xy+y^2=37 （x,y：整数）両辺４倍して変型すると
(2x-y)^2+3y^2=148 2x-y=Xとおいて
X^2+3y^2=148 （X,y：整数）これは楕円上の格子点で有限の範囲を数えればすみま
す。
｜y｜≦sqrt(148/3) よりy=0,±1,±2,------,±7　を代入してみると、
y=±3,X=±11 ; y=±4, X=±10; y=±7,X=±1が題意を満たす。
これから
(x,y)=(7,3) (-7,-3) (-4,3) (4,-3) (7,4) (-7,-4) (-3,4) (3,-4) (4,7) (-4,-7)
(3,7) (-3,-7)
(a,b)=(14,7) (0,1) (3,7) (11,1) (14,8) (0,0) (4,8) (10,0) (11,11) (3,-3)
(10,11) (4,-3)
　

ＮＯ６「kashiwagi」9/09 21時40分受信更新9/25

　160回解答

（1）題意より

（10a＋ｂ）（a＋ｂ）＝a³＋ｂ³不が成立するので

　　　（a＋ｂ）（a²-ab ＋ｂ²-10a-ｂ）＝0

ここで題意より　1≦a≦9　・・・・①

0≦ｂ≦9　・・・・②　であるからa＋ｂ≠0、因って求める関係は

a²-ab ＋ｂ²-10a-ｂ＝0　・・・③となる。

（2）　①よりa≠0であるから　a/ｂ　＝ｔとおき③に代入し、その式をF（ｔ）とすると、

F（ｔ）＝ｔ2－（1＋1/a）ｔ＋1－10/a　・・・・④となる。

この関数の軸は（1＋1/a）/2であり、①より5/9と1の間の値となる。

又、F（0）＝1－10/a　であり、同様に-9と-1/9の間の値となる。

更にF（1）＝1－11/aであり、同様に-10と-2/9の間の値となる。

以上のことからこの関数は正負ひとつづつの解をもち、正の解は1より大きい事が分かる。

これよりｔ＝ｂ/a　＞1（a＝ｂの時は0と11になり題意に合わない）であるからｂ＞a　である。

（3）　④を解いてｔを求めるにあたり、a、ｂが整数であるからｔは無理数にはならないため根号の中の値は平方数でなければならないので、

　　（1＋1/a）²-4(1－10/a) =（21＋1/a）²–444　が平方数である。

　　因ってaに1～9の値を代入し計算すると、

　　a＝3で100/9

　　a＝4で121/16　の平方数となる。これより③に二つのaの値を代入し、計算すると

　各々のｂは7と8になる。

　　以上より求めるものは37と48である。　　　

ＮＯ７「ice」　　 9/12 21時00分受信更新9/25

　

ＮＯ８「三角定規」　　 9/24 13時24分受信更新9/25

＜コメント＞第160回問題の解答を送ります。

入試問題ならそう難しくなかろうと高をくくっていたのですが…。

難しくはないのですが，場合分けを減らすうまい方法が見つかりません。

おそらく（２）はそのために用意されているのでしょうが，うまく利用できません。

始めは，（１）の答の式をａについて解いて根号内が平方数になるようにとかいろいろやってみたのですが，
場合分けが少なくなったり見通しがよくなるわけでもないようなので止めました。

ご常連の方々のエレガントな解に期待したいと思います。

前回も，コーシー・シュワルツがあのように利用できるとは思いもよりませんでしたし…。

● 第160回解答（三角定規）

(1) 題意より (a＋b)(10a＋b)＝a³＋b³

∴ 10a＋b＝a²－ab＋b²

∴ a²－(b＋10)a＋b²－b＝0 …［答］

(3) a，bは整数で 1≦a≦9，0≦b≦9 だから

(ⅰ) b＝0 のとき a²－10a＝0　∴ a＝0，10　←　不適

(ⅱ) b＝1 のとき a²－11a＝0　∴ a＝0，11　←　不適

(ⅲ) b＝2 のとき a²－12a＋2＝0　←　a が整数にならないから不適

(ⅳ) b＝3 のとき a²－13a＋6＝0　←　a が整数にならないから不適

(ⅴ) b＝4 のとき a²－14a＋12＝0　←　a が整数にならないから不適

(ⅵ) b＝5 のとき a²－15a＋20＝0　←　a が整数にならないから不適

(ⅶ) b＝6 のとき a²－16a＋30＝0　←　a が整数にならないから不適

(ⅷ) b＝7 のとき a²－17a＋42＝(a－3)(a－14)＝0　∴ a＝3

(ⅸ) b＝8 のとき a²－18a＋56＝(a－4)(a－14)＝0　∴ a＝4

(ⅹ) b＝9 のとき a²－19a＋72＝0　←　a が整数にならないから不適

　以上より，求める2桁の整数は，37，48　…［答］

＜水の流れ：問題作成の意図　実は、高校生にも解いてもらいたかったから　今回のような難易度になりました。

皆さんの答えを拝見しました。こちらは順に絞り込んでいく方法を考えていました。ありがとうございます。＞