kadai78

平成１７年１０月２３日

[流れ星]

　　　　　第161回数学的な応募問題解答ＮＯ２

　　　　　　＜解答募集期間：９月２５日～１０月２３日

［宝さがし］

皆さん、今回の応募期間は１ヶ月とします。ここで問題です。

　ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣの土地があります。太郎さんはＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰの長さが最小になる点Ｐに宝物を埋めました。

宝物が埋まっている点Ｐがどこか考えてください。ただし、頂角∠ＢＡＣは１２０°以内とします。

ＮＯ９「KW」　　 10/16 21時21分受信更新10/23<br>

補題１　≦のとき　≧・・・①

　が成り立つ

[証明]　両辺を２乗して　≧　

左辺－右辺＝－

　　　　＝＝≧０

補題２　不等式　＋≧　が成り立つ

[証明]

　左辺^２＝

　　　＝

　右辺^２＝

①より　≧

両辺に　を加えると　左辺^２≧右辺^２　が証明される。

ａ＞０、ｂ＞０のとき、Ａ(０，ｂ)，Ｂ（ａ，０），Ｃ（－ａ，０）とし，

△ＡＢＣの内部または周上の点Ｐ（ｘ，ｙ）に対して

ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰ＝

＋＋

　≧＋＝＋

関数　＝＋　を考えると

　　　＝－1＋　となり　のとき最小になることが分かる

よって

ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰは ∠ＢＡＣが１２０°以内であれば　P(０， )　は

△ＡＢＣの内部または周上の点Ｐであるから，この点に宝物が埋まっていることになる。

ＮＯ１０「ｽﾓｰｸﾏﾝ」 10/17 19時12分受信更新10/23<br>
解答

二等辺三角形ABCだから、求める点は辺BC上にある。
AP上に点を動かしたとき、例えば上に、その点をＰ’とすると、BP',CP'上にそれぞれB,CからBP,CP の長さをとった点をB',C'とし、残りの長さをx とすると、AP-AP'=y だから、
AP+BP+CP≦AP'+BP'+CP'=AP-y+BP+CP+2x ですから、y≦2x になってないとだめです。
つまり、等しいときは、y=2x のときで、　このときは、BP=BB' なわけだから、
半径x と半径BB'との円が接していることになる。つまり、BB'⊥PB'となりますが、底角が直角の二等辺三角形はとれない。
しかし、BPとBB'が限りなく一致すれば満たす。そのときは、BP'⊥BB'なので、2x=yを満たす三角形は、∠BP'P=60度　となる。
結局、点Ｐは、辺BCの垂直二等分線上で∠BPC=120度の点。！
∠APB=∠APC も当然120度となる。

きちんとした証明になってないようですが。

直感では外心だろうって思ってましたけどそうではないんだ～調べたら、一般的な三角形でも∠APB=∠BPC=∠CPA=120度。の点なんですね！（シュタイナー点）

道路やらケーブルなど作るとき大事な点になるんですね。（コスト面で）

Ｎｏ１１「kasama」 10/18 19時13分受信更新10/23<br>　
三角形の頂点をA(x_a,y_a)、B(x_b,y_b)、C(x_c,y_c)、内点P(x,y)をとすると、線分AP、BP、CPの和f(x,y)は
　
です。f(x,y)は三角形の内部では連続で微分可能で、
　、
なので、最小値が存在します。そして、最小値を与えるのは、
　、
を満足する点、または各頂点です。すると、
　
　
ですが、
　、、
なので、
　
となります。これらは単位ベクトルですが、和が0になるのは各ベクトルがなす角は120ﾟの場合で、各頂角が120ﾟより小さい場合、このような点はただ一つ三角形の内部に存在します。　

ここで、左図のような二等辺三角形を考えます。すると、AP+BP+CPの長さが最小になる点は図に示した点Pで、そのときの最小値は、
　AP+BP+CP=AP+2BP=AQ-PQ+2√(BQ²+PQ²)=√(AB²-BQ²)-PQ+2√(BQ²+PQ²)
　=√(AB²-BQ²)-BQtan(30ﾟ)+2√(BQ²+BQ²tan²(30ﾟ))=√3BQ + √(AB² - BQ²)
ここで、AB=a、BQ=b/2、tan(30ﾟ)=1/√3なので、最小値は、
　√3b/2+√(4a²-b²)/2
です。

いつも問題作成、ご苦労様です。
この暑さいつまで続くのだろうと思っていたら、もう10月も半ば過ぎ、たいぶ秋も深まり朝方は少し肌寒いです。自宅近辺の山々では紅葉が始まろうとしています。
さて、今回も面白い問題ですね。
以前、どこかの教養番組のような(とはちょっと言い難いですが)バラエティ番組で、数学者の秋山仁氏と女優の菊川玲さんが今回と似たような問題の答えを見つけ出す実験をやってました。透明な二枚の板を３か４本の棒でつなぎとめ、板の間にシャボン液を流し込むと、シャボンの膜が棒と棒を結ぶ最短経路上に張られるようです。シャボン膜はできるだけ小さくなろうする性質があるそうで、それを利用しているのだとか言ってました。

＜水の流れ：コメント＞　そうです。テレビで私も観ていました。自然の中に答えが隠されていた１つです。